数学模型与数学建模68464

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1、数数 学学 模模 型型 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 课 程 名 称学 时 36数学模型与数学建模Mathematical Modeling学 分3课程类别专业选修课先 修 课 程微积分、线性代数、概率论与数理统计课 程 简 介本本课课程是程是计计算机及管理算机及管理专业专业的一的一门专业选门专业选修修课课。也是本科生参加数学建。也是本科生参加数学建模模竞赛竞赛的的辅导课辅导课程。数学模型是架于数学理程。数学模型是架于数学理论论和和实际问题实际问题之之间间的的桥桥梁。梁。数学建模是数学建模是应应用数学解决用数学解决实际问题实际问题的重要手段和途径。本的重要手段和途径

2、。本书书介介绍绍数学建数学建模中常用的一些基本概念、理模中常用的一些基本概念、理论论和典型的数学模型，包括：数据和典型的数学模型，包括：数据拟拟合，合，网网络络模型，模型，优优化模型，离散模型、随机模型，化模型，离散模型、随机模型，时间时间序列序列预报预报模型，回模型，回归归分析及其分析及其试验设计试验设计。通。通过过数学模型和数学建模有关数学模型和数学建模有关问题问题的的论论述和模型述和模型实实例的介例的介绍绍，使学生，使学生应应用数学解决用数学解决实际问题实际问题的能力有所提高。的能力有所提高。教 材 及 参 考 书 目数学模型，姜启源主编， 高等教育出版社 课课 程程 简简 介介 数学模

3、型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第一章第一章 建立数学模型建立数学模型第二章第二章 初等模型初等模型第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型第六章第六章 稳定性模型稳定性模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型第八章第八章 离散模型离散模型第九章第九章 概率模型概率模型第十章第十章 统计回归模型统计回归模型附录附录: : 数学建模实验数学建模实验周次节次教学内容课时作业执行情况1五 56 1.1-1.5数学模型的介绍 1.6数学模型的基本

4、方法步骤、特点和分类22五 562.1公平的席位分配(讨论课)2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃的功效23五 562.7实物交换3.2生猪的出售时机24五 563.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五 563.6消费者的选择4.3汽车生产与原油采购26五 564.5饮料厂的生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五 56 5.2经济增长模型 5.6人口的预测和控制 28五 56 6.1捕鱼业的持续收获 6.2军备竞赛(讨论课)2 教教 学学 进进 度度 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编9五 56 6.4种群的相互依存 7.1市场经济中的蛛网模型2 10五 56

5、7.2减肥计划-节食与运动 8.3层次分析模型212五 56 8.4效益的合理分配 9.2报童的诀窍(讨论课)213五 56 9.5随机人口模型 9.6航空公司的预定票策略214五五56 10.1牙膏的牙膏的销销售量售量2评估周评估周15五 56 Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五 56 数学建模实验(上机)217五 56 数学建模实验(上机)218 考试 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2数学建模

6、的重要意义数学建模的重要意义1.3数学建模示例数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分

7、特征中人们需要的那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解求解 第一章第一章

8、建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模

9、型数学模型 姜启源姜启源 主编主编数学模型数学模型(MathematicalModel)和和数学建模（数学建模（MathematicalModeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1.2 数学

10、建模的重要意义数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 第一章第一章 建立数学模型建立

11、数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编数学建模的具体应用数学建模的具体应用分析与设计分析与设计预报与决策预报与决策控制与优化控制与优化规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常三只脚着地三只脚着地放稳放稳四只脚着地四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为

12、数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCODCBA用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C两脚与地面

13、距离之和两脚与地面距离之和f( )B,D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ),g( )是是连续函连续函数数对任意对任意 , f( ),g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知：f( ),g( )是是连续函数连续函数;对任意对任意 ，f( )g( )=0;且且g(0)=0，f(0)

14、0.证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0)=g( 0)=0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f( /2)=0,g( /2)0.令令h( )=f( )g( ),则则h(0)0和和h( /2)p2/n2，对对不公平不公平A p1/n1p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模

15、型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对即对A不公平不公平对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方法分配方法若若p1/n1p2/n2，定义定义 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编

16、主编1）若）若p1/(n1+1)p2/n2， 则这席应给则这席应给A2）若）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2问：问： p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给B 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编当当rB(n1+1,n2)640g=0.1 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编敏感性分析敏感性分析研究研究r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响估计估计r=2， g=0.1设设g=

17、0.1不变不变t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。rt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1研究研究r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响设设r=2不变不变t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。gt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编强健性分析强健性分析保留生

18、猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计,再作计算。再作计算。研究研究r,g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响w=80+rt w = w(t)p=8-gt p =p(t)若若(10%),则则（30%）每天利润的增值每天利润的增值每天投入的资金每天投入的资金 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队

19、员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x),f2(x)之和最小之和最小 第三章第三

20、章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型假设模型假设3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损

21、失费）1）0 t t1,dB/dt与与t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2, 降为降为 - x( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径r与与t 成正比成正比面积面积B与与t2成正比，成正比，dB/dt与与t成正比成正比. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型建立模型建立b0t1tt2假设假设

22、1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2） 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求x使使C(x)最小最小结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中c1,c2,c3,t1, , 为已知参数为已知参数 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估计可估计,c2 x c1,t1, x c3, x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失

