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1、函数与导数一导数中的同构问题专题综述同构法在近几年的模考中频繁出现， 把等式或不等式变形为两个形式上一样的函数， 利用函数的单调性转化成比较大小， 或者解恒成立， 求最值等问题. 同构法在使用时， 考验“ 眼力” ，面对复杂的结构， 仔细观察灵活变形， 使式子两则的结构一致. 构造函数， 判断函数单调性，进一步求参数或证明不等式.专题探究导数中的同构问题指对跨阶型 双变量型 同构放缩或同构换元共存型探究1 :指对跨阶型解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为/ g( x ) / / ? ( x ) 的结构，/ ( X )即为外层函数，其单调性易于研究. 常见变形方式：此4 =
2、 -叫5 x + ln x = ln ( x e) ；x ln x = ln .答题思路：1. 直接变形：( 1 )积型:(同左)；=ea-nea f( x) = xnx ( 同右) ；= + In / ( x ) = x + ln x ( 取对数) .说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.a j a n b x( 2 )商型：一 / ( x ) = ( 同左) ;a I n Z ? a I n / 7 x= - - - -I n eh x Q - ln a v ln力一I n ( ln A ) = / (九 ) = x - ln x ( 取对数) .( 3 )和差型：e
3、l,abnb=eaaen bnb= f( x) = exx ( 同左) ；=ea + lnea b + nb = fx） xnx （ 同右）.2 .先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x,同加上x等，再用上述方式变形. 常见的有：aeax I n x = axe,lx x ln x ；( 2 ) e* c i ln ( iix - a ) - c i =c c I n a ( x -1 ) -1 c x - I n a ln ( x -1 ) -1=ex- na + x-na ln ( x - l) + x - l = en( x-l) + ln
4、 ( x - 1 ) ；I n xa lo ga x = elna - n ( x I na)exna x ln x ；I n aAMI（ 2 0 2 1重庆市市辖区模拟）若关于x的不等式nx + a对一切正实数x恒成立，则实数”的取值范围是（）A. 1-00,- J B. （ -0 0 ,e C. （ -00,1 D. （ -0 0 ,2【 审题视点】不等式中有指、对数结构，不等式两侧都加上X,即能出现同构法中的“ 和差型”.【 思维引导】由不等式的结构判断，通过将不等式变形为eA “ + x - a 2 1 n x + x，符合同构法中的指对同阶模型，或者直接构造含参函数，分类讨论.【 规
5、范解析】擀 ：, , , exa.lnx+ a, + x - a . . . x + ln x ,:.ex-a+ x-a.en x+ lnx指对数结构同时存在， 若选择直接含参讨论较麻烦， 通过配凑，符合和差型结构，构造函数判断单调性设 / ) = /+ ,则/ ( t ) = e + l ( )/ ) 在R上单调递增化繁为简： 根据同构后的不等式，构造函数，判断单调性，转化为x - a与I n x的恒成立问题故e + x - a . . e + ln x即/ ( x a ) . . . / ( in x ) 即xa. . 1 1 1 %即1 1 1 1 % . . 41 Y 一 1设g( x
6、 ) = x - ln无，则 g ( x ) = l - - - ,令g ( x ) 0 ,则x lg( x )在( 1 , + 8 )上单调递减，在( 0 , 1 )上单调递减故8(4m= 8编 =1 ，故 1故选C .【 探究总结】不等式或函数中指对数结构都存在时，仔细观察结构特征，可优先考虑放缩或同构，化繁为简，降低单调性判断的难度. 故要对常见不等关系的结论( 专题1 . 3 . 8 )及上述的常见变形方法牢记于心，能够熟练变形，构造相应函数.( 2 0 2 1山东省泰安市一模) 已知/ ( x ) = x l n x + x2 + l .( 1 )若函数g( x ) = / ( x
7、) + x c o s x - s i n x - x l n x - 1在( 0卷 上 有1个零点，求实数。的取值范围；( 2 )若关于x的方程庇1=/(力 罗+ a x 1有两个不同的实数解，求。的取值范围.探 究2 ：双变量型含有同等地位的两个变量n的等式或不等式，同构后使等式或不等式两侧具有一致的结构，便于构造函数解决问题.答题思路：常见的同构类型有： g( X 1 ) - g( z ) A / ( X2) - / ( X ) = g( X 1 ) + A / ( x( ) g( x 2 ) + A / ( x()n (x) = g(x) + / l/( x ) ；- k( X / (
