工程电磁场基础ppt课件

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1、主要内容主要内容第第1 1章章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础 第第2 2章章 静电场的基本原理静电场的基本原理 第第3 3章章 恒定电场的基本原理恒定电场的基本原理 第第4 4章章 恒定磁场的基本原理恒定磁场的基本原理 第第5 5章章 时变电磁场的基本原理时变电磁场的基本原理 第第6 6章章 镜像法与模拟电荷法镜像法与模拟电荷法 第第7 7章章 有限元法与边界元法有限元法与边界元法 第第8 8章章 电磁场的能量和力电磁场的能量和力 第第9 9章章 平面电磁波平面电磁波 第第1010章章 电路参数的计算原理电路参数的计算原理 第第1111章章 电气工程中的电磁场问题电气工程中的电磁场问题

2、 1参考书目参考书目1 工程电磁场工程电磁场 王泽忠王泽忠, 全玉生全玉生, 卢斌先编著，卢斌先编著，清华大学出版社清华大学出版社 2工程电磁场基础工程电磁场基础孙敏主编，科学出版社孙敏主编，科学出版社超星数字图书馆，网址：超星数字图书馆，网址：http:/202.118.72.18 http:/ (80万册图书试用万册图书试用)方正方正Apabi数字图书馆，网址：数字图书馆，网址：http:/202.118.72.32第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础矢量运算的有关公式矢量运算的有关公式场的基本概念场的基本概念标量场的等值面方程和矢量场的矢量线方程标量场的等值面方程和矢量场的

3、矢量线方程源点和场点的基本概念及其相互关系源点和场点的基本概念及其相互关系梯度的定义梯度的定义散度的定义散度的定义旋度的定义旋度的定义哈米尔顿算子的定义和运算规则哈米尔顿算子的定义和运算规则 重点掌握梯度、散度和旋度的定义、计算公式和运算规则，重点掌握梯度、散度和旋度的定义、计算公式和运算规则，以及散度定理、斯托克斯定理、格林定理和亥姆霍兹定理。以及散度定理、斯托克斯定理、格林定理和亥姆霍兹定理。341.11.1矢量分析公式矢量分析公式1.1.矢量代数公式矢量代数公式（）标量、矢量和单位矢量（）标量、矢量和单位矢量只有大小，没有空间方向的量称为标量。只有大小，没有空间方向的量称为标量。不仅具有

4、大小，而且具有空间方向的量称为矢量不仅具有大小，而且具有空间方向的量称为矢量。 矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的模。模为的矢量叫做单位矢量，用矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的模。模为的矢量叫做单位矢量，用表示。如表示。如e ex x，e ey y，e ez z，分别表示与直角坐标系中，三个坐标轴同方向的单位，分别表示与直角坐标系中，三个坐标轴同方向的单位矢量。矢量。（）矢量的加减法（）矢量的加减法设设则5（）矢量的数乘（）矢量的数乘式中，式中，为实数为实数。（）矢量的点积（）矢量的点积式中，式中，是矢量，是矢量， 之间的夹角，之间的夹角，cos是矢量是矢量 在矢量在矢量 方方 向向 上上

5、的的 投投 影影cos是矢量是矢量 在矢量在矢量 方向上的投影。方向上的投影。式中，式中， 为实数为实数6（）矢量的叉积（）矢量的叉积式中，式中，e en n是与矢量是与矢量 和和 都垂直的单位矢量，都垂直的单位矢量， 和和e en n构成右手螺旋关系；构成右手螺旋关系；是矢量，是矢量， 之间之间的夹角。的夹角。7（）矢量的混合积（）矢量的混合积矢量函数的微分公式矢量函数的微分公式8矢量函数的积分公式矢量函数的积分公式式中，式中，x x(t(t) )，B By y(t(t) )，B Bz z(t(t) )分别是分别是 A Ax x(t),A(t),Ay y(t),A(t),Az z(t(t)

6、)的原函数；的原函数；，是任意常数是任意常数9101.2 1.2 场的基本概念和可视化场的基本概念和可视化1 1 场的概念场的概念 在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。定义了一个场。 如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这的磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与

7、时间无关，称为个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。如果空间中的每一点都对应着某个物理量的一个上的函数。如果空间中的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，我们就说在这空间里确定了该物理量的场。确定的值，我们就说在这空间里确定了该物理量的场。11标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流

