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1、第2课时椭圆方程及性质的应用 【题型示范型示范】类型一型一 直直线与与椭圆的位置关系的位置关系【典例典例1 1】(1)(1)若直线若直线y ykxkx1 1与焦点在与焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆 总有公共总有公共点，则点，则m m的取值范围为的取值范围为_(2)(2)判断直线判断直线l: : 和椭圆和椭圆2x2x2 2+3y+3y2 2=6=6是否有公共点是否有公共点. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中直线中直线y=kx+1y=kx+1是否恒过定点？若恒过定是否恒过定点？若恒过定点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点
2、的直线总与椭圆有公共点？圆有公共点？2.2.题题(2)(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？【探究提示探究提示】1.1.恒过定点恒过定点(0,1)(0,1)，当点在椭圆上或在椭圆内部，当点在椭圆上或在椭圆内部时，经过该点的直线与椭圆总有公共点时，经过该点的直线与椭圆总有公共点. .2.2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行判断判断. .【自主解答自主解答】(1)(1)方法一方法一: :由由 消去消去y,y,整理得整理得(m+5k(m+5k2 2)x)x2 2+10kx+5(
3、1-m)=0,+10kx+5(1-m)=0,所以所以=100k=100k2 2-20(m+5k-20(m+5k2 2)(1-m)=20m(5k)(1-m)=20m(5k2 2+m-1).+m-1).因为直线与椭圆总有公共点因为直线与椭圆总有公共点, ,所以所以00对任意对任意kRkR都成立都成立. .因为因为m0,m0,所以所以5k5k2 21-m1-m恒成立恒成立, ,所以所以1-m0,1-m0,即即m1.m1.又因为椭圆的焦点在又因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以所以0m5,0m5,所以所以1m5.1m0,-12)0,m(m-4)0,m(m-4)0,所以所以0m4,0m0),a(a0
4、),短半轴长为短半轴长为b(b0),b(b0),则则2b=4,2b=4,由由解得解得a=4,b=2.a=4,b=2.因为椭圆因为椭圆C C的对称轴为坐标轴，的对称轴为坐标轴，所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 或或设直线设直线l的方程为的方程为y=x+m,A(xy=x+m,A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由方程组由方程组消去消去y,y,得得5x5x2 2+2mx+m+2mx+m2 2-16=0,-16=0,由题意，得由题意，得=(2m)=(2m)2 2-20(m-20(m2 2-16)0,-16)0,且且因为因为|AB|=|AB|= =所以所以解得
5、解得m=m=2,2,验证知验证知00成立，成立，所以直线所以直线l的方程为的方程为x-y+2=0x-y+2=0或或x-y-2=0.x-y-2=0.【方法技巧方法技巧】1.1.直线与椭圆相交弦的弦长问题直线与椭圆相交弦的弦长问题直线与椭圆相交有关弦的问题直线与椭圆相交有关弦的问题, ,主要思路是联立直线和椭圆的主要思路是联立直线和椭圆的方程方程, ,得到一元二次方程得到一元二次方程, ,然后借助一元二次方程的有关知识解然后借助一元二次方程的有关知识解决决, ,有时运用弦长公式有时运用弦长公式, ,解题时应解题时应注意以下几点注意以下几点: :(1)(1)当弦的两端点的坐标易求时当弦的两端点的坐标
6、易求时, ,可直接求出交点坐标可直接求出交点坐标, ,再用两再用两点间距离公式求弦长点间距离公式求弦长. .(2)(2)当弦的两端点的坐标不易求时当弦的两端点的坐标不易求时, ,可用弦长公式可用弦长公式. .(3)(3)如果直线方程涉及斜率如果直线方程涉及斜率, ,要注意斜率不存在的情况要注意斜率不存在的情况. .2.2.解决椭圆中点弦问题的三种方法解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及
7、中点坐标公式解决坐标公式解决. .(2)(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：系，具体如下： 已知已知A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )是椭圆是椭圆 (ab0)(ab0)上的两个不同的点，上的两个不同的点，M(xM(x0 0,y,y0 0) )是线段是线段ABAB的中点，则的中点，则由由-，得，得 变形得变形得 即即(3)(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为