8、 %) 一/ ( %2 ) kx1一kx2 n f( x1)-kx1 h( x) - f( x) - kx ；k / ( %) -/ ( 工2 ) , k 、 一 、 一、 玉 一 天 )k k 一!- - - - - - ( 玉 / ( %1 ) - / ( %. ) !- -=- - - - - -X , -X2 X j X2 x , x2 x2 X ,k k k= / U , ) + /UJ + = / ? ( %) = / ( %) + - .X jx2 X( 2 0 2 1 江西省萍乡市联考) 已知函数/( x ) = In 竺 二 + ( a 0 )，x 1 e 1( 1 ) 求函
9、数/ ( x ) 的定义域；( 2 ) 对 V %, x2 e ( 0 , ),当工2办时， 都有. / * 2 ) - / ( ) 二 - - - - - r 一 成 立 ，求实数2ex - 1 ex - 1。的取值范围.【 审题视点】第 ( 2 ) 问中的双变量不等式，若变量能分离且结构相同，不等式转化函数单调性问题.【 思维引导】双变量的恒成立不等式，分离变量，不等式变形/ ( X , ) /)-； ! ,构造函数eX1 - 1 ex - 1 ( x ) , 由不等式得出函数( X ) 的单调性.【 规范解析】解： ( 1 ) 由题意得 0aX HO当0a1,函数/ ( x ) 的定义域
10、为( - o o , 0 ) . _ ( 0 , 1 ) ( 2 , + o o ) ；a a2当。=2时，一 = 1,函数/ ( %) 的定义域为 x | x w l 且尤w O ,a2 2当。 2 时，一 网时，- 7/(不) 一三一e2 - e 设 h( x) = / ( x ) - - - = In -，贝 ij 力 ( 毛) 0aQ解得24,实数。的取值范围为（ 2,4.【 探究总结】典例2中出现的双边量问题是同构法中较为典型的情况，思路明确. 针对上述类型的不等式，分离变量，构造函数得出单调性. 构造的函数可能是抽象函数，也可能是具体函数，利用函数单调性，解不等式.（ 2021江苏
11、省苏州市联考） 已知函数f （ x） = ；x 2+ alnx,若对任意/ e 2,+8） （王声马） ，存在。口,3 ，使/（ * ） /2）加成立, 则实数加的取值范2xt - x2围 是 （）A. （ -0 0 ,2 B. （ - 0 0 , 6 ） C. （ -0 0 , D. （ -0 0 , 探究3：同构放缩或同构换元共存型有些更复杂的指对不等式，利用常见的变形方法（ 探究一）先进行同构变形再换元，使构造的函数较为简单，或者本身不等式的结构不特殊，可以先结合常用不等结论（ 专题1.3.8）放缩，使结构特殊再同构，但要注意取等号的条件等.常见的放缩模型:( 1 )利用 eN x +
12、l 放缩： xe= em *2x+ lnx+ l ； 1 = ” 2 x lnx + 1 ；XNX + J21nx+ 1( 2 ) 利用放缩： 加 2 e ( x + l n x) ； = * x- x之山工一工+ 1 ；exxneA = ex+ nnxe( x + nnx).( 3 ) 利用l n x x - l 放缩： x + l n x = l n ( xe ) (xe - 1 ；x + ? ? In x = l n ( xe ) xnex -1 .( 4 ) 利用 In x色放缩： x + l n x= In ( xe ) xe T ； x+ l n x = l n ( x e ) 0
13、时， 一+ l n / ( x) . . O .x-ex【 审题视点】待证明的不等式中有xe 3 l n x + x , 容易联系到指对同阶的常见变形，将不等式同构.【 思维引导】第 ( 2 ) 问，求出a = l,显 化 不 等 式 ! + l n / ( x ) 2 0 , 进行指对变形，换元简化函数.【 规范解析】解： ( 1 ) 由题意知，函数/ ( x) 的定义域为RX当。=0时，/ ( % ) = ，函数/ ( X) 在 ( F, + O O ) 上单调递增.e当 a H 0 时，f ( x) = + ar e T = e 。 +- )，a令 / ( x) 0 , 即a( x +
14、, ) 0a当。0时，x 0时，x - -a/(X)在区间( 8 , 3上单调递减，在区间( - , + 8 ) 上单调递增.a a( 2 )若函数/( x )的图象经过点(1,1 ),则 / = e T = l,得a = l,则- - - -F In f (x) - - F In x + x - 1 -1 In xcx - 1,xex xev xex设 f = xex,则当 x0 时，r e(0, +oo)设g(r) = 1 + ln f- I ,则g(r) = - - y + - = - -j令g 0 ,则 /1 g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+8)上单调递增 g(x)N
