《重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第三节 导数与函数的极值、最值指导课件 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第三节 导数与函数的极值、最值指导课件 新人教A版（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节导数与函数的极值、最值第三节导数与函数的极值、最值一、函数的极值一、函数的极值1定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值和极小值统称为极值2求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根x0；(3)检查f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符号；“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”f(x)在x0处取极
2、小值(注：导数为零的点未必是极值点)3特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f(x0)0，f(x0)0是x0为极值点的必要而不充分条件(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，这一点一定要切记！(3)在求函数极值的步骤中，第二步，蕴含着比较根的大小问题，第三步，通常总结成表二、函数的最大值和最小值二、函数的最大值和最小值1定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”2求函数
3、yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的极值(极大值或极小值)；将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值)3特别提醒：利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题三、解决优化问题的基本思路三、解决优化问题的基本思路1(教材改编题)函数f(x)x33x23x5的极值点的个数是()A0B1 C2 D3解析解析：f(x
4、)3x26x33(x1)20对xR都成立，f(x)在R上是增函数，故无极值答案：答案：A2(教材改编题)函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A1B2C3D4解析：解析：极值点在f(x)的图象上应是f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，且极小值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方，故函数f(x)只有一个极小值点(图中B点)答案：答案：A3(文)函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a等于()A2 B3 C4 D5解析解析：因f(x)3x22ax3，由题意有f(3)0，所以3
5、(3)22a(3)30，由此解得a5.1答案：答案：D(理)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da 解析：解析：由y(eax)exa0得exa，即xln(a)0a1a1.答案：答案：A4函数f(x) x34x4的极大值点是_解析解析：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0得，x12，x22.当x2时，f(x)0，2x2时，f(x)0，f(x)在x2处取得极大值 答案：答案：25(文)函数f(x) x2lnx的最小值为_解析：解析：函数f(x)的定义域为(0，)f(x)x ，令f(x)0，得x1(舍去)或x1.当0x1时f(x)0，x1时f(x)0，
6、所以函数在x1处取得最小值f(1) .答案：答案： (理)(2009年辽宁卷)若函数f(x) 在x1处取极值则a_.解析：解析：f(x)在x1处取极值，f(1)0，又f(x)， f(1) 0，即21(11)(1a)0，故a3.答案：答案：3利用导数求函数极值、最值利用导数求函数极值、最值方法技巧：方法技巧：（1）熟悉函数极值点叙述中的隐含条件.如“f(x)在x=a时取得极大值b”即“f(a)=0，f(a)=b”；“x=a是函数f(x)的极值点”也即“f(a)=0”；“x=a是f(x)在m，n上的极值点，”也即“f(a)=0，或x=a是方程f(x)=0在m，n上的一个根”等.（2）求f(x)=0
7、的根，列表呈现x在不同区间变化时，f(x)的符号与函数f(x)的函数值变化情况是求函数极值、最值的基本步骤，也是关键步骤；当方程f(x)=0的根中含有字母或给定区间端点处含有字母时，求解的基本步骤不变，只是增添了讨论或运算量增大了.可化为讨论一元二次方程解的问题可化为讨论一元二次方程解的问题方法技巧：函数的导函数是二次函数时，函数的单调性，极值问题，常化为二次函数的根的讨论问题，如“函数有无极值或有极值时应满足的条件”化为“二次函数有无实根或有实根时应满足的条件”；也有化为“二次函数的根的分布问题”.解题时应注意，当导函数的判别式等于零时，导函数虽然有根，但导函数在除该点外的其他点函数值是同号
8、的，则函数在该点处仍无极值.导数与函数的最值导数与函数的最值令f(x)0，从而sin(x ) ，得x，或x .当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表x(0，)(， ) ( ，2)f(x)00f(x)单调递增2单调递减 单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)与( ，2)，单调递减区间是(， )，极小值为f( ) ，极大值为f()2.【变式探究变式探究】3.(文)求函数f(x)x 13lnx在区间1，)上的极值解：f(x)1 ，当1x2时，f(x)2时，f(x)0，f(x)在(2，)上是增函数当x2时，f(x)取得极小值f(2)13ln2.方法技巧：方法技巧：（1）求函数的最值，
9、应注意定义域优先的原则.（2）若函数的解析式中含有 时，应正确使用求导公式，导数f(x)在不同区间上符号变化情况较复杂时，应列表呈现，避免出错,【例例3】(理)已知函数f(x)ln(ax1) ，x0，其中a0.求f(x)的单调区间；若f(x)的最小值为1，求a的取值范围【思路点拨思路点拨】正确求出函数的导数【解解】f(x) ，x0，a0ax10.当a2时，在区间0，)上，f(x)0，f(x)的单调增区间为(0，)，f(x)的最小值为f(0)1.当0a2时，令f(x)0解得x (x0)当0x 时，f(x) 时，f(x)0，f(x)是增函数f(x)在x 处取得最小值f( )0)在(0,1上的最大值
10、为 ，求a的值解：f(x)= a(a0)当x(0,1时，f(x)0，f(x)在(0,1上是单调增函数f(x)的最大值为f(1)a ，即a .方法技巧：函数最值也可根据单调性求解.当函数在某一区间上的单调性已确定时，借助函数图象的草图，利于提高解题速度.对含有形如f(ax+b)函数的解析式，在求导时应由外到内逐层求导.生活中的优化问题生活中的优化问题【例4】甲方是一农场，乙方是一工厂，乙方生产需占用甲方的资源，甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.乙方在赔付甲方前，年纯收入P（元）与年产量t（吨）满足函数关系P=2 000 ；若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S（元）（以下称S为赔付