8、体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。 12 场中的每一点都对应着一场中的每一点都对应着一 个个 物物 理理 量量-场场 量量 的的 值。值。 场场 量量 为为 标标 量量 的的 场场 称称 为为 标标 量量 场，如温度场、能量场、电位场等。场，如温度场、能量场、电位场等。 场量为矢量的场场量为矢量的场 称为称为 矢矢 量量 场，如场，如 速速 度度 场、力场、力 场、电场、电 场场 和和 磁场等。磁场等。 定义了场量的空间点称为场点。在直角坐标系中，场点定义了场量的空间点称为场点。在直角坐标系中，场点 可以由它的三个坐标可以由它的三个坐标，确定。因此，一个标量场和一个矢量场可分别用坐标的标

9、量函数和矢量函，确定。因此，一个标量场和一个矢量场可分别用坐标的标量函数和矢量函数表示，即数表示，即其中，矢量函数（）的坐标表示式可写成上式。式中，函数其中，矢量函数（）的坐标表示式可写成上式。式中，函数，分别分别为矢量函数为矢量函数 在直角坐标系中三个坐标轴上的投影，为三个标量函数；在直角坐标系中三个坐标轴上的投影，为三个标量函数；，分别为，轴正方向的单位矢量。分别为，轴正方向的单位矢量。13 ， 分别为矢量分别为矢量 与三个坐标轴正方向之间的夹角，称为方向角。与三个坐标轴正方向之间的夹角，称为方向角。， 称为方向余弦。根据矢量与其分量称为方向余弦。根据矢量与其分量 之间之间 的的 关关 系

10、，矢系，矢 量量 函数函数 （）可写成（）可写成如果场中的物理量不仅与点如果场中的物理量不仅与点的空间位置有关，而且随时的空间位置有关，而且随时间变化，则称这种场为时变间变化，则称这种场为时变场；反之，若场中的物理量场；反之，若场中的物理量仅与空间位置有关而不随时仅与空间位置有关而不随时间变化，则称这种场为恒定间变化，则称这种场为恒定场。场。14源点与场点源点与场点 场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，也可以定义场源。这样，可以把空间的点表示为场点和源点。也可以定义场源。这样，可以把空间

11、的点表示为场点和源点。 源点源点 用坐标（用坐标（，）表示，也可以用位置矢量）表示，也可以用位置矢量表示；场点表示；场点 用坐标（，）表示，也用坐标（，）表示，也 可可 以以 用用 位位 置置 矢矢 量量 表表 示。示。 由由 源源 点点 到到 场场 点点 的的 距距 离离 矢矢 量量 用用 表表 示。示。 根据矢量代数关根据矢量代数关 系系 可可 知，知，。 矢矢 量量 的的 模模 ，矢，矢 量量 对对 应应 的的 单单 位位 矢矢 量量 在研究场的性质的过程中，在研究场的性质的过程中， 是一个非常重要的矢量，因为它联系着源点与是一个非常重要的矢量，因为它联系着源点与场点，决定着场量与场源之

12、间的空间关系。场点，决定着场量与场源之间的空间关系。15标量场的等值面标量场的等值面 设标量场设标量场u(Mu(M) )是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任何一点是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任何一点 M M0 0，可以作出，可以作出这样的一个曲面，在它上面每一点处，函数这样的一个曲面，在它上面每一点处，函数u(Mu(M) )的值都等于的值都等于u(Mu(M0 0) )，即在曲面，即在曲面 上，上，函数函数u(Mu(M) )保持着同一保持着同一 数数 值值 u(Mu(M0 0) )，这，这 样样 的的 曲曲 面面 叫叫 做做 标标 量量 场场 的的 等等 值值 面。等值面的方程为面

13、。等值面的方程为式中，式中， 为常数。给定为常数。给定 的一系列不同的数值，可以得到一系列不同的等值面，称的一系列不同的数值，可以得到一系列不同的等值面，称为等值面族。为等值面族。16 等值面族可以充满整个标量场所在的空间。等值面互不相交，因为如果相交，则等值面族可以充满整个标量场所在的空间。等值面互不相交，因为如果相交，则函数（，）在相交处就不具有惟一的值。场中的每一点只与一个等值面对函数（，）在相交处就不具有惟一的值。场中的每一点只与一个等值面对应，即经过场中的一个点只能作出一个等值面。用等值面族表示标量场时，一般将每应，即经过场中的一个点只能作出一个等值面。用等值面族表示标量场时，一般将