8、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(xP(x0 0,y,y0 0) )，设其一交点为设其一交点为A(xA(x，y)y)，则另一交点为，则另一交点为B(2xB(2x0 0-x-x，2y2y0 0-y)-y)，则则两式作差即得所求直线方程两式作差即得所求直线方程. .【变式训练变式训练】直线直线y=x+1y=x+1被椭圆被椭圆 所截得的弦的中点所截得的弦的中点坐标是坐标是( )( )【解析解析】选选C.C.由由 消去消去y,y,得得3x3x2 2+4x-2=0,+4x-2=0,设弦的两端点坐标为设弦的两端点坐标为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),中点坐
9、标为中点坐标为(x(x中中，y y中中) )，则则x x1 1+x+x2 2= = 所以所以x x中中= =从而从而y y中中=x=x中中+1=+1=所以中点坐标为所以中点坐标为【补偿训练补偿训练】椭圆椭圆x x2 2+4y+4y2 2=16=16被直线被直线 截得的弦长为截得的弦长为_._.【解析解析】由由 消去消去y y并化简得并化简得x x2 2+2x-6=0.+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为设直线与椭圆的交点为M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=-2,x=-2,x1 1x x2 2=-6.=-6.所以弦长所
10、以弦长= =答案：答案：类型三类型三 与椭圆有关的综合问题与椭圆有关的综合问题【典例典例3 3】(1)(1)椭圆椭圆 (a(ab b0)0)与直线与直线x+yx+y=1=1交于交于P P，Q Q两点，且两点，且OPOQOPOQ，其中，其中O O为坐标原点，则为坐标原点，则 =_.=_.(2)(2014(2)(2014成都高二检测成都高二检测) )已知椭圆已知椭圆 (ab0)(ab0)的离心的离心率为率为 短轴的一个端点到右焦点的距离为短轴的一个端点到右焦点的距离为 直线直线l: :y=y=kx+mkx+m交椭圆于不同的两点交椭圆于不同的两点A A，B.B.求椭圆的方程；求椭圆的方程；若坐标原点
11、若坐标原点O O到直线到直线l的距离为的距离为 求求AOBAOB面积的最大值面积的最大值. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中一般将条件中一般将条件OPOQOPOQ转化为什么？转化为什么？2.2.题题(2)(2)中求中求AOBAOB面积的最大值，关键是求什么？面积的最大值，关键是求什么？【探究提示探究提示】1.1.条件条件OPOQOPOQ，一般转化为向量，一般转化为向量 来处来处理理. .2.2.关键是求关键是求|AB|AB|的最大值的最大值. .【自主解答自主解答】(1)(1)设设P(xP(x1 1,y,y1 1) )，Q(xQ(x2 2，y y2 2) )，由由OPOQOPO
12、Q x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.因为因为y y1 1=1-x=1-x1 1,y,y2 2=1-x=1-x2 2, ,代入上式得：代入上式得：2x2x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+1=0 (*)+1=0 (*)又将又将y=1-xy=1-x代入代入 (a(a2 2+b+b2 2)x)x2 2-2a-2a2 2x+ax+a2 2(1-b(1-b2 2)=0)=0，因为，因为0 0，所以，所以x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= = 代入代入(*)(*)化简得化简得答案答案：2 2(2)(2)由由 所以所以 b=1,b=1
13、,所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为: :由已知由已知 所以所以联立联立l:y=kx+m:y=kx+m和和消去消去y,y,整理可得：整理可得：(1+3k(1+3k2 2)x)x2 2+6kmx+3m+6kmx+3m2 2-3=0,-3=0,所以所以=(6km)=(6km)2 2-4(1+3k-4(1+3k2 2)(3m)(3m2 2-3)0,-3)0,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则所以所以|AB|AB|2 2=(1+k=(1+k2 2)(x)(x1 1-x-x2 2) )2 2= = = (k0),= (k0),当且仅当当且仅当 时取等号
14、，时取等号，验证知验证知 满足题意，满足题意，显然显然k=0k=0时，时，|AB|AB|2 2=34.=3b0) (ab0)的左、右焦点的左、右焦点, ,过点点F F1 1的直的直线交交椭圆E E于于A,A,B B两点两点,|AF,|AF1 1|=3|BF|=3|BF1 1|.|.(1)(1)若若|AB|=4,ABF|AB|=4,ABF2 2的周的周长为16,16,求求|AF|AF2 2|.|.(2)(2)若若cosAFcosAF2 2B= ,B= ,求求椭圆E E的离心率的离心率. .【解题指南解题指南】(1)(1)利用椭圆的定义求解利用椭圆的定义求解. .(2)(2)设设|BF|BF1 1
