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1、信号的频域分析连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱 将信号表示将信号表示为不同不同频率正弦分量的率正弦分量的线性性组合合 (1) 从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 (2) 从系从系统分析角度分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励
2、下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。连续周期信号的周期信号的频域分析域分析意义：一、周期信号的傅立叶级数展开1. 周期信号展开为傅立叶级数条件 周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。2. 2. 指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合
3、起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。3. 3. 三角形式傅立叶三角形式傅立叶级数数若 f (t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故三角形式傅立叶三角形式傅立叶级数数纯余弦形式傅立叶级数 称为信号的直流分量， An cos(n0t+ n)称为信号的n次谐波分量。例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级
4、数展开式为若=T/2，则有由因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为由周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为二、 周期信号的频谱及其特点 周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数函数。 不同的时域信号，只是傅里叶傅里叶级数的系数数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。1 1、频谱的概念、频谱的概念2 2、频谱的
5、表示、频谱的表示直接画出信号各次谐波对应的An、 Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。幅频特性相频特性例1周期矩形脉冲信号的频谱图3 3频谱的特性频谱的特性(1)(1)离散离散频谱特性特性周期信号的频谱是由 间隔隔为0的谱线组成 信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。反之，T越小，0越大，谱线则越疏。3 3频谱的特性频谱的特性(2)(2)幅度衰减特性幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱 随着随着谐波波nw w0增大增大 时，幅度频谱|Cn|不断衰减不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形域波形变化越平化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度幅度频谱衰减越快衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高
6、次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。 f(t)不不连续时， Cn按按1/n的速度衰减的速度衰减 f(t)不不连续时，Cn按按1/n2的速度衰减的速度衰减(3)(3)信号的有效信号的有效带宽 02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。 说明：明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。4 4 相位谱的作用相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变1. 线性特性 2. 时移特性 三、傅里叶级数的基本性质
7、3.卷积性质(1)若f(t)为实信号若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且4. 微分特性5. 对称特性5. 对称特性(2) 纵轴对称信号fT(t)=fT(-t)纵轴对称周期信号称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流直流项与余弦余弦项。(3) 原点对称信号fT(t)=-fT(-t)原点原点对称周期信号称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦正弦项。(4) 半波重迭信号 fT(t)=f(tT/2) 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦正弦与余弦的偶次的偶次谐波分量波分量，而无奇次谐波分量。(5) 半波镜像信号 fT(t)=-f(tT/2)半波半波镜像周期信号像周期信号只
8、含有只含有正弦与余弦正弦与余弦的奇次的奇次谐波分量波分量，而无直流分量与偶次，而无直流分量与偶次谐波分波分量。量。去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后， 才呈现出某种对称特性例题3四、周期信号的功率谱 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率功率谱。帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理例题4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号
9、平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。解 周期矩形脉冲的傅立叶系数为将A=1，T=1/4，=1/20，0=2/T=8 代入上式功率谱信号的平均功率为包含在有效带宽(02/)内的各谐波平均功率为周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。吉伯斯现象用有限次谐波分量来近似原信号，在不在不连续点点 出出现过冲冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳跳变值的的9% 。吉伯斯现象产生原因时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点断点傅里叶级数出现非一致收非一致收敛。N=5N=15N=50N=500周期信号的频域分析小结分析问题使用的数学工
10、具为傅里叶傅里叶级数数最重要概念：频谱函数函数 要点要点1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用连续非周期信号的频谱从从傅立叶傅立叶级数到傅立叶数到傅立叶变换频谱函数与函数与频谱密度函数的区密度函数的区别 傅里叶反傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的非周期矩形脉冲信号的频谱分析分析1从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响： 周期为T宽度为的周期矩形脉冲的Fourier系数为物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。2. 2. 频谱函数与频谱密度
11、函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别(1) 周期信号的周期信号的频谱为离散离散频谱， 非周期信号的非周期信号的频谱为连续频谱。(2) 周期信号的周期信号的频谱为Cn的分布，的分布， 表示每个表示每个谐波分量的复振幅波分量的复振幅；非周期信号的非周期信号的频谱为T Cn的分布，表示每的分布，表示每单位位带宽内内 所有所有谐波分量合成的复振幅，即波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。密度函数。两者关系：物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为F()/2d 的复指数信号ej t的线性组合。T , 记n0=, 0=2/T=d, 3. 3. 傅里叶反变换傅里叶反变换傅立叶正变换：傅立叶反变