23、费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3.4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，

24、记作x2）收入与销量）收入与销量x 成正比，系数成正比，系数p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量x 成正比，系数成正比，系数q 即成本即成本4）销量）销量x 依赖于价格依赖于价格p,x(p)是减函数是减函数建模建模与求解与求解收入收入支出支出利润利润进一步设进一步设求求p使使U(p)最大最大 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编使利润使利润U(p)最大的最优价格最大的最优价格p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出 第三章第三章 简单的优化模型简单

25、的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编结果结果解释解释q / 2成本的一半成本的一半b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度）a 绝对需求绝对需求(p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b? 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编q2U(q1,q2)=cq103.6 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如

26、何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2,消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作U(q1,q2)=cU(q1,q2)效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格p1,p2,有钱有钱s，试分配，试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量q1,q2,使使U(q1,q2)最大最大.第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型模型及及求解求解已知价格已知价格p1,p2,钱钱s,求求q

27、1,q2,或或p1q1/p2q2,使使U(q1,q2)最大最大几几何何解解释释直线直线MN:最优解最优解Q:MN与与l2切点切点斜率斜率MQN第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编结果结果解释解释边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2)应满足的条件应满足的条件A.U(q1,q2)=c所确定的函数所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸解释解释B的实际意义的实际意义第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模

28、型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形式的形式消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的平方根成正比。U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。两种商品的偏爱程度。第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推

29、广到思考：如何推广到m(2)种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形式的形式第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x) 0约束条约束条件件多元函数多元函数条件极值条件极值决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件

30、个数m较大较大最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？例例1 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。材、劳动时

31、间的需求，利润及工厂每月的现有量。小型小型中型中型大型大型现有量现有量钢材（吨）钢材（吨）1.535600劳动时间（小时）劳动时间（小时）28025040060000利润（万元）利润（万元）234制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型中型中型大型大型现有量现有量钢材钢材1.535600时间时间2

32、8025040060000利润利润234线性线性规划规划模型模型(LP)第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型求解求解 3）模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.5161290.000000X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.000000

33、0.003226结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试试探探：如如取取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等等，计计算算函函数数值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编IP可用可用LINDO直接求解直接求解整数规划整数规划( (Integer

34、Programming, ,简记简记IP) )“gin3”表示表示“前前3个变量个变量为整数为整数”，等价于：，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280x1+250x2+400x360000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解模型求解

35、 IP结果输出结果输出第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1, ,x2,x3=0或或 80 x1=80，x2=150，x3=0，最优值，最优值z=610第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编L

36、INDO中中 对对 0-1变量的限定：变量的限定：inty1inty2inty3方法方法2：引入引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划M为大的正数，为大的正数，可取可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180.000000-2.000000X2150.000000-3.000000X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划

37、。辆，求生产计划。x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80最优解同前最优解同前第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编NLP虽虽然然可可用用现现成成的的数数学学软软件件求求解解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划非线性规划（非线性规划（Non-LinearProgramming，简记，简记NLP）实实践践表表明明，本本例例仅仅当当初初值值非非常常接接近近上上面面方方法法算算出出的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到

38、正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工？例例2 原油采购与加工原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A： 购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部分部分8000元元/ /吨

39、；吨； 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/ /吨。吨。 售价售价4800元元/吨吨售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨库存库存1000吨吨汽油甲汽油甲(A 50%)原油原油A原油原油B汽油乙汽油乙(A 60%)第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 - - 购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)购买

40、购买xx11x12x21x224.8千元千元/吨吨5.6千元千元/吨吨原油原油A的购买量的购买量, ,原油原油A,B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x)购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编原油供应原油供应 约束约束条件条件 x 500吨单价为吨单价为10千千元元/ /吨；吨；500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨；吨；1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/ /吨。吨。 目标目标函数函数购买购买x AB

41、x11x12x21x22库存库存500吨吨库存库存1000吨吨第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软一般的非线性规划软件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制约束约束条件条件甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)x11x12x21x22第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模

42、型 姜启源姜启源 主编主编x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500( (吨吨) )时，才能以时，才能以8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2方法方法1 非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x=x1+x2+x3, c(x)=10x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨吨增加约束增加约束x=x1+x2+x3, c(x)=10x1+8x2+6x3 第四章第四章 数学规划模型

43、数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编方法方法1：LINGO求解求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;2*x12-3*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x30;x110;x120;x210;x220;x10;x20;x30;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X2150

44、0.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？用库存的用库存的500吨原油吨原油A、500吨原油吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为利润为4,800千千元。元。 第四章第四章

45、数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编y1,y2,y3=1以价格以价格10,8,6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A增增加加约约束束方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可用，可用LINDO求解求解y1, ,y2, ,y3=0或或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLE VALUE REDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.000

46、0000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买购买1000吨原油吨原油A，与，与库存的库存的500吨原油吨原油A和和1000吨原油吨原油B一起，生一起，生产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000千元千元。x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数y=0x=0x0y=1优于方法优于方法1的结果的结果第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编

47、主编b1b2b3b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2 0,c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2,z3 0,c(x)= z2c(b2)+z3c(b3).b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4 0,c(x)= z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x)第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编IP模型，模型，L

