《高中数学全程复习方略 相似三角形的判定及有关性质课件 理 选修41.1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全程复习方略 相似三角形的判定及有关性质课件 理 选修41.1（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 相似三角形的判定 及有关性质三年三年7 7考考 高考指数高考指数:1.1.了解平行线分线段成比例定理了解平行线分线段成比例定理. .2.2.会证明直角三角形射影定理会证明直角三角形射影定理. .1.1.利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行有关的证明和计算是高考重点有关的证明和计算是高考重点. .2.2.本部分主要以填空题和解答题为主，其中以相似三角形为背本部分主要以填空题和解答题为主，其中以相似三角形为背景的综合题是热点题型，同时相似三角形与圆、方程、三角、景的综合题是热点题型，同时相似三角形与圆、方程、三角、函数等知
2、识的结合多以探索性、函数等知识的结合多以探索性、 1.1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也线上截得的线段也_._.推论推论1 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_第第三边三边. .推论推论2:2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_另一腰另一腰. .相等相等平分平分平分平分【即时应用即时应用】(1)(1)如图，如图，ABCABC中，中，D D是是ABAB的中点的中点, ,DE
3、BC,AC=6,DEBC,AC=6,则则AE=_.AE=_.(2)(2)如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，EFADBCEFADBC，E E是是ABAB的中点的中点,DC=m,DC=m,则则FC=_.FC=_.【解析解析】(1)D(1)D是是ABAB的中点，的中点，DEBC,DEBC,点点E E是是ACAC的中点的中点, ,(2)EFADBC,E(2)EFADBC,E是是ABAB的中点，的中点，即即答案：答案：(1)3 (2)(1)3 (2)2.2.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的三条平行线截两条直线，所得的_线段成比例线段成比例. .推论：平行
4、于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )所得的对应线段所得的对应线段_._.对应对应成比例成比例【即时应用即时应用】(1)(1)如图，如图，ADBECF,ADBECF,且且ABBCABBC=23,=23,则则EFDF=_.EFDF=_.(2)(2)如图，在如图，在ABCABC中，中，DEBC,DEBC,BD= AD,BD= AD,则则AEAC=_.AEAC=_.【解析解析】(1)ADBECF,ABBC=23,(1)ADBECF,ABBC=23,DEEF=ABBC=23,EFDF=35.DEEF=ABBC=23,EFDF=35.(
5、2)DEBC,(2)DEBC,又又BD= AD,BD= AD,AB= AD,AB= AD,答案：答案：(1)35 (2)34(1)35 (2)343.3.相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质(1)(1)定义定义: :对应角对应角_，对应边，对应边_的两个三角形叫做相似的两个三角形叫做相似三角形三角形. .(2)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边( (或两边的或两边的延长线延长线) _) _，所构成的三角形与原三角形，所构成的三角形与原三角形_._.相等相等成比例成比例相交相交相似相似(3)(3)判定判定定理定理1 1：两角对应：两
6、角对应_，两三角形相似，两三角形相似. .定理定理2 2：两边对应：两边对应_且夹角且夹角_，两三角形相似，两三角形相似. .定理定理3 3：三边对应：三边对应_，两三角形相似，两三角形相似. .相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例(4)(4)直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定两个直角三角形有一个锐角对应相两个直角三角形有一个锐角对应相等等两个直角三角形的两条直角边对应两个直角三角形的两条直角边对应成比例成比例一个直角三角形的斜边和一条直角一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例条直角边对应成比例相似相似(5)(5)
7、性质性质相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于都等于_._.相似三角形周长的比等于相似三角形周长的比等于_._.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的_._.相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似三角形外接圆的直径比、周长比等于_,_,外接圆的外接圆的面积比等于相似比的面积比等于相似比的_._.相似比相似比相似比相似比平方平方相似比相似比平方平方【即时应用即时应用】(1)(1)已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABCABC中，中，D D、E E分别在分别在ACAC、ABAB边上，要使边上，要使AD