11、价格），则其年利润为Q（元）.（1）求乙方的年利润Q（元）关于年产量t（吨）的函数表达式，并求出当年利润Q（元）最大时的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y=0.002（元），在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？（净收入=获赔金额-经济损失）【思路点拨】（1）易知Q=P-St，根据函数Q（t）的解析式，用适当的方法求Q（t）的最大值.（2）将甲方净收入表示成S的函数，再用求函数最值的方法解决.【变式探究】4.请你设计一个帐篷.它下部的形状是高为1 m的正棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如图所示）
12、.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？方法技巧：方法技巧：利用导数解决生活中的优化问题时：(1)认真审题,构建函数模型,并确定函数的定义域;(2)注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应舍去；(3)如果目标函数在定义域内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.【分析分析】本题求出a,b的值后,如不对点x=1两侧导数符号进行检验,就易出现增根,导致解答看似完美,实则错误.因此,在求出导数为0的点后,一定要对该点(驻点)两侧导数符号作进一步研究,才能确定是否是极值点.因此,导数为0的点不一定是极值点,可导函数在某点处取得极值的充要条件是其导数在极值点的两侧异
13、号.已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是()A37B29C5 D以上都不对解析解析：f(x)6x(x2)，f(x)在(2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，当x0时，f(x)m最大，m3，而f(2)37，f(2)5，f(x)min37.答案：答案：A2(2009年山东济宁一模)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(，1)C(0，) D(0， )解析：解析：f(x)3x26b，由题意，函数f(x)图象如图所示 得0b0时，f(0)为极大值 D当a0时，f(0)为极小值解析解析：
14、f(0)0为f(x)的极值， 有f(0)0.又f(x)3x22axb， 答案：答案：B(理)已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)()A极大值为 ，极小值为0 、 B极大值为0，极小值为 C极小值为 ，极大值为0 D极大值为0，极小值为解析：f(x)3x22pxq，且f(x)的图象与x轴相切于(1,0)点，f(1)0，且f(1)0. 此时f(x)x32x2x.f(x)3x24x1(x1)(3x1)由f(x)0，得x(， )(1，)f(x)在( ，1)上是减函数；在(， )和(1，)上是增函数，f(x)极小值f(1)0；f(x)极大值f( ) .答案：答案：A4若
15、函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A(2,2) B2,2 C(，1) D(1，)解析：由f(x)3x233(x1)(x1)，且当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时函数f(x)有极大值，当x1时函数f(x)有极小值要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得2a0cosa ，b又ycosx在0，上是减函数，a，b( ，答案：答案：C二、填空题二、填空题6(文)函数g(x)lnxx的最大值是_解析：g(x) 1，令g(x)0，得x1.当0x0，当x1时，g(x)0x2，f(x)0 x2，故函数在(， )及(2，)上单调递增，在( ，2)上单调
16、递减，x2是极小值点故c2不合题意，舍去c6.答案：答案：6三、解答题三、解答题8(文)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，试求f(x)的极值点解：由已知，得f(x)(2x2a)ex(x22ax)ex(x22x2ax2a)ex.令f(x)0，得x22(1a)x2aex0，即x22(1a)x2a0.解得x1a1 ，x2a1 .当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，即函数f(x)(x22ax)ex的极值点为x1a1 ，x2a1.(理)如图所示，三次函数f
17、(x)x3ax2x在区间(1,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围是解析：由已知，得f(x)3x22ax1.f(x)在(1,1)内有极大值与极小值，即f(x)0在区间(1,1)内有两个不相等的实根要使方程3x22ax10在区间(1,1)内有两个不相等的实根，则 解得2a 或 a2.故实数a的取值范围为(2， ) ( ，2)9已知f(x)x( mR)，若m2，求函数g(x)f(x)lnx在区间 ，2上的最小值10某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3a5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x(9x11)元时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分
18、公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)11(福州三中20102011学年度高三第二次月考)设函数f(x) x3x2(m21)x，(xR)其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率；(2)求函数的单调区间与极值；(3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点：0，x1，x2，且x1x2.若对任意的xx1，
19、x2，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围解：(1)当m1时，f(x) x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为1.x(，1m)1m(1m,1m)1m(1m，)f(x)00f(x)极小值极大值当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)在(，1m)和(1m，)内减函数，在(1m，1m)内为增函数函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m) m3m2 .函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m) m3m2 .(3)由题设，f(x)x( x2xm21) x(xx1)(xx2)所以方程 x2xm210有两个相异的实根x1，x2，故x1x23，且1 (m21)0，解得m (舍)，m .因为x1x2，所以2x2x1x23.故x2 1.若x11x2，则f(1) (1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意若1x1x2，则对任意的xx1，x2，有xx10，xx20，则f(x) x(xx1)(xx2)0，又f(x1)0，所以函数f(x)在xx1，x2的最小值为0.于是对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m2 0，解得 m .综上，m的取值范围是( ， )