48、INDO求求解，得到的结果与解，得到的结果与方法方法2相同相同. .处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性bk x bk+1yk=1, ,否则否则, ,yk=0方法方法3 bk x bk+1, ,x= zkbk+z k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1 0,c(x)= zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2b3b4对于对于k=1,2,3第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修单阶段生产计划单阶段生产计划多

49、阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题生产批量问题企业生产计划企业生产计划考虑与产量无关的固定费用考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部外部需求和内部资源随时间变化资源随时间变化第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 安排生产计划安排生产计划,满足每周的需求满足每周的需求,使使4周总费用最小。周总费用最小。存贮费存贮费: :每周每千箱饮料每周每千箱饮料 0.2千元。千元。 例例1 饮料厂的生产与检修计划饮料厂的生产与检修计划 在在4周内安排一次设备检修，占用当周周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产

50、能千箱生产能力，能使检修后每周增产力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周千箱，检修应排在哪一周? ?周次周次需求量需求量(千箱千箱)生产能力生产能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计合计100135某种饮料某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周的需求量、生产能力和成本第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编问题分析问题分析除第除第4周外每周的生产周外每周的生产能力超过每周的需求；能力超过每周的需求；生产成本逐周上升；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。前几周应多生产一些。

51、周次周次需求需求能力能力11530225403354542520合计合计100135成本成本5.05.15.45.5 饮料厂在第饮料厂在第1周开始时没有库存；周开始时没有库存； 从费用最小考虑从费用最小考虑, , 第第4周末不能有库存；周末不能有库存； 周末有库存时需支出一周的存贮费；周末有库存时需支出一周的存贮费； 每周末的库存量等于下周初的库存量。每周末的库存量等于下周初的库存量。 模模型型假假设设 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编目标目标函数函数约束约束条件条件产量、库存与需求平衡产量、库存与需求平衡 决策变量决策变量 能力限制能力限制 非负

52、限制非负限制 模型建立模型建立x1x4：第：第14周周的生产量的生产量y1y3：第：第13周末周末库存量库存量周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5存贮费存贮费: :0.2( (千元千元/ /周周 千箱千箱) ) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型求解模型求解 4周生产计划的总费用为周生产计划的总费用为528(千元千元)最优解：最优解： x1x4：15，40，25，20；y1y3： 0，15，5.周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.

53、5产量产量15402520库存库存01550LINDO求解求解第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编检修计划检修计划0-1变量变量wt：wt=1=1检修安排检修安排在第在第t周周(t=1,2,3,4） 在在4周内安排一次设备检修，占用当周周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使千箱生产能力，能使检修后每周增产检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周千箱，检修应排在哪一周? ?检修安排在任一周均可检修安排在任一周均可周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5约束条件约束条件能能力力限限制制 产

54、量、库存产量、库存与需求平衡与需求平衡条件不变条件不变 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编增加约束条件：检修增加约束条件：检修1 1次次检修计划检修计划目标函数不变目标函数不变0-1变量变量wt：wt= =1检修检修安排在第安排在第t周周(t=1,2,3,4）LINDO求解求解总费用由总费用由528千元降千元降为为527千元千元检修所导致的生产能力提高的作用检修所导致的生产能力提高的作用,需要更长的时间才能得到充分体现。需要更长的时间才能得到充分体现。最优解：最优解： w1= =1,w2,w3,w4=0; x1x4：15, ,45, ,15, ,25

55、；y1y3：0, ,20, ,0.第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编例例2 饮料的生产批量问题饮料的生产批量问题 安排生产计划安排生产计划,满足每周的需求满足每周的需求,使使4周总费用最小。周总费用最小。存贮费存贮费: :每周每千箱饮料每周每千箱饮料 0.2千元。千元。 饮料厂使用同一条生产线轮流生产饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种多种饮料。饮料。若某周开工生产若某周开工生产某种某种饮料饮料,需支出需支出生产准备费生产准备费8千元。千元。某种饮料某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周的需求量、生产能力和成本周次周次需求量需求量(千箱千箱)生产能力生

56、产能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计合计100135第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编混合混合0-1规划模型规划模型 最优解：最优解：x1x4：15，40，45，0；总费用：总费用：554.0(千元千元)生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法将所给参数代入模型，用将所给参数代入模型，用LINDO求解求解第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 传染病模型传染病模型5.2 经济增长模型经

57、济增长模型5.6人口预测和控制人口预测和控制 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编动态动态模型模型描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学

58、模型 姜启源姜启源 主编主编5.1传染病模型传染病模型问题问题描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使

59、病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康人的人的比例分别为比例分别为2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 ,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI模型模型第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型21

60、/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。第

61、五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型3i0i0接触数接触数 =1阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数1-1/ i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/ i(t)单调降至单调降至01/ 阈值阈值P3P4P2S0第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防

62、传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计降低降低s0提高提高r0提高阈值提高阈值1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例x03)经济增长的条件经济增长的条件第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产

63、值每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长增长dZ/dt03)经济增长的条件经济增长的条件第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编5.6人口预测和控制人口预测和控制年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程一阶偏微分方程第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查

