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1、 3 . 5 3. 5. 1 3. 5. 1 高高阶导数与高数与高阶微分的概念微分的概念机动 目录 上页 下页 前往 终了 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分 第 3 章 3. 5. 2 3. 5. 2 高高阶导数与高数与高阶微分的运算法那么微分的运算法那么3.5.1 3.5.1 高阶导数与高阶微分的概念高阶导数与高阶微分的概念其瞬时为速度为：即其加速度为：即引例：引例：变速直速直线运运动方程方程为：机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 1. 高阶导数高阶导数假设函数的导数仍可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数 , 记作：的依
2、次类推 ,各阶导数分别记作：那么称机动 目录 上页 下页 前往 终了 导数为函数或定定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。2. 2. 高阶微分高阶微分假设函数的微分仍可微,或即或类似地 , 二阶微分的微分称为三阶微分 ,阶微分的微分称为 n 阶微分 ,或的二阶微分 ,记作：依次类推 ,函数的各阶微分分别记作：那么称机动 目录 上页 下页 前往 终了 为函数定定义：函数的二阶以及二阶以上的各阶微分统称为高阶微分。设求解解:依次类推 ：例例1.思索思索: 设问特别地：机动 目录 上页 下页 前往 终了 显然：例例2. 设设求解解:特别有:解解:规定 0 ! = 1思索思索:例例3.
3、 设求机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 设设求解解: 普通地 ,类似可得：机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例5 . 设设解解:机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例6. 设设求使收敛的最高分析分析: : 但是发散。2又阶数机动 目录 上页 下页 前往 终了 3.5.2 3.5.2 高阶导数的运算法那么高阶导数的运算法那么都是n 阶可导的 , 那么(C为常数)莱布尼莱布尼兹(Leibniz) 公式公式推导 目录 上页 下页 前往 终了 设函数例例 7. 求解解: 设那么代入莱布尼兹公式 , 得机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例 8. 设设求解解:即用莱布尼兹公式求 n
4、阶导数令得由得即由得机动 目录 上页 下页 前往 终了 内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动 目录 上页 下页 前往 终了 思索与练习思索与练习1. 如何求以下函数的如何求以下函数的 n 阶导数阶导数?解解: 解解: 机动 目录 上页 下页 前往 终了 (3)提示提示: 令令原式原式机动 目录 上页 下页 前往 终了 解解:机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. (填空题填空题) (1) 设设那么提示提示:各项均含因子 ( x 2 )(2) 知恣意阶可导, 且时提示提示:那么当机动 目录 上页 下页 前往 终了 3. 试从试从 导出解：解：同样可求(见 P101 题4 ) 作业P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9 (2) , (3)第四节 目录 上页 下页 前往 终了 解解: 设求其中 f 二阶可导.备用题备用题机动 目录 上页 下页 前往 终了