14、每两个相邻等值面场量值之差设为定值。这样可以根据等值面的稀密程度观察场量的空两个相邻等值面场量值之差设为定值。这样可以根据等值面的稀密程度观察场量的空间分布。间分布。点电荷电势方程：点电荷电势方程：17例例 求标量场求标量场 =(x+y)2-z通过点通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。解解 点点M的的坐坐标标是是x0=1, y0=0, z0=1，则则该该点点的的数数量量场场值值为为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为其等值面方程为 18 标量场的等值面与一给定平面相交，就得到标量场在该平面上的等值线。如标量场的等值面与一给定平面相交，就得到标量场在该平面上的等值线。如

15、（，）（，） 在在XOY平面上的等值线的方程为，（，），平面上的等值线的方程为，（，）， 为常数。为常数。19形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具形象描绘场分布的工具标量场标量场-等值线等值线( (面面) )，其方程为，其方程为。在某一高度上沿什么方向高度变化最快？在某一高度上沿什么方向高度变化最快？20矢量场的矢量线矢量场的矢量线 对于矢量场，可以用矢量线来形象地表示其分布情况。对于矢量场，可以用矢量线来形象地表示其分布情况。 所谓矢量线，就是这样的曲线，在它上面每一点处曲线的切线方向和该点的场矢量所谓矢量线，就是这样的曲线，在它上面每一点处曲线的切线方向和该点的场矢

16、量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向。方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向。一般来一般来 说，矢说，矢 量量 场场 中中 每每 一一 点点 有有 一一 条条 矢矢 量量 线线 通通 过。过。 所以，矢量线应是一族曲所以，矢量线应是一族曲线，它可以充满整个矢量线，它可以充满整个矢量 场所场所 在在 的空间。的空间。21n n意义意义 直观了解矢量场在空间的分布状况n n定义定义 曲线：在曲线上的每一点处， 场的矢量矢量都位于该点处的切线切线上。例：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等n n性质性质 矢量线与矢径的关系式：Adr= 0 22已知场矢量（，），可用下述

17、方法求得矢量线方程。已知场矢量（，），可用下述方法求得矢量线方程。设设 （，）为矢量线（，）为矢量线l l上的任上的任一点，其矢径（始点位于坐标原点，终一点，其矢径（始点位于坐标原点，终点位于点位于 点的距离矢量）为点的距离矢量）为，则矢量微，则矢量微分分为在点为在点 处与矢量线相切的矢量。按矢处与矢量线相切的矢量。按矢量线的定义，矢量微分必定在量线的定义，矢量微分必定在 点处与点处与场矢量方向相同，而场矢量为场矢量方向相同，而场矢量为这便是矢量线所满足的微分方程，其解为矢量这便是矢量线所满足的微分方程，其解为矢量线族。再利用过线族。再利用过 点这个条件，即可求出过点这个条件，即可求出过 点的

18、矢量线。点的矢量线。23 因矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程又可以用矢量式因矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程又可以用矢量式表示为表示为 24例例 求矢量场 的矢量线方程。解解 矢量线应满足的微分方程为 从而有从而有 解得矢量方程 c1和c2是积分常数。 251.3 1.3 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.1.方向导数的定义方向导数的定义2.2. 为了确定在某空间上的标量场（）需要研究它在该空间的变化为了确定在某空间上的标量场（）需要研究它在该空间的变化情况。要了解（）沿着情况。要了解（）沿着 轴（或，轴）方向的变化，只需要求出轴（或，轴）方向

19、的变化，只需要求出（，）关于（或，）的偏导数。在许多场合，除了沿坐标（，）关于（或，）的偏导数。在许多场合，除了沿坐标轴方向的变化外，还需要知道（）沿着其他任意方向的变化情况。这就轴方向的变化外，还需要知道（）沿着其他任意方向的变化情况。这就需要计算（）沿着任意方向的导数。需要计算（）沿着任意方向的导数。从标量场中任一点从标量场中任一点 M M0 0出发，引一条射线，出发，引一条射线，在上任取一点在上任取一点 ，用，用 表示从表示从 M M0 0到到 的距离，则的距离，则 （）（）（ M M0 0 ）。）。当沿着，当沿着， M M0 0时，比式时，比式/( (M)-(M)-( M( M0 0