64、）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编生育率的分解生育率的分解 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式0第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密正反馈系统正反馈系统滞后作用很大滞后作用很大第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2

65、）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高第五章第五章 微分方程模型微分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第六章第六章 稳定性模型稳定性模型6.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获6.2 军备竞赛军备竞赛6.4 种群的相互依存种群的相互依存 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编稳定性模型稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时对象仍是动态过程，而建模目的是研究时

66、间充分长以后过程的变化趋势间充分长以后过程的变化趋势平衡状平衡状态是否稳定。态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。理论研究平衡状态的稳定性。第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编6.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。产前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控的条

67、件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编产量模型产量模型假设假设无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模捕捞情况下捕捞情况下渔场鱼量满足渔场鱼量满足不需要求解不需要求解x(t),只需知道只需知道x(t)稳定稳定的条件的条件r固有增长率固有增长率,N最大鱼量最大鱼量h

68、(x)=Ex, E捕捞强度捕捞强度x(t)渔场鱼量渔场鱼量第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0微分方程的微分方程的平衡点平衡点设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t),判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源

69、姜启源 主编主编产量模型产量模型平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断x0稳定稳定,可得到稳定产量可得到稳定产量x1稳定稳定,渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大控制捕捞强度使产量最大图解法图解法P的横坐标的横坐标x0平衡点平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标h产量产量产量最大产量最大f 与与h交点交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量

70、的一半第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编效益模型效益模型假设假设鱼销售价格鱼销售价格p单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入T =ph(x)=pEx支出支出S =cE第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编EsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E)0

71、R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量捕捞过度捕捞过度ERE*令令=0第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编6.2 军备竞赛军备竞赛描述双方描述双方(国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局假设假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；自己军备增长的制约越大

72、；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。在增加军备的潜力。进一步进一步假设假设1）2）的作用为线性；）的作用为线性；3）的作用为常数）的作用为常数目的目的第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编建模建模军备竞赛的结局军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量，甲方军备数量，y(t)乙方军备数量乙方军备数量 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。t 时的时的x(t

73、)，y(t)第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0)代数方程代数方程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点记系数矩阵记系数矩阵特征方程特征方程特征根特征根第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性特征根特征根平衡点平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式微

74、分方程一般解形式平衡点平衡点P0(0,0)稳定稳定平衡点平衡点P0(0,0)不稳定不稳定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0且且q 0p 0或或q kl 下下x(t), y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。即友好邻国通过裁军可达到永久和平。模型模型 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3）若）若g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因很

75、小，但因，也会重整军备。，也会重整军备。4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减,如如x(t)=0，也会因也会因使该方重整军备，使该方重整军备，即存在互不信任即存在互不信任()或固有争端或固有争端()的单方面的单方面裁军不会持久。裁军不会持久。模型的定性解释模型的定性解释 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h本方本方军备竞赛的潜力。军备竞赛的潜力。模型模型第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编6.4 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有

76、三种形式种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。相互提供食物、促进增长。第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型假设假设甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律;甲乙一起生存

77、时乙为甲提供食物、促进增长。甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用阻滞作用(服从服从Logistic规律规律)。模型模型乙为甲提供食物乙为甲提供食物是甲消耗的是甲消耗的 1倍倍甲为乙提供食物甲为乙提供食物是乙消耗的是乙消耗的 2倍倍第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件稳定条件

78、不稳定不稳定平衡点平衡点第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编平衡点平衡点P2稳定稳定性的相轨线性的相轨线0 11, 1 21P2稳定稳定第六章第六章 稳定性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 1 21前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件结果结果解释解释 21甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物甲为乙提供的食物是乙消耗的甲为乙提供的食物是乙消耗的 2倍倍 11, 1 21条件下使条件下使 1 21成立成立P2稳定条件：稳定条件： 11, 1 21甲可以独自生存甲可以独自生存乙不能独立生存乙不能独立生存第六章第六章 稳定

79、性模型稳定性模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编7.1市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型7.2减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编7.1市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与

80、价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编蛛蛛网网模模型型gx0y0P0fxy0xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编xy0fgy0x0

81、P0设设x1偏离偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛网网模模型型 第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方程程模模型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段

82、)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制

83、数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型的推广模型的推广生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源

84、 主编主编方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定) 1,2特征根，即方程特征根，即方程的根的根平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件放宽了放宽了模型的推广模型的推广第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编7.2减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下

85、去的目标分分析析体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25超重超重;BMI30肥胖肥胖.第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200

86、千卡千卡320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥

87、至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编确定某甲的代谢

88、消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡w=100千克不变千克不变第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90

89、千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按减少至减少至75千克。千克。第七章第七

90、章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.03.04.42.57.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千

91、克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变不不运动运动运动运动(内容同前内容同前)第七章第七章 差分方程模型差分方程模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第八章第八章 离散模型离散模型8.1层次分析模型层次分析模型8.4 效益的合理分配效益的合理分配y 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编离散模型离散模型 离散模型：差分方程（第离散模型：差分方程（第7 7章）、章）、整数规划（第整数规划（第4 4章）、图论、对策章）、图论、对策论、网络流、论、网络流、 分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到