15、|=k,|=k,用用a,ka,k表示表示|AF|AF2 2|,|BF|,|BF2 2|,|,利用余弦定理解利用余弦定理解ABFABF2 2得得出等腰出等腰RtAFRtAF1 1F F2 2, ,从而得到从而得到a,ca,c的关系式的关系式. .【解析解析】(1)(1)由由|AF|AF1 1|=3|BF|=3|BF1 1|,|AB|=4,|,|AB|=4,得得|AF|AF1 1|=3,|BF|=3,|BF1 1|=1,|=1,因为因为ABFABF2 2的周长为的周长为16,16,所以由椭圆定义可得所以由椭圆定义可得4a=16,|AF4a=16,|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a=8,
16、|=2a=8,故故|AF|AF2 2|=2a-|AF|=2a-|AF1 1|=8-3=5.|=8-3=5.(2)(2)设设|BF|BF1 1|=k,|=k,则则k0,k0,且且|AF|AF1 1|=3k,|AB|=4k,|=3k,|AB|=4k,由椭圆定义可得由椭圆定义可得|AF|AF2 2|=2a-3k,|BF|=2a-3k,|BF2 2|=2a-k,|=2a-k,在在ABFABF2 2中中, ,由余弦定理可得由余弦定理可得|AB|AB|2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|BF+|BF2 2| |2 2-2|AF-2|AF2 2| |BF|BF2 2|cosAF|cosAF2 2B,
17、B,即即(4k)(4k)2 2=(2a-3k)=(2a-3k)2 2+(2a-k)+(2a-k)2 2- (2a-3k)(2a-k),- (2a-3k)(2a-k),化简可得化简可得(a+k)(a-3k)=0,(a+k)(a-3k)=0,而而a+ka+k0,0,故故a=3k,a=3k,于是有于是有|AF|AF2 2|=3k=|AF|=3k=|AF1 1|,|BF|,|BF2 2|=5k,|=5k,因此因此|BF|BF2 2| |2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|AB|+|AB|2 2F F1 1AFAF2 2A,A,故故AFAF1 1F F2 2为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,
18、从而从而c= c= 【补偿训练补偿训练】已知椭圆已知椭圆G G： (a(ab b0)0)的离心率为的离心率为右焦点为右焦点为 斜率为斜率为1 1的直线的直线l与椭圆与椭圆G G交于交于A A，B B两点，以两点，以ABAB为底边作等腰三角形，顶点为为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2).P(-3,2).(1)(1)求椭圆求椭圆G G的方程的方程. .(2)(2)求求PABPAB的面积的面积. .【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得解得解得 又又b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=4,=4,所以椭圆所以椭圆G G的方程为的方程为(2)(2)设直线设直线l的方程为的方程为y=y=x+m
19、x+m，由由 得得4x4x2 2+6mx+3m+6mx+3m2 2-12=0 -12=0 设设A A，B B的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1x x2 2),),ABAB的中点为的中点为E(xE(x0 0,y,y0 0),),则则因为因为ABAB是等腰是等腰PABPAB的底边，所以的底边，所以PEAB.PEAB.所以所以PEPE的斜率的斜率 解得解得m=2.m=2.此时方程此时方程为为4x4x2 2+12x=0,+12x=0,解得解得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=0,=0,所以所以y y1 1=-1,y=-1,y
20、2 2=2.=2.所以所以此时，点此时，点P(-3,2)P(-3,2)到直线到直线ABAB：x-y+2=0x-y+2=0的距离的距离所以所以PABPAB的面积的面积【拓展类型拓展类型】椭圆中的最值问题椭圆中的最值问题【备选例题备选例题】(1)(1)斜率为斜率为1 1的直线的直线l与椭圆与椭圆 相交于相交于A A，B B两点，则两点，则|AB|AB|的最大值为的最大值为_._.(2)(2012(2)(2012辽宁高考辽宁高考) )如图，动圆如图，动圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=t=t2 2,1t3,1t0,-1)0,所以所以设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于A(xA(x1 1,y,y
21、1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点，两点，则则所以所以|AB|=|AB|= =当当t=0t=0时，时，|AB|AB|为最大，即为最大，即| |AB|AB|maxmax= =方法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点方法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将时截椭圆所得弦长最长，将y=xy=x代入代入 得交点坐标为得交点坐标为 和和 故故答案：答案：(2)(2)设设A(xA(x0 0,y,y0 0)(-3x)(-3x0 00)0)，则矩形，则矩形ABCDABCD的面积的面积S=4|xS=4|x0 0y y0 0|.|.由由 得