12、换：符号表示：狄里赫莱条件狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。例题 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数解 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅立叶正变换定义式，可得分析：2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得3. 信号在时域有限域有限，则在频域域将无限无限延续。4. 信号的频谱分量主要集中在零零频到第一个到第一个过零点零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效有效带宽。5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，
13、高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号e-|t| 单位冲激信号(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列1. 常见非周期信号的频谱(1) 单边指数信号幅度频谱为相位频谱为单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱(2) 双边指数信号e-|t|幅度频谱为相位频谱为(3) 单位冲激信号(t)单位冲激信号及其频谱(4) 直流信号直流信号不
14、满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。 对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱（5） 符号函数信号符号函数定义为符号函数的幅度频谱和相位频谱(6) 单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱2 常见周期信号的频谱(1) 虚指数信号同理:（ 2 ） 正弦型信号余弦信号及其频谱函数正弦信号及其频谱函数（3）一般周期信号两边同取傅立叶变换 （4）单位冲激序列因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：单位冲激序列及其频谱函数1. 线性特性2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性
15、5. 时移特性 6. 频移特性7. 时域卷积特性8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性11. 频域微分特性 12. 能量定理傅里叶变换的基本性质1. 线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(t)为是实函数时，有 |F(j )| = |F(-j )| ， f() = -f(-) F(j)为复数，可以表示为3 时移特性式中t0为任意实数证明：令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在信号在时域中的域中的时移，移，对应频谱函数在函数在频域域 中中产生的附加相移，而幅度生的附加相移，而幅度频谱保持不保持不变。例1试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)
16、。解 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4. 展缩特性证明:令x=at，则dx=adt ，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。例：尺度变换变换后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.5.互易对称特性互易对称特性6. 6. 频移特性（调制定理）频移特性（调制定理）若f(t) F(j) 式
17、中0为任意实数证明明： 由傅立叶变换定义有则信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。同理 例2 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后信号的频谱函数。应用频移特性可得解解 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为7 7.时域微分特性则若f(t) F(j) 例3试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。 解 由时域微分特性因此有8 8.积分特性若信号不存在直流分量，即F(0)=0则若f(t) F(j) 则9.频域微分特性则若f(t) F(j) 将上式两边同乘以j得证明：明：例4 试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。解 已知单位阶跃信
18、号傅立叶变换为:利用频域微分特性可得:10.时域卷积特性证明：明：11.频域卷积特性(调制特性)证明：12.非周期信号的能量谱密度由于信号f(t)为实数，故F(-j)=F*(j)，因此上式为信号的能量可以由|F(j)|2在整个频率范围的积分乘以1/2 来计算。物理意物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量能量频谱密度函数密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量帕什瓦帕什瓦尔能量守恒定理能量守恒定理1. 线性特性2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性5. 频移特性 6. 时域卷积特性7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性10. 频
19、域微分特性 傅立叶变换性质一览表非周期信号频域分析小结重要概念:非周期信号的非周期信号的频谱 1)非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区别 2)非周期信号频谱的物理意义 3)非周期信号频谱的分析方法:应用常用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质 分析问题使用的数学工具:傅里叶变换 工程应用:调制、解调，频分复用离散离散FourierFourier级数（级数（DFSDFS）DFSDFS的定的定义 常用离散周期序列的常用离散周期序列的频谱分析分析 周期单位脉冲序列 Nk正弦型序列 周期矩形波序列DFSDFS的性的性质一、一、DFSDFS的定义的定义IDFSDFS0 k不是N的整数倍N k是N的整数倍DF
20、SDFS的物理含义的物理含义1)周期为N的任意序列可分解为基本序列 exp(2km/N ; m=0,1, , N-1的线性组合。2)任意序列在的抽样值，做DFS获得可通过对二、常用离散周期序列的频谱分析二、常用离散周期序列的频谱分析1.1.周期单位脉冲序列周期单位脉冲序列d d Nk二、常用离散周期序列的频谱分析二、常用离散周期序列的频谱分析2.2.正弦型序列正弦型序列周期序列f k=cos(k/6)的频谱二、常用离散周期序列的频谱分析二、常用离散周期序列的频谱分析3.3.周期矩形波序列周期矩形波序列当m=0, N, 2N, 时有周期矩形波序列的频谱周期矩形波序列的频谱N=30M=2N=30
21、M=12三三 DFSDFS的基本性质的基本性质1. 1. 线性特性线性特性三三 DFSDFS的基本性质的基本性质2.2.位移特性位移特性k0123a)时域位移b)频域位移三三 DFSDFS的基本性质的基本性质3. 3. 对称性对称性实序列偶对称实序列奇对称实序列实部为零，Fm共轭偶对称(虚部奇对称)周期序列的对称周期序列的对称偶对称奇对称三三 DFSDFS的基本性质的基本性质4.4.周期卷积定理周期卷积定理周期卷积定义离散时间离散时间FourierFourier变换变换(DTFT)DTFT的的定义 DTFT的的性质一一 DTFTDTFT的的定义DTFT1) F(e jW )是连续的 IDTFT2) F(e jW )是周期为2的周期函数F(e jW )特点：例2：解：例3：试求单位脉冲序列fk=k的DTFT。解： 二二 DTFTDTFT性质性质1.1.线性特性线性特性 2. 2.对称特性对称特性当 f k是实序列时:F(e jW )可表示为若 f k实偶对称，则F(e jW )实偶对称。若 f k实奇对称，则F(e jW )虚奇对称。二二 DTFTDTFT性质性质3.时移4.频移5.时域卷积6.频域卷积7.频域微分8.能量定理例4