92、代数、集合及图论（少许）只用到代数、集合及图论（少许）的知识的知识第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编8.1层次分析模型层次分析模型背背景景日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化的作用，各因素的重要性难以量化Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP一种一种定性与定量相结合的、定性与定量相结合的、系统化、层次化系统化、层次化

93、的分析方法的分析方法第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一. . 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例. . 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳将决策问题分为将决策问题分为3

94、个层次：目标层个层次：目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。成以上步骤，给出决策问题的定量结果。第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主

95、编主编层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向

96、量成对比较阵和权向量第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为nA的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对

97、比较阵和权向量第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编2468比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度13579相同相同稍强稍强强强明显强明显强绝对强绝对强aij = 1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权

98、向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1

99、.45 1.49 1.51n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率CR = CI/RI当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量权向量( (特征向

100、量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编组合权向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵方案层对方案层对C2(费用费用

101、)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n权向量权向量w1(3)w2(3)wn(3)第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI= =0.58(n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验 w(2) 0.2630.4750.0550.090

102、0.110方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+=0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编组合组合权向量权向量第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1,Pm第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W(p)是由第是由第p层对第层对第p-1层权向量组成的矩

103、阵层权向量组成的矩阵第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并

104、作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编二二. . 层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通

105、运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编国家综合实力国家综合实力国民国民收入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中

106、、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实力分析实力分析例例2 工作选择工作选择第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编过河的效益过河的效益A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构）过河效益层次结构例例3 横渡江横渡

107、江河、海峡方河、海峡方案的抉择案的抉择第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编过河的代价过河的代价A经济代价经济代价B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡江横渡江河、海峡方河、海峡方案的抉择案的抉择第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编

108、待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益C11间接间接经济经济效益效益C12社会社会效益效益C13学识学识水平水平C21学术学术创新创新C22技术技术水平水平C23技术技术创新创新C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4科技成果科技成果的综合评价的综合评价第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编三三.层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？

109、近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？层次分析法？第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理定理1 1 正矩阵正矩阵A 的的最大特征根最大特征根 是正单根，对应是正单根，对应正特征向量正特征向量w，且，且定理定理2 2 n阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 n

110、, =n是是A为一致阵的充要条件。为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数，正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指标一致性指标定义合理定义合理第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算精确计算的复杂和不必要精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。其某种意

111、义下的平均。和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均列向量列向量归一化归一化算术算术平均平均精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编根法根法取列向量的几何平均取列向量的几何平均幂法幂法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度，设置精度 2)计算计算3）归一化）归一化5)计算计算简化简化计算计算4）若）若，停止；，停止；否则，否则，k:=k+1,转转2第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3. 特征向量作为权向量特征向量

112、作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应问题问题一致阵一致阵A,权向量权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致,应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与aij相差相差尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。用拟合方法确定用拟合方法确定w非线性非线性最小二乘最小二乘线性化线性化对数最小二乘对数最小二乘结果与根法相同结果与根法相同第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编按不同准则确定的权向量不按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。同，特征向量有什么优点。成对比较成对比较Ci:Cj(直接比较）直接比较） aij 1 1步强度步

113、强度aisasjCi通过通过Cs 与与Cj的比较的比较aij(2) 2步强度步强度更能反映更能反映Ci对对Cj的强度的强度多步累积效应多步累积效应体现体现多步累积效应多步累积效应定理定理1 1特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应当当k足够大足够大,Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权重的权重求求Ak的行和的行和第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构不完全层次结构设第设第2层对第

114、层对第1层权向量层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3层对第层对第2层权向量层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算第计算第3层对第层对第1层权向量层权向量w(3）的方法的方法贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2P1P3P4例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等第八章第八章 离散模型离

115、散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响仍用仍用计计算算支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正若若C1,C2重要性相同重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用再用计计算算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T支配元素越多权重

116、越小支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性教学、科研靠个人积极性考察一个特例：考察一个特例：第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编5. 残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理miA第第i 行行中中 的个数的个数 为残缺元素为残缺元素辅助矩阵辅助矩阵第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编6. 更复杂的层次结构更复杂的层次结构递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。支配；层间自上而下、逐层传递，

117、无反馈和循环。 更复杂的层次结构：更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。或支配；层间存在反馈或循环。制动制动底盘底盘车轮车轮方向盘方向盘发动机发动机减震装置减震装置刹车刹车转向转向运行运行加速性能加速性能汽车行驶性能汽车行驶性能汽车汽车1汽车汽车2汽车汽车n例例第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编层次分析法的优点层次分析法的优点系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试

118、分析并列）；测试分析并列）；实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；法不能解决的问题；简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略粗略定性化为定量，结果粗糙定性化为定量，结果粗糙；主观主观主观因素作用大，结果可能难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编8.4 效益的合理分配效益的合理分配

119、例例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，元，三人合作获利三人合作获利11元。又知每人单干获利元。又知每人单干获利1元。元。问三人合作时如何分配获利？问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为记甲乙丙三人分配为解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编(1) Shapley合作对策合作对策I,vn人合作对策，人合作对策，v特征函数特征函数n人从人从v(I)得到的分配，满足得到的分配，满足v(s)子集子集s

