《高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第2讲 等差数列课件 理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮总复习 第五章 数列、推理与证明 第2讲 等差数列课件 理(30页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲等差数列考纲要求考点分布考情风向标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系2011年新课标卷考查等比数列前n项和,等差数列的基本知识;2013年新课标卷考查公式法求数列通项;2013年新课标卷考查等差数列的最值问题;2014年新课标卷考查公式法求数列通项;2015年新课标卷考查等差数列的基本运算1.对高考常考的等差数列的定义与性质、通项公式、前 n 项和公式等概念要记熟记准,并能熟练应用.2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.3.平常学习过程中
2、,能通过题目强化对基础知识的认识、理解和应用,以便解决与其他章节有联系的题目1.等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母_表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是ana1(n1)d.d3.等差中项4.等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn_5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系数列an是等差数列SnAn2Bn(A,B为常数).6.等差数列的常用性质(1)数列an是等差数列,则数列anp,pan(p是常数)都是等差
3、数列.(2)若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq;特别地,若mn2p(m,n,pN*),则aman2ap.(4)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2kSk,S3kS2k,S4kS3k是等差数列.(5)等差数列的单调性:若公差d0,则数列单调递增;若公差d0,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最_值.BC1.(2015年重庆)在等差数列an中,若a24,a42,则a6( ) A.1 B.0 C.1 D.6解析:由等差数列的性质得a62a4a22240.故选B.2.设Sn是等差数列an的前n项和,已知a23,a611,则S7( )A.13 B.35 C.49 D.
4、633.在等差数列an中,若S11220,则a6_.204.若数列an满足:a119,an1an3(nN*),而数列an的前 n 项和数值最大时,n 的值为()BA.6B.7C.8D.9解析:an1an3,数列an是以19为首项,3为公差的等差数列.an19(n1)(3)223n.a7222110,a8222420,n7时,数列an的前n项和最大.考点 1 等差数列的基本运算例1:(1)(2015年新课标)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10()答案:B(2)(2013年新课标)设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13,则m()A.3B.
5、4C.5D.6答案:C【规律方法】在解决等差数列问题时,已知a1,an,d,n,Sn中的任意三个,可求其余两个,称为“知三求二”.而求得a1和d是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法.【互动探究】1.(2013年福建)已知等差数列an的公差d1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.考点 2 等差数列的基本性质及应用例2:(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9等于()A.63 B.45C.36 D.27解析:(1)方法一,设其公差为d,S3a1a2a33a23(a1d)9,a1d3.S6a1a2a
6、3a4a5a63(a3a4)3(2a15d)36,a7a8a93a83(a17d)45.方法二,由等差数列的性质,知:S3,S6S3,S9S6成等差数列,2(S6S3)S3(S9S6).a7a8a9S9S62(S6S3)S345.答案:B(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.10答案:A解析:因为a1a2a334,an2an1an146,a1a2a3an2an1an34146180,又a1ana2an1a3an2,3(a1an)180,从而a1an60,答案:2016(4)可以把an与S
7、n结合起来,给计算带来很大便利,是解决等差数列的有效方法. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但也要用好“基本量法”,运用方程的思想“知三求二”.【规律方法】(1)利用等差数列an的性质“若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq”.(2)等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2kSk,S3kS2k,S4kS3k是等差数列.【互动探究】B2.(2014年重庆)在等差数列an中,a12,a3a510,则a7( )A.5B.8C.10D.14解析:方法一, a12,a3a52a16d46d10,d1,则a7a16d8.方法二,a12,a3a510a1a7,a78
8、.3.(2015年广东)在等差数列an中,若a3a4a5a6a725,则a2a8_.10解析:因为an是等差数列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525即a55,所以a2a82a510,故应填入10.考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题例3:(1)(2013年新课标)等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为_.答案:49(2)(2014年北京)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n_时,an的前n项和最大.解析:由等差数列的性质,a7a8a93a8,a80,又a7a100,所以a8a90.a90,所以S8S7,S
9、8S9,故数列an的前8项和最大.答案:8【互动探究】4.(2014年江西)在等差数列an中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n8时Sn取最大值,则d的取值范围为_.思想与方法利用函数的思想求等差数列的最值例题:在等差数列an中,若a125,S17S9,则Sn的最大值为_.思维点拨:利用前 n 项和公式和二次函数性质求解.解析:方法一,由S17S9,得由二次函数性质知,当n13时,Sn有最大值169.图 521方法三,由S17S9,得a10a11a170,而a10a17a11a16a12a15a13a14,故a13a140.d20,a130,a140.故当n13时,Sn有最大值169
10、.方法四,由d2,得Sn的图象如图521(图象上一些孤立点).当n13时,Sn取得最大值169.答案:169【规律方法】求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;利用等差数列的性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质或图象求最值.1.等差数列的判定方法.(1)定义法:an1and(nN*,d是常数)an是等差数列;(2)中项法:2an1anan2(nN*)an是等差数列;(3)通项公式法:anknb(k,b是常数)an是等差数列;(4)前n项和公式法:SnAn2Bn(A,B是常数,A0)an是等差数列.2.解决与等差数列有关问题时常见的思想方法.(1)函数思想:在等差数列中andnc(d、c为常数)是关于n的一次函数(或常数函数),Snan2bn(a、b为常数)是关于n的二次函数(或一次函数).(2)方程思想:准确分析a1,d,an,Sn,n之间的关系,通过列方程(组)可做到“知三求二”.(3)整体思想:在应用等差数列an的性质“若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq”时,要会用整体思想进行代换.