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1、第第 6 6 章典型习题解析章典型习题解析1.简支梁受力如图 a 所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解解： （1）求支座反力 0和mA 0分别求得31RAql，RBql88利用平衡方程y 0对所求反力进行校核。由平衡方程Bm（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x坐标，如图 a 所示。因在 C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。AC 段：3lQ1(x) ql qx(0 x )82312lM1(x) qlx qx(0 x )8221lCB 段：Q2(x) ql( x l)821lM2(x) ql(l x)( x l)823求控制截面内
2、力，绘Q、M图Q图：AC 段内，剪力方程Q1(x)是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截31面的剪力值，QA右ql，QC左 ql，分别以a、c 标在Q x坐标中，连接a、c 的直88线即为该段的剪力图。 CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如1QB左 ql，连一水平线即为该段剪力图。梁AB 的剪力图如图 b 所示。8M图：AC 段内，弯矩方程M1(x)是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截12面的弯矩，MA 0，MCql，分别以 a、c 标在M x坐标中。由剪力图知在 d 点16339ql2，处Q 0， 该处弯矩取得极值。 令剪力方程Q1(x) 0， 解
3、得x l， 求得M1( l) 88128以 d 点标在M x坐标中。据 a、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。CB 段内，弯矩方程M2(x)是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b 标在M x坐标中，并连成直线。AB梁的M图如图 c 所示。2.梁的受力如图 a 示，利用微分关系作梁的Q、M图。解： （1）求支座反力由平衡条件mB 0和mA 0分别求出RA10KN，RB 5KN利用平衡条件y 0进行校核。（2）分段确定曲线形状由于载荷在 A、D 处不连续，应将梁分为三段绘内力图。d2MdQdM q，CA 和 AD 段内，q 0，剪力图为水根据微分关系 Q和 q、2dxdxdx平线，弯矩图为
4、斜直线；DB 段内，q 常数，且为负值，剪力 为斜直线，M图为向上凸的抛物线。（3）求控制截面的内力值，绘Q、M图Q图：QC右 3KN，QA右 7KN，据此可作出 CA 和 AD 两段Q图的水平线。QD右 7KN，QB左 5KN，据此作出 DB 段Q图的斜直线。M图：MC 0，MA左 1.8KNm，据此可以作出CA 段弯矩图的斜直线。A 支座的约束反力RA只会使截面 A 左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故MA左 MA右 MA 1.8KNm，MD左 2.4KNm， 据此可作出 AD 段弯矩图的斜直线。D 处的集中力偶会使D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出MD右 1.2KNm，MB
5、 0；由 DB 段的剪力图知在 E 处Q 0，该处弯矩为极值。因RB 5KN，根据 BE段的平衡条件y 0，知 BE 段的长度为 0.5m，于是求得ME1.25KNm。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB 段的M图。对作出的Q、M图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如 DB 段内的均布载荷为负值，该段Q图的斜率应为负；CA 段的Q为负值，该段M图的斜率应为负；AD段的Q为正值， 该段M图的斜率应为正； 支座A处剪力图应发生突变， 突变值应为10KN；D 处有集中力偶，D 截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6KNm；支座 B 和自由端 C 处的弯矩应为零2.梁受力如图
6、 a 所示，试绘出其内力图。解： （1）该梁为一次静不定。将中间支座C 去掉，以简支梁作为静定基（图b） 。在静定基上作用均布载荷q和多余约束力RC，成为原静不定梁的相当系统（图c） 。（2）相当系统在c点的挠度应为零，即vc 0。根据此变形条件可写出求解静不定梁的补充方程式：Rcl35ql4 048EI384EI求得RC5ql8（3）利用静力平衡条件求得其他支座反力（图d）RA RB3ql16画出静不定梁的Q、M图，如图e、f 所示。静不定梁的Mmax12而简支梁的Mql，32max1前者仅为后者ql2，8的1。43.图所示简支梁用其 56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板
7、部分在与翼板交界处的切应力。解：作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为Qmax 75kN 75000N*2利用型钢表查得，56a 号工字钢SzIz 47.7310 m,最大切应力在中性轴上。由此得max*QmaxSzmaxIzdSzmaxQmax7500012600000126.MP12.6MPaa23Iz47.731012.510d*以下求该横截面上腹板与翼板交界处 C 的切应力。此时Sz是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*Sz16621(56021) 939500mm39.40104m3224由型钢表查得Iz 65866cm,腹板与翼板交界处的切应力