20、)/ )/的极限存在，则称此极限值为函数的极限存在，则称此极限值为函数(M)(M)在在 点点M M0 0处沿方向的方向导数，记作处沿方向的方向导数，记作26 方向导数是标量场函数在一点方向导数是标量场函数在一点M0M0处沿某一方向对距离的变化率，它反映了函数处沿某一方向对距离的变化率，它反映了函数u(Mu(M) )沿方向增减的情况。沿方向增减的情况。表示函数（）在点表示函数（）在点 沿方向是增加的，越大，沿方向是增加的，越大，表示增加得越快；表示增加得越快；表示函数（）在点表示函数（）在点 沿方向是减小的，越大，表沿方向是减小的，越大，表示减小得越快。示减小得越快。方向导数的计算方向导数的计算

21、 在直角坐标系中，设标量函数在直角坐标系中，设标量函数(x, y, z)(x, y, z)在点在点 M M0 0(x(x0 0, y, y0 0, z, z0 0) )处可微，处可微，则函数则函数 在点在点M M0 0 处沿方向的方向导数存在。处沿方向的方向导数存在。全微分则27将方向的个方向余弦表示式代入，得将方向的个方向余弦表示式代入，得方向余弦28方向导数梯度梯度 标量函数在标量函数在 点沿着不同方向的变化率是不同的，那么，是否存在某个方向，点沿着不同方向的变化率是不同的，那么，是否存在某个方向，使函数沿着该方向的变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？这是电磁场理论中使函数沿着该方向的变

22、化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？这是电磁场理论中经常遇到的问题。经常遇到的问题。标量函数的方向导数为标量函数的方向导数为方向的单位矢量可表示为方向的单位矢量可表示为即方向的方向余弦是方向的单位矢量即方向的方向余弦是方向的单位矢量e el l在相应的坐标轴上的投影。在相应的坐标轴上的投影。29令令令表示矢量表示矢量 与单位矢量与单位矢量e el l之间的夹角，根据矢量点积的计算式可得之间的夹角，根据矢量点积的计算式可得 随着方向的改变，随着方向的改变，发生变化，方向导数值也随之变化。当方向与发生变化，方向导数值也随之变化。当方向与 方向方向一致时，方向导数值达到最大，最大的方向导数为（一致时

23、，方向导数值达到最大，最大的方向导数为（ 是矢量是矢量 的模）。的模）。 如果在标量场中任一点如果在标量场中任一点 处，存在矢量，其方向为场函数（，）处，存在矢量，其方向为场函数（，）在在 点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其模是这个最大变化率的数点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其模是这个最大变化率的数值，则称矢量值，则称矢量 为标量场（，）在点为标量场（，）在点 处的梯度，记为处的梯度，记为30 梯度运算是分析标量场的工具。梯度是描述标量场中任一点函数值在该点附近增梯度运算是分析标量场的工具。梯度是描述标量场中任一点函数值在该点附近增减性质的量，但标量场的梯度本身却是一个矢量，沿着

24、梯度的方向，函数（，减性质的量，但标量场的梯度本身却是一个矢量，沿着梯度的方向，函数（，）增加得最快。）增加得最快。 方向导数等于梯度在该方向上的投影，表示为方向导数等于梯度在该方向上的投影，表示为 场函数在点场函数在点 处梯度的方向垂直于过该点处梯度的方向垂直于过该点的等值面，且指向增大的方向。的等值面，且指向增大的方向。 标量场的每一点都有一个梯度，它是矢量，标量场的每一点都有一个梯度，它是矢量，这便构成这便构成 了了 标标 量量 场场 的的 梯梯 度度 场。标场。标 量量 场场 的的 梯梯 度度 场场 是是 矢量场。矢量场。31标量函数标量函数的的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为等