15、 g(x)min = g 6 =。当x0时，- - -+ ln /(x).O恒成立.xex【 探究总结】1 .利用常见的同构变形结论，对待证不等式进行变形，换元使构造的函数较为简单；2 . 方法不唯一，也可直接构造函数g(x) = - + ln x + x -l,判断单调性，涉及隐零点问题( 专题 1.3.9)不等式的证明问题转化为构造函数求函数最值问题同构法让复杂的函数式在指对结构上呈现“ 一致性”，再换元，大大降函数研究的难度. 但这类问题，方法不唯一，也可利用其他方法，比如不等式证明问题，直接构造函数求最值，或着变形为x ) g (x )的结构，比较最值.(2021江苏省南京市模拟) 已
16、知函数/(x ) = lnx- 公 .( 1 )讨论/( x )的单调性;(2 )设g(x) = e*T+ 丁1 ) ,若g(x).O恒成立，求a的取值范围.专题升华同构思想不仅仅应用于导数部分，整个高中数学中，在方程、不等式、解析几何、数列部分都有体现，本质上是变形，使结构一致，转化为其它知识点求解.方程中的应用：f(6?) = 0 /、，1二 八 二 两式结构相同，转 化 为 为方程/( x ) =。的两根;fb ) = 0如：若函数/ （ x） = K斤 +加 在区间 a,0上 的 值 域 为 b a ） ,则实数加的取值范围是./（ ） = ?思路：由/ （ X）单 调 递 增 = :
17、为方程x） = g的两个根./ 4 2不等式中的应用：不等式两侧化为相同结构，利用函数单调性，比较大小，或解不等式；如：若co s* - sin5ew 0,2） ，则6的 取 值 范 围 是 .思路：cos5 0-sin5 cos5 -7 cos3 0 0 . 所以g(x)在 (0 ,夕 单调递增，g(0) = 0 , 故 g(x)在 ( 0 , 夕上无零点;当O v a v l时，叫)(0微 )，使得s in /= a , . g(x)在 ( % , 上单调递减，在 (0,% )上单调递增，又 g(0) = 0, g (5 )= 等 一 1 故 g (x o ) g (o )= 。二 . g
18、 (x )在区间(0,天)上无零点i ) 当g图=等-10即时, g(x)在 ( 0 , 自 上无零点，i i ) 当8仁 = 对 一 ” 0 即0 4 , 3 时，g(x)在 (0 ，马上有一个零点， 2 J 8 7r 2当用 0 时，a-sinxvO , g ( x)vO. .g(x)在 (o, g上单调递减，g(x)在 ( 0 , 3上无零点，综上所述：当0 0)得疵 =xlnx4-ax ,即 exa = Inx + a 则有 F + ln d i) = x + /m:,令 h( x) = x + Inx , x0 ,/?(x) = 1 + 0 , . . 函数 h( x)在 (0,E)
19、 上递增，X. 方程从/ 一)= ( 力即为方程/ = % 即 。= 工一111% 有 2 个不同的正实根IS( px = x-lnx ,贝 lJd(x) = l - = ,x x当 0 v x v 1 时，“ (X)v 0 , 当 x 1 时，” (x) 0 ,所以函数0 = % - 枢 在 (0,1)上递减，在 (1,+00)上递增，所以 8(%)而 “ = 8 ( 1) = 1，当 x 0 时，(px - +8 , 当 R - +0 0 时，9 ( x ) +O 0 ,当。 1时，方程a = x - l n x有2个不同的正实根综上所述：a G ( 1 ,+0 0 ).变式训练2【 解析
20、】解: 令 g ( x ) = / ( x )-mx - x2 +anxmx ,由加得史上皿 0g ( % )在 2 ,+o o )递增,/ . V X G 2 ,+O o )9 (gr( x ) = x + - / n 0 ,即% , X + 3恒成立，J QXa设/ z ( x ) = x +3 , X G2,+O O), a G f l , ,则/ l ( x ) = X + 3在 2 , +0 0 )上单调递增，X (X )m i n = 飘2 ) = 2 + ,故有科， 2 + ,3 a G l ,1 ,使得4, 2 + 葭 成立，故州，( 2 + 0 ) max ,即枢，I.2 4
21、故选：D.变式训练3【 解析】解：( 1 )由题 意 得fx ) - - a .X当0时，广( X) 0,则/ ( X)在( 0 , + 0 0 )上单调递增；当。 o时，令 / ( 幻 =0得到a当o x 0 , y( x)单调递增；当时，r( x) 0时，/ ( X)在( 0 ,1 )上单调递增，在( L,- 8 )上单调递减；a a( 2 ) g(x) = exl + xlnx- ar2,令X = l ,则g =1 - Q . . O ,故 旗1 ,当 4,1 时，g(x) = ex + x In x - ax2 . .ex +xlnx-x2 =xexnx -(x -ln x -l)-lj设/z(x) = x -ln x -l,则= -令则xl Mx)在 (0,1)上单调递减，在(1,+00) 上单调递增.-./z(x)/i(x)n，n=/z(l) = 0设/(x) = e-x-l,x0,+oo),则，(%) = ” 1之0 (” )在0,+8) 上单调递增/.r(x)r(O) = O故eZnx7_(x_nx_l)_N 0,即x，F z_ (x _ ln x _ l)_ l2 0综上所述：当Q ,l时，g(X)0.