22、得从而从而当当 时，时，S Smaxmax=6.=6.从而从而t= t= 时，矩形时，矩形ABCDABCD的面积最大，最大面积为的面积最大，最大面积为6.6.由由A(xA(x0 0,y,y0 0),B(x),B(x0 0,-y,-y0 0),A),A1 1(-3,0),A(-3,0),A2 2(3,0)(3,0)知直线知直线AAAA1 1的方程为的方程为 直线直线A A2 2B B的方程为的方程为 由由得得 又点又点A(xA(x0 0,y,y0 0) )在椭圆在椭圆C C上，故上，故 将将代入代入得得 (x-3,y0).(x-3,y0).因此点因此点M M的轨迹方程为的轨迹方程为 (x-3,y
23、0).(x-3,yb0)(ab0)的左焦点为的左焦点为F,F,离心率为离心率为 过点过点F F且与且与x x轴垂直的直线被椭圆轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为截得的线段长为(1)(1)求椭圆的方程求椭圆的方程. .(2)(2)设设A,BA,B分别为椭圆的左、右顶点分别为椭圆的左、右顶点, ,过点过点F F且斜率为且斜率为k k的直线与的直线与椭圆交于椭圆交于C,DC,D两点两点. .若若 求求k k的值的值. .【审题审题】抓信息抓信息, ,找思路找思路【解题解题】明步骤明步骤, ,得高分得高分【点题点题】警误区警误区, ,促提升促提升失分点失分点1:1:解题时解题时, ,若求若求不出直线与椭
24、圆交点的纵坐标不出直线与椭圆交点的纵坐标, ,即得不出即得不出处处, ,则会导致求不出椭圆方程而本例不得分则会导致求不出椭圆方程而本例不得分. .失分点失分点2:2:若在若在处化简整理结果时错误处化简整理结果时错误, ,则会导致下面运算全则会导致下面运算全部错误部错误, ,本例最多能得本例最多能得6 6分分. .失分点失分点3:3:若在若在处向量的运算不能转化为坐标间关系处向量的运算不能转化为坐标间关系, ,则得不则得不出关于出关于k k的等量关系而失的等量关系而失3 34 4分分. .【悟题悟题】提措施提措施, ,导方向导方向1.1.加强运算能力的培养加强运算能力的培养椭圆的综合问题椭圆的综
25、合问题, ,一般涉及的运算量较大一般涉及的运算量较大, ,因此在平时学习中因此在平时学习中, ,要多注重运算能力的培养要多注重运算能力的培养, ,防止因运算错误而失分防止因运算错误而失分, ,如本例如本例(1)(2)(1)(2)问求解时问求解时, ,都涉及较大的运算量都涉及较大的运算量. .2.2.向量关系的应用向量关系的应用在解析几何中，向量的运算常通过坐标的运算来实现，对向量在解析几何中，向量的运算常通过坐标的运算来实现，对向量相等、向量的数量积、共线向量的坐标表示要熟练掌握，如本相等、向量的数量积、共线向量的坐标表示要熟练掌握，如本例例 是建立关于是建立关于k k的方程的关键的方程的关键
26、. .【类题试解类题试解】(2013(2013山东高考山东高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已中，已知椭圆知椭圆C C的中心在原点的中心在原点O O，焦点在，焦点在x x轴上，短轴长为轴上，短轴长为2 2，离心率为，离心率为 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)A,B(2)A,B为椭圆为椭圆C C上满足上满足AOBAOB的面积为的面积为 的任意两点，的任意两点，E E为线为线段段ABAB的中点，射线的中点，射线OEOE交椭圆交椭圆C C于点于点P P，设，设 求实数求实数t t的值的值. .【解析解析】(1)(1)设椭圆设椭圆C C的方程为的方程为 (
27、ab0)(ab0)，由题意知由题意知 解得解得 因此椭圆因此椭圆C C的方程为的方程为(2)(2)当当ABxABx轴时，设轴时，设A(xA(x0 0,y,y0 0),B(x),B(x0 0, ,y y0 0) )，由由 得得 或或由由 =t(x=t(x0 0,0)=(tx,0)=(tx0 0,0),0),得得P(txP(tx0 0,0),0)，又又P P在椭圆上，所以在椭圆上，所以 所以所以 或或所以所以t=2t=2或或 ( (舍去负值舍去负值).).当当ABAB不垂直于不垂直于x x轴时，设轴时，设ABAB：y=y=kx+mkx+m，显然，显然m0m0，代入椭圆方，代入椭圆方程得程得(1+2
28、k(1+2k2 2)x)x2 2+4kmx+2(m+4kmx+2(m2 21)=0. (*)1)=0. (*)由三角形面积公式知，由三角形面积公式知， |x|xA Ay yB Bx xB By yA A|= |x|= |xA A(kx(kxB B+m)+m)x xB B(kx(kxA A+m+m)|= |m|x)|= |m|xA Ax xB B|=|=所以，所以，| |x xA Ax xB B|= |= (x(xA A+x+xB B) )2 24x4xA Ax xB B= = 即即整理得，整理得， 又又 所以，所以， 即即将其代入椭圆方程得将其代入椭圆方程得 整理可得，整理可得，1+2k1+2k2 2=m=m2 2t t2 2, , 联立联立，消去，消去1+2k1+2k2 2，约分掉，约分掉m m2 2，移项整理得，移项整理得，3t3t4 416t16t2 2+16+16=0=0，解之可得，解之可得，t t2 2=4=4或或 均能使均能使(*)(*)式的式的00，所以，所以t=2t=2或或 ( (舍舍去负值去负值).).综上，综上，t=2t=2或或
