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1、优秀学习资料 欢迎下载 第一组： 原题：已知点 O 是等边三角形 ABC 所在平面上 的任意一点，连接 OA 并延长到 E，使得 AEOA. 以 OB、OC 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 EF. 求证：EFBC.EF=3BC 推广： 1（类比） 已知点 O 是等腰直角三角形 ABC（BC 为斜边）所在平面上的任意一点，连接OA 并延长到 E，使得 AEOA. 以 OB、OC 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 EF. 求证：EFBC.EF=2BC 2（类比弱化） 已知点 O 是直角三角形 ABC（BC 为斜边）所在平面上的任意一点，连接OA 并延长到 E，使得 AEOA. 以 OB、OC
2、 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 EF. 求证：EFBC.EF=2BC 3（一般化） 已知：ABC 是等腰三角形，ABACa，BCb. 在左图中，点 O 是ABC 内的任意一点，而在右图中，点 O 是ABC 外的任意一点.在这两张图中，分别以OB、OC 为边画出平行四边形 OBDC ，并延长 OA 到 E，使得 AEOA，再连接 DE. 观察这两张图，你能发现什么？请写出你得到的两个猜想，并证明它们。 ABCOABCO 4如图 1，D 是 RtABC 的斜边 AB 的中点，点 O 是ABC 所在平面上的任意一点。连接 OD 并延长到 E，使得 DEOD。以 OB、OC 为邻边作平行四边形
3、OBFC，连接 EF。 （1）观察图 1，你能对线段 EF 做出哪些猜测？请逐一写出来（尽量多写，即使后来证明是错误的，也可以写） ； （2）为了验证你的猜测，请你在下面的备用图（图 2 、图 3 、图 4。如果不够，请你按备用图的大小复制）中分别选取点 O 的几种典型位置，按上述方法画出线段 EF，检验你的猜测是否正确； （3）经验证，你认为是正确的猜测，请加以证明。你认为是错误的猜测，请说明你画的哪些备用图可以作为反例； （4）如果条件“RtABC”换成“任意ABC” ，其他条件不变，那么关于 EF 的结论有什么变化吗？（只要求画出图形，写出结论，不要求证明） COEAFB优秀学习资料 欢
4、迎下载 DDDDBAACBACBACBOFCE 图 1 图 2 图 3 图 4 第二组： 原题：如左下图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF45 ，求证：EFBEFD. 推广： 1如右上图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 延长线上的点，且EAF45 ，求证：EFBEDF。. 2如左下图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF 是BAD 的一半，求证：EFBEFD. 3如右上图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是 BC、CD 延长线上的点，且EAF 是BAD 的一半，求
5、证：EFBEFD. 4如左下图，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是 BC、CD 上ABDCEFDABCEFFDBACEA45FCABDE四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的
6、几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 的点，且EAF 是BAD 的一半，求证：EFBEFD. 5如右上图，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是 BC、CD 延长线上的点，且EAF 是BAD 的一半，求证：EFBEFD. 6如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90， BAD 60，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF30， 求证：EFBEFD. 7如图，在四边形 ABCD 中，ABAD1，BD90,
7、BAD 120，E、F 分别是 BC、CD 上的点， 且EAF60，求：CEF 的周长. 第三组： 原题：如图，A90，ABAC， M 是边 AC 的中点，ADBM 交 BC 于 D，交 BM 于 E，求证：AMB DMC . 推广： （1）如图所示，在 RtABC 中，BAC90，ABAC，点 D、E 是线段 AC 上两个动点，且 ADEC，AMBD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE相交于点 F. 试判断DEF 的形状，并加以证明. （2）若点 D、E 是直线 AC 上两个动点，其他条件不变，试判断DEF 的形状，并说明理由. FCDBAEFCDBAED
8、ABCEFABCMDE四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件
9、换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 FNMCFNMCABEBADDE 第三组： 原题： 1已知正三角形 ABC，CF 是外角平分线，E 直线 BC 上 任意一点，AEEF，求证：AE=EF。 2已知正方形 ABCD ，CF 是外角平分线，E 直线 BC 上任意一点，AEEF，求证： AE=EF。 推广： 1如图,正方形 ABCD 和正方形 BEFC 操作：M 是线段 AE 上一动点，从 A 点至 E 点移动， DMMN，交对角线 BF 于点 N 探究：线段 DM 和 MN 之间的关系，并加以证明 说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写
10、出来(要求至少写 3 步)； 在你经历说明的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得 8 分；选取完成证明得 5 分M、N 分别是线段 AB、ABCEFABDCEFGF C B E D A 四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行
11、四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 图 11-1 图 11-2 图 11-3 BF 的中点；M 与 B 重合 附加题 当 M 是线段 AE 延长线上一动点，DMMN，交对角线 BF 延长线于点 N，探究线段 DM和 MN 之间的关系，并加以证明 2图 11-1 、图 11-2是分别由两个具有公共顶点的正三角形和正四边形组成的图形，且其中一个正多边形的顶点 D 在另一个正
12、多边形的边 BC 上 （1）图 11-1中，求DCE= （直接写出答案） ； （2）图 11-2中，求DCE； （3） 当满足条件的图形为正 n 边形时 （如图 11-3 ） ， 猜想：DCE= （直接写出答案） 3如图，D 是BAC 边 BC 上一点，BA=BC ， 下面三个论断B=ADE，ACB=FCE， DA=DE，这三个论断任何两个作为已知条件， 第三个作为结论都是真命题。 4如图，D 是BAC 边 CB 延长线上一点，BA=BC ， 下面三个论断ABC=ADE，ACB=FCP， DA=DE，这三个论断任何两个作为已知条件， 第三个作为结论都是真命题。 5如图，D 是BAC 边 BC