25、值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为即梯度的方向与过即梯度的方向与过该点的等值面相垂该点的等值面相垂直直, 并由梯度定义并由梯度定义知知, 它指向它指向增大增大的方向。的方向。 一座山的等高线图一座山的等高线图 32 标量场的梯度是一个矢量标量场的梯度是一个矢量, ,是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数; ; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向, ,即与等值线即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最的最大变化率，即该点最大方向导数大方

26、向导数; ;梯度的物理意义33设 为常数，和 分别是两个标量函数，有34351.4 1.4 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度1.1.矢量场的通量矢量场的通量在场域中选取一曲面，为区分曲面的两侧，取定其中的任一侧作为曲面的正侧。在场域中选取一曲面，为区分曲面的两侧，取定其中的任一侧作为曲面的正侧。如果曲面是闭合的，习惯上取外侧为正侧。表示曲面正侧的方法是取曲面的法线方向。如果曲面是闭合的，习惯上取外侧为正侧。表示曲面正侧的方法是取曲面的法线方向。在曲面在曲面 上任取一点上任取一点 与包含这点在内的一曲面元，过与包含这点在内的一曲面元，过 点作曲面的法向单位点作曲面的法向单位矢量矢量e en

27、n。矢量（）穿过曲面元的通量定义为矢量（）穿过曲面元的通量定义为矢量场函数（）穿过场中某一有向曲面的矢量场函数（）穿过场中某一有向曲面的通量定义为通量定义为36通量是一个标量。通量是一个标量。当场矢量与曲面法线方向之间夹角为锐角时，当场矢量与曲面法线方向之间夹角为锐角时，；当场矢量与曲面法线方向之间夹角为钝角时，当场矢量与曲面法线方向之间夹角为钝角时，；当场矢量与曲面法线方向垂直时，当场矢量与曲面法线方向垂直时，若是闭合曲面，且指定外侧方向为法线方向，则有若是闭合曲面，且指定外侧方向为法线方向，则有若若，则表示流出闭合面的通量大于流入的通量，说明有矢量线从闭合面内散，则表示流出闭合面的通量大于

28、流入的通量，说明有矢量线从闭合面内散发出来。发出来。若若，则表示流入闭合面的通量大于流出的通量，说明有矢量线被吸收到闭合，则表示流入闭合面的通量大于流出的通量，说明有矢量线被吸收到闭合面内。面内。若若，则表示流出闭合面的通量与流入的通量相等，说明矢量线处于某种平衡，则表示流出闭合面的通量与流入的通量相等，说明矢量线处于某种平衡状态。状态。37矢量矢量 E E 沿闭合曲面沿闭合曲面S S 的面积分的面积分 0 (0 (有正源有正源) ) 0 (0 (有负源有负源) ) =0 (=0 (无源无源) )矢量场的通量矢量场的通量 可以根据净通量的大小判断闭合面可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质中

29、源的性质: :通量的物理意义通量的物理意义38例例1-4-11-4-1在点电荷产生的电场中，场矢量在点电荷产生的电场中，场矢量 其中，是点电荷其中，是点电荷 到场点到场点 的距离；的距离；e er r是从点电荷是从点电荷 指向场点指向场点 的单位矢量。设的单位矢量。设 是以点电荷为是以点电荷为中心、中心、 为半径的球面，求从球内穿出的电通量为半径的球面，求从球内穿出的电通量。解在球面上恒有，且解在球面上恒有，且e er r与球面的法向单位矢量与球面的法向单位矢量e en n的方向一致，所以的方向一致，所以在球面内产生电通量在球面内产生电通量 的源就是电荷。当为正电荷时，的源就是电荷。当为正电荷

30、时，为正源，为正源，说明有场矢量线从向外发出。当为负电荷时，说明有场矢量线从向外发出。当为负电荷时，为负源，说明有场矢，为负源，说明有场矢量线终止于。量线终止于。39散度的定义散度的定义 利用通量概念只能分析闭合面内场矢量源的整体情况。要分析场中任一点附近的利用通量概念只能分析闭合面内场矢量源的整体情况。要分析场中任一点附近的情况，必须将闭合面缩小到一点上。为此，引入矢量场的散度概念。情况，必须将闭合面缩小到一点上。为此，引入矢量场的散度概念。 设有矢量场函数（），在场中作包围点的闭曲面，并令所包围的空间设有矢量场函数（），在场中作包围点的闭曲面，并令所包围的空间区域为区域为，体积为，体积为。