8、为750009.40104fc8.6MPa6586610812.51034.长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、L2m，F1.6kN，试求 B 截面上 a、b、c 各点的正应力。FAL/2h6CaBL 2bh 2chb解：解：B 截面的弯矩为MBa 点的正应力1FL0.51.621.6kN.m21hFLM yaBa233IZbh12B 点在中性轴上,其正应力bc 点的正应力为1.65MPa0.1hFLM ycBc2322.47MPa（压）IZbh125.图示为一工字形钢梁，受力如图示，钢的容许弯曲应力为152MPa，容许切应力为95MPa。试选择工字
9、钢的型号。112.537.5kN37.5（b）112.5281375kN.m（c）解：解：首先将梁简化为简支梁,作出剪力和弯矩图如(b)(c)，先按正应力强度条件选择截面,因梁的最大弯矩为Mmax 375000N m根据maxMmax ,可计算梁截面的截面模量Wz，应为WzWzMmaxmax375000 2460106m3615210由型钢表查得最接近这一要求的是56b 号工字钢，其截面模量为Wz 2447106m3由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容许应力不是很大(一般 5%在之内),选用小一号的截面是充许的，这里 56b 号工字钢截面模量比所需要的相差不到
10、1%，相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%，因此可以采用。进行切应力强度校核:梁的最大剪力为Qmax112500N m*2利用型钢表查得，56b 号工字钢的IzSz 47.1710 m,最大切应力为max*QmaxSzmaxIzdSzmaxQmax1550000066 25.410 Pa25.410aa 25.4MP23Iz47.171012.510d*显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到，梁的强度多由正应力控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。6.T 字形截面铸铁梁受力如图所示，已知材料的拉、压容许应力分
11、别为l30MPa，a90MPa。已经给出了截面的部分尺寸， 试按合理截面的要求确定尺寸，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。解： 为了达到合理截面要求，必须使同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之比lmaxamax等于相应的拉、压容许应力之比l a，这样当荷载增大时，截面上的最大拉应力和最大压应力将同时达到容许应力， 受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。根据给定条件可知l:a30:90 1:3，所以同一截面上应有lmax:amax1:3由图(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置y0为y0 210mm由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立y0与截
12、面几何尺寸关系式为(28060)(y02806060)60220(280)22(28060)60220将y0 210mm代入上式可解得 24mm。下面确定梁的容许荷载：首先计算截面惯性矩,由于 T 形截面可划分为两个矩形， 由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图(c),利用平行移轴定理可解出2422032206032Iz (24220100 )(22060402) 99.18106mm4 99.18106m41212最大弯矩Mmax出现在跨中，即Mmax最大拉应力为PLP2 0.5P44根据强度条件3M0.5P70 10Mymaxlmax 352.9 Pm axl m axmaxm a
13、x699.18 10IIzzmaxl故有352.9P 30106可解得P 85103N 85kN故按拉应力强度条件可确定梁的容许荷载为85kN， 由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时达到相应容许应力的条件确定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。7.长度为 250mm，截面尺寸为 hb=O.8mm25mm 的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为60的圆弧,已知弹性模量 E=2.110 MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。5解：解：maxhy2.110110.81033.142 E 352MPa3
14、l22501033E8.厚度为 h=1.5mm 的钢带,卷成直径为 D=3m 的圆环,求此时钢带横截面上的最大正应力。 已知钢的弹性模量 E=2.1l0 MPa。5解：解：因为l 2R 2D212MDEIzM2EIzD所以My2Ey105MPaIzD9.9.直径为 d 的钢丝，其名义流动极限为0.2。现在其两端施加外力偶使弯成直径为 D 的圆弧。 试求当钢丝横截面上的最大正应力等于0.2时 D 与 d 的关系式。 并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。解：解：l 2R 21D22MDEIzM2EIzD所以My2E0.2,IzDDEd0.2由上可见,细钢丝强度越大,E 越大,D 越大,抗弯刚度大.10.图示一由 1 6 号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载P,在截面 c-c 处梁的下边缘上,用标距 s=20mm 的应变计量得纵向伸长S=0.0O8mm。已知梁的跨长 L=1.5m,a=1m，弹性模量 E=2.110 MPa 试求 p 力的大小。PAaL 25ccL 2B解：因max E E sMCsWzRA RBP2P2C 截面的弯矩MC （La）查表得 16 号工的Wz141106m3,代入后得P 2WzE 47.38kNl a