120、的获利的获利第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编公理化方法公理化方法 s 子集子集s中的元素数目，中的元素数目， Si包含包含i的所有子集的所有子集由由 s 决定的决定的“贡献贡献”的权重的权重Shapley值值i 对合作对合作s 的的“贡献贡献”Shapley合作对策合作对策第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编三人三人(I=1,2,3)经商中甲的分配经商中甲的分配x1的计算的计算1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3类似可得类似可得x2=23/6,x3=17/6122

121、3第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编合作对策的应用合作对策的应用例例1污水处理费用的合理分担污水处理费用的合理分担20km38km河流河流三城镇地理位置示意图三城镇地理位置示意图123污水处理，排入河流污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，三城镇可单独建处理厂，或联合建厂或联合建厂(用管道将污水用管道将污水由上游城镇送往下游城镇由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道长度管道长度建厂费用建厂费用P1=73Q0.712管道费用管道费用P2=0.66Q0.51L第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主

122、编污水处理的污水处理的5 种方案种方案1）单独建厂）单独建厂总投资总投资2）1,2合作合作3）2,3合作合作4）1,3合作合作总总投资投资总投资总投资合作不会实现合作不会实现第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编5）三城合）三城合作总投资作总投资D5最小最小,应联合建厂应联合建厂建厂费：建厂费：d1=73 (5+3+5)0.712=45312管道费：管道费：d2=0.66 50.51 20=3023管道费：管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建议：建议：d1按按5:3:5分担分担,d2,d3由城由城1,2担负担负城城2建议：建议：d3

123、由城由城1,2按按5:3分担分担,d2由城由城1担负担负城城1计算：计算：城城3分担分担d1 5/13=174C(3),城城2分担分担d1 3/13+d3 3/8=132C(1)不不同同意意D5如何分担？如何分担？第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编特征函数特征函数v(s)联合联合(集集s)建厂比单独建厂节约的投资建厂比单独建厂节约的投资三三城从节约投资城从节约投资v(I)中得到的分配中得到的分配Shapley合作对策合作对策第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编计算计算城城1从节约投资中得到的分配从节约投资中得到的分配x111

124、213I0400640002504003912231/31/61/61/306.7013x1 =19.7,城城1C(1)-x1=210.4,城城2C(2)-x2=127.8,城城3C(3)-x3=217.8三城在总投资三城在总投资556中的分担中的分担x2 =32.1, x3=12.2x2最大，如何解释？最大，如何解释？第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编合作对策的应用合作对策的应用例例2派别在团体中的权重派别在团体中的权重90人的团体由人的团体由3个派别组成，人数分别为个派别组成，人数分别为40,30,20人。人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。团体表决

125、时需过半数的赞成票方可通过。虽然虽然3派人数相差很大派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算合作对策计算各派别在团体中的权重。各派别在团体中的权重。团体团体I=1,2,3，依次代表，依次代表3个派别个派别=否则否则，的成员超过的成员超过定义定义特征函数特征函数045, 1)(ssv第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编优点：优点：公正、合理，有公理化基础。公正、合理，有公理化基础。如如n个单位治理污染个单位治理污染,通常知道第通常知道第i方单独治理的投资方单独治理的投资yi和和n方共

126、方共同治理的投资同治理的投资Y,及第及第i方不参加时其余方不参加时其余n-1方的投资方的投资zi(i=1,2,n).确定共同治理时各方分担的费用。确定共同治理时各方分担的费用。其它其它v(s)均不知道均不知道,无法用无法用Shapley合作对策求解合作对策求解Shapley合作对策小结合作对策小结若定义特征函数为合作的获利若定义特征函数为合作的获利(节约的投资节约的投资)，则有，则有缺点：缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有的所有子集子集(共共2n-1个个)的特征函数，实际上常做不到。的特征函数，实际上常做不到。第八章第八章 离散模型离散模

127、型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编设只知道设只知道无无i参加时参加时n-1方合作的获利方合作的获利全体合作的获利全体合作的获利求解合作对策的其他方法求解合作对策的其他方法例例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，三人元，三人合作获利合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？元。问三人合作时如何分配获利？第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编（2）协商解）协商解11将剩余获利将剩余获利平均分配平均分配模模型型以以n-1方合作的获利为下限方合作的获利为下

128、限求解求解xi 的下限的下限第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编（3）Nash解解为现状点（谈判时的威慑点）为现状点（谈判时的威慑点）在此基础上在此基础上“均匀地均匀地”分配全体合作的获利分配全体合作的获利B模模型型平均分配获利平均分配获利B3）Nash解解2）协商解）协商解第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编（4）最小距离解）最小距离解模模型型第第i 方的边际效益方的边际效益若令若令4）最小距离解）最小距离解2）协商解）协商解第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编（5）满意解）满意解di现状点

129、现状点(最低点最低点)ei理想点理想点(最高点最高点)模模型型5）基于满意度的解）基于满意度的解2）协商解）协商解第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编（6）Raiffi 解解与协商解与协商解x=(5,4,2)比较比较第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编求解合作对策的求解合作对策的6种方法（可分为三类）种方法（可分为三类）Shapley合作对策合作对策A类类B类类协商解协商解Nash解解最小距离解最小距离解满意解满意解di现状现状,ei理想理想B类类4种方法相同种方法相同第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启