31、当。当收缩到，即收缩到，即时，若极限时，若极限存在，则称此极限值为矢量场（）在点存在，则称此极限值为矢量场（）在点 处的散度。记作，且处的散度。记作，且 矢量的散度是描述矢量场中任一点发散性质的量。矢量的散度是标量。散度就矢量的散度是描述矢量场中任一点发散性质的量。矢量的散度是标量。散度就是通量的体密度，即单位体积发出的通量。矢量是通量的体密度，即单位体积发出的通量。矢量 的散度形成一标量场，叫做矢量的散度形成一标量场，叫做矢量场场 的散度场。的散度场。 应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。在在 点，若，则表明点，若，则表明 点有正源；点有正源；

32、若，则表明若，则表明 点有负源。点有负源。 为正值时，其数值越大，正源的发散量越大；为正值时，其数值越大，正源的发散量越大； 为负值时，为负值时，其绝对值越大，表明这个负源吸收量越大。若，则表明该点无源。如其绝对值越大，表明这个负源吸收量越大。若，则表明该点无源。如果在场中处处有，则称此场为无源场，或称为无散场。果在场中处处有，则称此场为无源场，或称为无散场。40散度的计算散度的计算 在直角坐标系中，若矢量场在直角坐标系中，若矢量场 A Ax x(x(x, y, , y, z)ez)ex x A Ay y(x,y,z)e(x,y,z)ey yA Az z(x,y,z)e(x,y,z)ez z

33、的分量，的分量， 有一阶连续偏导数，则可求有一阶连续偏导数，则可求 在任一点在任一点 处的散度。处的散度。 根据散度的定义可知，根据散度的定义可知， 与所取与所取 的形状无关，只要在取极限时，所有的尺寸都趋于的形状无关，只要在取极限时，所有的尺寸都趋于零即可。零即可。前后面左右面上下面41净通量散度定义42例例1-4-2 1-4-2 求点电荷产生的静电场中，场矢量求点电荷产生的静电场中，场矢量 在在的的任意一点任意一点 处的散度。处的散度。43散度的运算公式散度的运算公式设设 为常数，为标量函数，为常数，为标量函数， 为矢量函数，有为矢量函数，有44散度定理散度定理 设矢量场设矢量场A Ax

34、x(x(x, y, , y, z)ez)ex x A Ay y(x,y,z)e(x,y,z)ey yA Az z(x,y,z)e(x,y,z)ez z的各分量的各分量AxAx，AyAy，AzAz在闭曲面所围区域内有一阶连续偏导数，则有在闭曲面所围区域内有一阶连续偏导数，则有上式称为散度定理，又称为高斯上式称为散度定理，又称为高斯- -奥斯特洛格拉特斯基公式。它的意义在于给出了闭奥斯特洛格拉特斯基公式。它的意义在于给出了闭合曲面积分与体积分之间的等价互换关系。合曲面积分与体积分之间的等价互换关系。45例例 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算试利用散度定理计算

35、解解461.5 1.5 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度1. 1. 矢量场的环量矢量场的环量在矢量场中选取一闭合曲线。为了表示曲线的走向，选定曲线的一个切线方向在矢量场中选取一闭合曲线。为了表示曲线的走向，选定曲线的一个切线方向为曲线的正方向。在曲线上任取一点为曲线的正方向。在曲线上任取一点 ，过，过 点作曲线的切线，其单位矢量为点作曲线的切线，其单位矢量为e et t。取一弧元，矢量函数（）沿场中有向闭合曲线的线积分。取一弧元，矢量函数（）沿场中有向闭合曲线的线积分称为矢量场称为矢量场 按所取方向沿曲线的环量。按所取方向沿曲线的环量。 环量是描述矢量场特征的量，是一个标量。环量是描述矢量

36、场特征的量，是一个标量。由定义式可知，它的数值不仅与场矢量由定义式可知，它的数值不仅与场矢量 有关，有关，而且与回路的形状和取向有关。这说明而且与回路的形状和取向有关。这说明表示表示的是场矢量沿的总体旋转特性。为了研究场矢的是场矢量沿的总体旋转特性。为了研究场矢量量 在某一点附近的性质，就需要让收缩到一在某一点附近的性质，就需要让收缩到一点，为此，引入环量面密度的概念。点，为此，引入环量面密度的概念。47环量面密度环量面密度 设设 为矢量场中的一点，在为矢量场中的一点，在 点取一单位矢量点取一单位矢量e en n，并在，并在 点周围取小闭合点周围取小闭合回路回路，令，令的环绕方向与的环绕方向与