13、延长线上一点，BA=BC ， 下面三个论断B=ADE，ACB=FCE， DA=DE，这三个论断任何两个作为已知条件， 第三个作为结论都是真命题。 ABFCDEABCFDEABFCDE四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小
14、复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 第四组： 1如图，点 A1是位于抛物线 yx26x4(简记为 P)内部、且在直线 yx(简记为 L)上的任意点，点 A1向右平移到 P 上的 B1，再向上平移到 L 上的 A2，再向左平移到 P 上的 B2，再向下平移到 L 上的 A3，如此继续下去. （1）若点 A1的横坐标为 t，求出 t 的取值范围，并求点 A2的坐标； （2）若点 A1的横坐标为 1.2，试用计算器计算点 A2
15、、A3、A4的坐标（精确到 0.0001） ，从中你能发现计算它们的规律吗？并用你发现的规律继续计算 A5、 A6的坐标 （精确到 0.0001） ； （3）你能得出关于点列 A1、A2、A3、A4、变化趋势的猜想吗？ PYXOLA1B1A2B2A3 2 如图， 在平面直角坐标系xoy中，直线xy 与直线6x2y交与点P， 点1P为OP上一点，过1P作平行于x轴的直线交直线62 xy于点2P，过2P作平行于y轴的直线交直线xy 于点3P， 过3P作平行于x轴的直线交直线62 xy于点4P， ，依次类推进行下去设1P点的横坐标t （1）求点2P，点3P的坐标（用t表示） ； （2）请你赋予字母t
16、一个确切的数值，从而观察点2P，3P，4P，nP坐标的变化情况，判断当n越来越大时，点nP的坐标趋近为 四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为
17、是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 第五组： . 原题：如图，在直角梯形 ABCD 中，M 是 CD 的 中点，连接 MA、MB，求证：MAMB. 原题：如图，四边形 ABCD 、AEFG 都是正方 形，M 是 CF 的中点，连接 MD、ME， 求证：MDME，且 MDME. 一般化 四边形 ABCD 、AEFG 都是正方形， M 是 CF 的中点，连接 MD、ME， 求证：MDME，且 MDME. 特殊化 如图，四边形 ABCD 、AEFG 都是正方形，M 是 CF 的中点，连接 MD、ME，求
18、证：MDME，且 MDME. MFMFMFMFMFAEBCDDCBEAAEBCDDCBEAAEBCDGGGGG MDACBMFAECGBD四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线
19、段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 MFMFMFMFMFAEBCDDCBEAAEBCDDCBEAAEBCDGGGGG 特殊与一般逻辑组合： 如图 131，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（OGBC） ，取线段AE的中点M 探究：线段MDMF、的关系，并加以证明 说明： （）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步） ； （）在你经历说明（）的过程后，可以从下列、中选取一个
20、补充或更换已知条件，完成你的证明 注意：选取完成证明得 10 分；选取完成证明得 7 分；选取完成证明得 5 分 DM的延长线交CE于点N，且ADNE；将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45（如图 132） ，其他条件不变；在的条件下，且2CFAD 附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后 （如图 133） ，其他条件不变 探究：线段MDMF、的关系，并加以证明 A B C D F M G E A B C D F M G E A B C F M G E 图 131 图 13 图 13 四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连
21、接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 25请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE
22、， ，在同一条直线上，P是线段()()a ab ab的中点，连结PGPC，若60ABCBEF ，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值； （2）将图 1 中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） 你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）若图 1 中2 (090 )ABCBEF ，将菱形B
23、EFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含的式子表示） 8.已知：在 RtABC 中，AB=BC ；在 RtADE 中，AD=DE；连结 EC，取 EC 的中点 M，连结 DM 和 BM （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，求证：BM=DM 且BMDM； （2）如果将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 M D B A C E M D B A C E 图 图 D C G P A B E F 图 2 D A B E
24、F C P G 图 1 四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条
25、件换成任意其他条件不变那么关于优秀学习资料 欢迎下载 （此题可以照上题改编，将两直角改成角） 1.如图，ABCD 和 BEFG 是正方形，连结 DF， H 是 DF 的中点，连结 GH、 CH. （1）求证：GH= CH，GHCH ; HFGDACBE （2）BEFG 绕着点 B 转一个小于90的角度，如图， （1）问中的结论还成立吗？如果成立，请证明， 若不成立，请说明理由. HFGDACBE 四边形连接求证推广类比已知点是等腰直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接求证类比弱化已知点是直角三角形为斜边所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形为边画出平行四边形并延长到使得再连接观察这两张图你能发现什么请写出你得到的两个猜想并证明它们如图是的斜边的中点点是所在平面上的任意一点连接并延长到使得以为邻边作平行四边形连接观察图你能对线段做出哪些猜测你备用图的大小复制中分别选取点的几种典型位置上述方法画出线段检验你的猜测是否正确经验证你认为是正确的猜测请加以证明你认为是错误的猜测请说明你画的哪些备用图可以作为反例如果条件换成任意其他条件不变那么关于