130、源 主编主编例：有一资方例：有一资方(甲甲)和二劳方和二劳方(乙乙,丙丙),仅当资方与至少仅当资方与至少一劳方合作时才获利一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？元，应如何分配该获利？Raiffi解解C类类第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编B类：计算简单，便于理解，可用于各方实类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。C类：类：考虑了分配的上下限，又吸取了考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护弱者。的思想，在一定程度上保护弱者。A类：公正合理；需要信息多，计

131、算复杂。类：公正合理；需要信息多，计算复杂。求解合作对策的三类方法小结求解合作对策的三类方法小结第八章第八章 离散模型离散模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第九章第九章 概率模型概率模型9.2报童的诀窍报童的诀窍9.3随机存贮策略随机存贮策略9.5随机人口模型随机人口模型 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机

132、模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编9.2报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报：a (零售价零售价) b(购进价购进价) c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚a-b；退回一份赔；退回一份赔b-c每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天

133、收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编建建模模设每天购进设每天购进n 份，份，日平均收入为日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为r 的概率的概率f(r), r=0,1,2准准备备求求n 使使G(n)最大最大已知售出一份赚已知售出一份赚a-b；退回一份赔退回一份赔b-c第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编求解求解将将r视为连续变量视为连续变量第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学

134、模型 姜启源姜启源 主编主编结果解释结果解释nP1P2取取n使使a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rp第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编9.3随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s, S)存贮策略存贮策略制订下界制订下界s,上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，时订货，使下周初的库存达到使下周初的库存达到S;否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存

135、贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s, S)存贮策略存贮策略, ,使使( (平均意义下平均意义下) )总费用最小总费用最小第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型假设模型假设每次订货费每次订货费c0,每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损失费c3(c1c3)每周销售量每周销售量r 随机、连续，概率密度随机、连续，概率密度p(r)周末库存量周末库存量x,订货量订货量u,周初库存量周初库存量x+u每周贮存量按每周贮存量按x+u-r 计计第九章第九章 概率模型概率

136、模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编建模与求解建模与求解（s, S)存贮策略存贮策略确定确定(s, S),使目标函数使目标函数每周总费用的平均值最小每周总费用的平均值最小平均平均费用费用订货费订货费c0,购进价购进价c1,贮存费贮存费c2,缺货费缺货费c3,销售量销售量r s 订货点，订货点，S 订货值订货值第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编建模与求解建模与求解1）设）设xs,求求u 使使J(u)最小，确定最小，确定S建模与求解建模与求解SP1P20rp第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编2）对库存）对库存x，确定订

137、货点确定订货点s若订货若订货u, u+x=S,总费用为总费用为若不订货若不订货, u=0,总费用为总费用为订货点订货点s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解不订货不订货第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到最小处达到最小 x I(x)0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到最小值I(S)I(x)图形图形建模与求解建模与求解J(u)与与I(x)相似相似I(S)的最小正根的最小正根s第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编9.5随机人口

138、模型随机人口模型背景背景一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t)时刻时刻t的人口的人口,随机变量随机变量.Pn(t)概率概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编若若X(t)=n,对对t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设

139、1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与与n成正比，记成正比，记bn= n, 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编建模建模为得到为得到Pn(t)P(

140、X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察Pn(t+ t)=P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二人，出生且死亡一人，出生且死亡一人，)概率概率Pn(t+ t)Pn-1(t),bn-1 tPn+1(t),dn+1 tPn(t),1-bn t-dn t o( t)第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难

141、和不必要(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差bn= n，dn= n微分方程微分方程建模建模第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编X(t)的期望的期望求解求解基本方程基本方程n-1=kn+1=k第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编求解求解比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型X(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) X(t)大致在大致在E(t) 2 (t)范围内（范围内（ (t)均方差）均方差）r 增长概率增

142、长概率r 平均增长率平均增长率第九章第九章 概率模型概率模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第十章第十章 统计回归模型统计回归模型10.1牙膏的销售量牙膏的销售量 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型不涉及回归分析的数学原理和方法不涉及回归分析的数学原理和方法通过实例讨论如何选择不同类型的模型通过实例讨论如何选择不同

143、类型的模型对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。律的数学模型。第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编10.1 牙膏的销售量牙膏的销售量 问问题题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量收集了收集了30个

144、销售周期本公司牙膏销售量、价格、个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量销售量(百万支百万支)价格差价格差（元）（元）广告费用广告费用(百万元百万元)其它厂家其它厂家价格价格(元元)本公司价本公司价格格(元元)销售销售周期周期第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编基本模型基本模型y 公司牙膏销售量公司

145、牙膏销售量x1其它厂家与本公司其它厂家与本公司价格差价格差x2公司广告费用公司广告费用x2yx1yx1,x2解释变量解释变量(回归变量回归变量,自变量自变量)y被解释变量（因变量）被解释变量（因变量） 0, 1, 2 , 3 回归系数回归系数 随机随机误差（误差（均值为零的均值为零的正态分布随机变量）正态分布随机变量）第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编MATLAB统计工具箱统计工具箱模型求解模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)输入输入x= n 4数据矩阵数据矩阵,第第1列为全列为全1向量向量alpha(