8、EADEABCABC成立的条件可是成立的条件可是_._.( (只填写一个即可只填写一个即可) )(2)(2)如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，C=90C=90, ,AC=3,DAC=3,D为为BCBC上一点，过点上一点，过点D D作作DEBCDEBC交交ABAB于于E E，若，若ED=1ED=1，BD=2BD=2，则，则DCDC的长的长为为_,S_,SBDEBDESSABCABC=_.=_.(2)BDE=C=90(2)BDE=C=90,B=B,B=B,BDEBCA,BDEBCA,BC=6,DC=4,BC=6,DC=4,SSBDEBDESSBCABCA=DE=DE2 2ACAC2 2=
9、19.=19.【解析解析】 (1)(1)此题属开放题，答案不唯一，可根据判定定理的此题属开放题，答案不唯一，可根据判定定理的条件填写，如条件填写，如ADE=BADE=B或或AED=CAED=C或或 等等. .答案：答案：(1)ADE=B(1)ADE=B(或或AED=CAED=C或或 )()(答案不唯一答案不唯一) )(2)4 19(2)4 194.4.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例_；两直角边分别是它们在斜边上；两直角边分别是它们在斜边上_与与_的比例中的比例中项项. .中项中
10、项射影射影斜边斜边【即时应用即时应用】(1)(1)在在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90，CDABCDAB于于D D，AC=3,BC=4AC=3,BC=4，则，则AD=_.AD=_.(2)(2)一直角三角形两条直角边之比是一直角三角形两条直角边之比是1212，则它们在斜边上射影的比是则它们在斜边上射影的比是_._.【解析解析】(1)(1)先由勾股定理，得先由勾股定理，得AB=5AB=5，再由射影定理，再由射影定理，得得ACAC2 2=AD=ADAB,AB,(2)AC(2)AC、ABAB在斜边在斜边BCBC上的射影为上的射影为DCDC、DBDB，由射影定理得：由射影定理得：AC
11、AC2 2=CD=CDBC,BC,ABAB2 2=BD=BDBC,BC,CDBD=ACCDBD=AC2 2ABAB2 2=14.=14.答案：答案：(1) (2)14(1) (2)14 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理【方法点睛方法点睛】1.1.平行线等分线段定理的理解及应用平行线等分线段定理的理解及应用平行线等分线段定理及推论平行线等分线段定理及推论1 1、推论、推论2 2是证明线段相等或求线段是证明线段相等或求线段长度的重要理论依据之一长度的重要理论依据之一, ,在应用这个定理时一定要看清条件中在应用这个定理时一定要看清条件中是否是一组平行线已截得相等的线段，若是就可以用该定理
12、是否是一组平行线已截得相等的线段，若是就可以用该定理. .2.2.利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果要进行适当的变形，从而得到最终的结果. .【例例1 1】(1)(1)如图，如图， ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD相交于相交于点点O O，AB=6,OEBCAB=6,OEBC，则，则EC=_.EC=
13、_.(2)(2012(2)(2012佛山模拟佛山模拟) )如图，在如图，在ABCABC中，中，DEBC,EFCDDEBC,EFCD，若，若BC=3BC=3，DE=2,DF=1DE=2,DF=1，则则ABAB的长为的长为_._.【解题指南解题指南】(1)(1)可利用平行四边形的性质和平行线等分线段可利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理求线段定理求线段ECEC的长的长. .(2)(2)这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题，由已知这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题，由已知条件分析知，需要中间比例式进行转换可以得到最终结果，即条件分析知，需要中间比例式进行转换可以得到最终结果，即由由
14、 及及 等可以得出等可以得出ABAB的长的长. .【规范解答规范解答】(1)(1)在在 ABCDABCD中，中，OB=OD,AB=DC=6OB=OD,AB=DC=6，又又OEBC,OEBC,即即EC=3.EC=3.答案：答案：3 3(2)DEBC(2)DEBC， 又又EFCD, EFCD, AF=2FD=2,AD=3,AF=2FD=2,AD=3,又又DEBC,DEBC,BD= ,AB=AD+BD= .BD= ,AB=AD+BD= .答案：答案：【反思反思感悟感悟】本例题灵活运用了平行线分线段成比例定理，本例题灵活运用了平行线分线段成比例定理，先利用先利用DEBCDEBC，EFCDEFCD得到比
15、例式后，再进行巧妙的转化比例得到比例式后，再进行巧妙的转化比例式，从而解决问题，这是在比例式的证明和计算中常见的一种式，从而解决问题，这是在比例式的证明和计算中常见的一种方法方法. . 相似三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质【方法点睛方法点睛】1.1.相似三角形的判定思路相似三角形的判定思路已知条件已知条件判定思路判定思路一对等角一对等角找一对等角或找夹边成比例找一对等角或找夹边成比例两边成比例两边成比例找夹角相等找夹角相等含有等腰含有等腰三角形三角形找顶角相等或找一对底角相等或找找顶角相等或找一对底角相等或找腰和底对应成比例腰和底对应成比例2.2.相似三角形性质的应用相似三角形性质的应