37、e en n 构成右手螺旋关系；作以构成右手螺旋关系；作以为边界，为边界，e en n为法线方为法线方向，且过点向，且过点 的小曲面的小曲面 。当。当 以任意方式收缩到以任意方式收缩到 点时，若极限点时，若极限存在，则称该极限值为矢量场存在，则称该极限值为矢量场 在在 点绕方向点绕方向e en n 的环量面密度。的环量面密度。 上式是环量的平均面密度，取极限得到在上式是环量的平均面密度，取极限得到在 点点的环量面密度。若极限存在，则环量面密度与的环量面密度。若极限存在，则环量面密度与e en n有关，有关，与与的形状无关。环量面密度的大小反映了在的形状无关。环量面密度的大小反映了在 点绕点绕e

38、 en n方向旋转的强弱情况。它与取定的方向方向旋转的强弱情况。它与取定的方向en有关。有关。在空间的一点，方向在空间的一点，方向en可以任意选取。随着可以任意选取。随着en方向的方向的改变，环量面密度将连续变化。在环量面密度最大的改变，环量面密度将连续变化。在环量面密度最大的方向上，场矢量的旋转性最强。为了表述这种特性，方向上，场矢量的旋转性最强。为了表述这种特性，引入旋度的概念。引入旋度的概念。48旋度的定义旋度的定义 环量面密度是一个与方向有关的量，正如在标量场中，方向导数与方向有关一样。环量面密度是一个与方向有关的量，正如在标量场中，方向导数与方向有关一样。 若在矢量场若在矢量场 中的

39、一点中的一点 处存在矢量，它的方向是处存在矢量，它的方向是 在该点环量面密度最大在该点环量面密度最大的方向，它的模就是这个最大的环量面密度，则称矢量的方向，它的模就是这个最大的环量面密度，则称矢量 为矢量场为矢量场 在点在点 的旋的旋度，记为，且度，记为，且因此，旋度矢量在数值和方向上表示出了最大的环量面密度。因此，旋度矢量在数值和方向上表示出了最大的环量面密度。 在在e en n方向的环量方向的环量面密度就是面密度就是 在在e en n上的投影。上的投影。e en n方向的环量面密度表示为方向的环量面密度表示为49旋度的计算旋度的计算 环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。取平

40、行于坐标环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。取平行于坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与 平行，小矩形面的面积为平行，小矩形面的面积为以以 点为中心，在其周围将点为中心，在其周围将 展开成泰勒级数展开成泰勒级数并忽略高阶项，则并忽略高阶项，则 沿沿 llx x 的线积分为（的线积分为（ lx沿沿逆时针方向）逆时针方向）50得取平行于坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与取平行于坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与e ey y平行，小矩形面的平行，小矩形面的面积为面积为51得取平行于取平行于X XY Y坐标平面的小矩形面，小矩形面的法

41、向矢量与坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与e ez z平行，小矩形面的面平行，小矩形面的面积为积为5253旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若在矢量场中，若A=J 0,称之为称之为旋度场旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )，J 称称为为旋度源旋度源( (或涡旋源或涡旋源) )； 点点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处若矢量场处处A=0，称之为无称之为无旋场旋场( (

42、或保守场或保守场) )。545 5旋度的运算公式旋度的运算公式设设 为常数，为标量函数，为常数，为标量函数， 为矢量函数，有为矢量函数，有556 斯托克斯定理斯托克斯定理设矢量场设矢量场A Ax x(x(x, y, , y, z)ez)ex x A Ay y(x,y,z)e(x,y,z)ey yA Az z(x,y,z)e(x,y,z)ez z的各分量的各分量A Ax x，A Ay y，A Az z在空间在空间区域中有一阶连续偏导数，区域中有一阶连续偏导数，l l为为S S曲面的边界，曲面的边界，l l与与S S成右手螺旋关系，则有成右手螺旋关系，则有 旋度在曲面法线方向的投影就是沿法线方向的