146、置信置信水平水平,0.05)b 的的估计估计值值bintb的置信区间的置信区间r残差向量残差向量y-xbrintr的置信区间的置信区间Stats检验统计量检验统计量R2,F,pyn维数据向量维数据向量输出输出由数据由数据y,x1,x2估计估计 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p=0.0000 0 1 2 3第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编结果分析结果分

147、析y的的90.54%可由模型确定可由模型确定参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p=0.0000 0 1 2 3F远超过远超过F检验的临界值检验的临界值p远小于远小于 =0.05 2的置信区间包含零点的置信区间包含零点(右端点距零点很近右端点距零点很近)x2对因变量对因变量y 的的影响不太显著影响不太显著x22项显著项显著可将可将x2保留在模型中保留在模型中模型从整体上看成立模型从整体上看成立第十章第

148、十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编销售量预测销售量预测 价格差价格差x1=其它厂家其它厂家价格价格x3-本公司本公司价格价格x4估计估计x3调整调整x4控制价格差控制价格差x1=0.2元，投入广告费元，投入广告费x2=650万元万元销售量预测区间为销售量预测区间为7.8230，8.7636（置信度（置信度95%）上限用作库存管理的目标值上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流下限用来把握公司的现金流若估计若估计x3=3.9，设定，设定x4=3.7，则可以，则可以95%的把握知的把握知道销售额在道销售额在7.8320 3.7 29（百万元）以上（百万

149、元）以上控制控制x1通过通过x1,x2预测预测y(百万支百万支)第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型改进模型改进x1和和x2对对y的的影响独立影响独立参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.728228.92061.30700.68291.9311-3.6956-7.49890.10770.34860.03790.6594R2=0.9054F=82.9409p=0.0000 0 1 2 3参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间29.113313.701344.525211.13421.977820.2906-7.6080

150、-12.6932-2.52280.67120.25381.0887-1.4777-2.8518-0.1037R2=0.9209F=72.7771p=0.0000 3 0 1 2 4x1和和x2对对y的影响有的影响有交互作用交互作用第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编两模型销售量预测两模型销售量预测比较比较(百万支百万支)区间区间7.8230，8.7636区间区间7.8953，8.7592(百万支百万支)控制价格差控制价格差x1=0.2元，投入广告费元，投入广告费x2=6.5百万元百万元预测区间长度更短预测区间长度更短略有增加略有增加第十章第十章 统计回

151、归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2两模型两模型 与与x1, ,x2关系的关系的比较比较第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编交互作用影响的讨论交互作用影响的讨论价格差价格差x1=0.1价格差价格差x1=0.3加大广告投入使销售量增加加大广告投入使销售量增加（x2大于大于6百万元）百万元）价格差较小时增加价格差较小时增加的速率更大的速率更大x2价格优势会使销售量增加价格优势会使销售量增加价格差较小时更需要靠广告价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球来吸引顾客的眼球第十章第十章 统计回归模型统

152、计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编完全二次多项式模型完全二次多项式模型 MATLAB中有命令中有命令rstool直接求解直接求解x1x2从输出从输出Export可得可得第十章第十章 统计回归模型统计回归模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编附录附录:数学建模实验数学建模实验方程（14）无法求出和的解析解，我们先作数值计算。用Matlab编程如下：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);t,xplot(t,

153、x(:,1),t,x(:,2);gridfigureplot(x(:,2),x(:,1),grid,运行结果如下： 0 0.0200 0.9800 1.0000 0.0390 0.9525 2.0000 0.0732 0.9019 3.0000 0.1285 0.8169 4.0000 0.2033 0.6927 5.0000 0.2795 0.5438 6.0000 0.3312 0.3995 7.0000 0.3444 0.2839 8.0000 0.3247 0.2027 9.0000 0.2863 0.1493 10.0000 0.2418 0.1145 11.0000 0.1986

154、0.0917 12.0000 0.1599 0.0767 13.0000 0.1272 0.0665 14.0000 0.1004 0.0593 15.0000 0.0787 0.0543 16.0000 0.0614 0.0507 17.0000 0.0478 0.0480 18.0000 0.0371 0.0460 19.0000 0.0287 0.0445 20.0000 0.0223 0.0434 21.0000 0.0172 0.0426 22.0000 0.0133 0.0419 23.0000 0.0103 0.0415 24.0000 0.0079 0.0411 25.0000

155、 0.0061 0.0408 26.0000 0.0047 0.0406 27.0000 0.0036 0.0404 28.0000 0.0028 0.0403 29.0000 0.0022 0.0402 30.0000 0.0017 0.0401 31.0000 0.0013 0.0400 32.0000 0.0010 0.0400 33.0000 0.0008 0.0400 34.0000 0.0006 0.0399 35.0000 0.0005 0.0399 36.0000 0.0004 0.0399 37.0000 0.0003 0.0399 38.0000 0.0002 0.0399 39.0000 0.0002 0.0399 40.0000 0.0001 0.0399 41.0000 0.0001 0.0399 42.0000 0.0001 0.0399 43.0000 0.0001 0.0399 44.0000 0.0000 0.0398 45.0000 0.0000 0.0398 46.0000 0.0000 0.0398 47.0000 0.0000 0.0398 48.0000 0.0000 0.0398 49.0000 0.0000 0.0398 50.0000 0.0000 0.0398