16、用(1)(1)运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系应边、对应角、周长、面积之间的关系. .(2)(2)相似三角形的性质多用于求某条线段的长度，求证比例式的相似三角形的性质多用于求某条线段的长度，求证比例式的存在、求证等积式的成立等存在、求证等积式的成立等. .【提醒提醒】在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等应角等. .【例例2 2】(1)(1)如图，光源如图，光源P P在横杆在横杆ABAB的正上方，的正上方，ABAB在灯光下的影
17、子在灯光下的影子为为CDCD，ABCD,AB=2 mABCD,AB=2 m，CD=6 mCD=6 m， 点点P P到到CDCD的距离是的距离是2.7 m2.7 m，则，则ABAB与与CDCD间的距离是间的距离是 _m._m.(2)(2)如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中，中，ABCD,ABCD,且且AB=2CD,EAB=2CD,E，F F分别是分别是ABAB，BCBC的的中点，中点，EFEF与与BDBD相交于点相交于点M.M.若若DB=9DB=9，则，则BM=_.BM=_.【解题指南解题指南】(1)(1)先判定先判定PABPAB与与PCDPCD相似，再利用相似三角形相似，再利用相似三角形对
18、应高的比等于相似比，求出对应高的比等于相似比，求出ABAB与与CDCD间的距离间的距离. .(2)(2)由已知条件可判定四边形由已知条件可判定四边形BCDEBCDE是平行四边形，所以是平行四边形，所以BCDEBCDE，从而证明从而证明EDMFBMEDMFBM，再根据对应边成比例可求出，再根据对应边成比例可求出BMBM的值的值. .【规范解答规范解答】(1)(1)根据根据ABCDABCD，知，知PABPCD.PABPCD.设设P P到到ABAB的距离为的距离为x mx m，根据相似三角形对应边上高的比等于相，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，得似比，得 解得解得x=0.9x=0.9，ABA
19、B与与CDCD间的距离为间的距离为2.7-0.9=1.8(m).2.7-0.9=1.8(m).答案：答案：1.81.8(2)E(2)E是是ABAB的中点，的中点，AB=2BE,AB=2BE,又又AB=2CD,CD=EB,AB=2CD,CD=EB,又又ABCD,ABCD,四边形四边形CBEDCBED是平行四形是平行四形,CBDE,CBDE, EDMFBM. EDMFBM.FF是是BCBC中点中点,DE=BC=2FB,DM=2BM,BM= DB=3.,DE=BC=2FB,DM=2BM,BM= DB=3.答案：答案：3 3【反思反思感悟感悟】判定三角形相似时，首先找出两个三角形中已判定三角形相似时，
20、首先找出两个三角形中已经具备了哪些已知条件，再通过推理推出隐含的条件，选择相经具备了哪些已知条件，再通过推理推出隐含的条件，选择相似三角形的判定方法作出判定即可；当三角形判定相似后，可似三角形的判定方法作出判定即可；当三角形判定相似后，可再根据相似三角形的性质，求出线段的长、三角形的周长及面再根据相似三角形的性质，求出线段的长、三角形的周长及面积等积等. . 射影定理的应用射影定理的应用【方法点睛方法点睛】射影定理的理解及解题思路射影定理的理解及解题思路(1)(1)射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系，揭示了射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系，揭示了直角三角形的内在关系直角三
21、角形的内在关系. .(2)(2)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式射影定理的其他变式. .【例例3 3】(1)(1)在在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90,CDAB,CDAB于于D D，ADBD=23,ADBD=23,则则ACDACD与与CBDCBD的相似比为的相似比为_._.(2)(
22、2)如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，ACB=90ACB=90,CDAB,CDAB于点于点D D，DEACDEAC于点于点E E，DFBCDFBC于点于点F F，CE=3,CF=4,CE=3,CF=4,则则AB=_.AB=_.【解题指南解题指南】(1)(1)可由射影定理用可由射影定理用ADAD表示出表示出CDCD的长，再求相似比的长，再求相似比. .(2)(2)先由勾股定理求先由勾股定理求CDCD的长，再由射影定理求的长，再由射影定理求ACAC、BCBC的长，最后的长，最后由勾股定理求出由勾股定理求出ABAB的长的长. .【规范解答规范解答】(1)(1)设设AD=2AD=2，则，则B
23、D=3BD=3，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90,CDAB,CDAB,CDCD2 2=AD=ADDB=2DB=23=6,CD= ,3=6,CD= ,ACDACD与与CBDCBD的相似比的相似比=ADCD=2 = 3.=ADCD=2 = 3.答案：答案： 3 3(2)(2)由勾股定理得由勾股定理得在在RtACDRtACD中，由射影定理，得中，由射影定理，得CDCD2 2=CE=CEAC,AC= ,AC,AC= ,在在RtBCDRtBCD中，由射影定理，得中，由射影定理，得CDCD2 2=CF=CFCB,CB= ,CB,CB= ,答案：答案：【反思反思感悟感悟】本题是射影定理与相似三角形的综合应用题，本题是射影定理与相似三角形的综合应用题，熟练运用射影定理及比例式的变形转化是解决问题的关键熟练运用射影定理及比例式的变形转化是解决问题的关键. .