43、环量面密度。将此面密度进行面积旋度在曲面法线方向的投影就是沿法线方向的环量面密度。将此面密度进行面积分就得到这个曲面上的环量，也就是矢量沿曲面边界的线积分。分就得到这个曲面上的环量，也就是矢量沿曲面边界的线积分。 斯托克斯定理的意义在于给出了闭合曲线积分与面积分的等价互换关系。斯托克斯定理的意义在于给出了闭合曲线积分与面积分的等价互换关系。 56 设想把曲面设想把曲面 分成许多个面积元。对每一个分成许多个面积元。对每一个面积元，沿包围它的闭合回路求矢量面积元，沿包围它的闭合回路求矢量 的环量，的环量，并并 取面取面 积元边缘闭合线积分的方向与外边界大积元边缘闭合线积分的方向与外边界大回路的方向

44、一致。将所有面积元的这些线积分回路的方向一致。将所有面积元的这些线积分相加，可以看出，因相加，可以看出，因 为为 在在 各各 个个 小小 回路公共回路公共边界上的积分路径方向彼此相反，使得这部分积边界上的积分路径方向彼此相反，使得这部分积分互相抵消，只有外边界的那部分分互相抵消，只有外边界的那部分 积积 分分 存存 在。在。所所 以，积以，积 分分 的的 结结 果是所有沿小回路积分的总果是所有沿小回路积分的总和等于沿大回路的积分，和等于沿大回路的积分， 57例例 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 求任意点处(r0)电场强度的旋度E。 58可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零

45、。 故 这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因591.6 1.6 哈米尔顿算子哈米尔顿算子1.1.哈米尔顿算子哈米尔顿算子直角坐标系中，哈米尔顿算子直角坐标系中，哈米尔顿算子是一个矢量形式的算子，具有微分运算和矢量运算的功能。它不是一个函数，也不是一个矢量形式的算子，具有微分运算和矢量运算的功能。它不是一个函数，也不是一个物理量，仅表示一种运算。只有作用在空间函数上才有意义。是一个物理量，仅表示一种运算。只有作用在空间函数上才有意义。2 算子的作用规则算子的作用规则 60具有矢量的形式，但又不是一个完整的矢量具有矢量的形式，但又不是一个完整的矢量标量标量算子算子613 用用算子表示梯度、散度和旋

46、度算子表示梯度、散度和旋度624 拉普拉斯算子拉普拉斯算子当要决定一个矢量的散度，而该矢量是一个标量的梯度时，就会用到拉普拉斯算子当要决定一个矢量的散度，而该矢量是一个标量的梯度时，就会用到拉普拉斯算子拉普拉斯算子也可以用于矢量拉普拉斯算子也可以用于矢量635 算子的运算公式算子的运算公式64公式（公式（17）证明）证明设设e为任意方向的一个单位矢量为任意方向的一个单位矢量利用公式利用公式1515（散（散度定理）度定理）所以656 标量的格林定理标量的格林定理利用公式利用公式1515（散（散度定理）度定理）格林第一恒等式格林第一恒等式与与互换并互换并与上式相减与上式相减格林第二恒等式，即格林定

47、理格林第二恒等式，即格林定理667 矢量的格林定理矢量的格林定理公式公式1010散度定理散度定理A A与与B B交换交换矢量格林第二恒等式，即矢量格林定理矢量格林第二恒等式，即矢量格林定理 利用上述格林定理, 可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。 同时, 如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一场的分布特性。 67 空间区域空间区域V V上的任意矢量场上的任意矢量场F F，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定。量场唯一确定。证明：假设有两个解满足定理条件，分别为证明：假设有两个解满足定理条件，分别为F1F1和和F2F27矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理另另F3=F1-F2边界条件：假设已知矢量的法向分量或切向分量边界条件：假设已知矢量的法向分量或切向分量68假设已知矢量的法向分量假设已知矢量的法向分量设散度定理散度定理69 亥姆赫兹定理表明，空间矢量场由他的散度和旋度唯一得确定。亥姆赫兹定理表明，空间矢量场由他的散度和旋度唯一得确定。在后面的课程内容中，针对电场、磁场和交变电磁场，重点研在后面的课程内容中，针对电场、磁场和交变电磁场，重点研究散度和旋度。究散度和旋度。7071727374