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1、第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短()两点在一条直线异侧已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两的两侧，在侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P，就是所求。，就是所求。思考？思考？为什么什么这样做就能得到最短距做就能得到最短距离呢？离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.如图，要在燃气管道如图，
2、要在燃气管道L L上修建一个泵站，分上修建一个泵站，分别向别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P.P.() () 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，
3、在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从才能使从A A、B B到它的距离之和最短到它的距离之和最短 练习练习请你自己动手 试一试！只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，
4、然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点()一点在两相交直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两的两边边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周，组成三角形，使三角形周长最小长最小.BCDE分析：当分析：当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小()一点在两相交直线内部已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两的两边边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形
5、周，组成三角形，使三角形周长最小长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）ABMNE作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到到E E， 2.2.连接接AEAE交河交河对岸与点岸与点M,M, 则点点M M为建建桥的位置，的位置，MNMN为所建的所建的桥。证明明：由由平平移移
6、的的性性质，得得 BNEM BNEM 且且BN=EM, BN=EM, MN=CD, MN=CD, BDBDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若若桥的位置建在的位置建在CDCD处，连接接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则ABAB两地的距离两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+C
7、E+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以所以桥的位置建在的位置建在CDCD处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD 2. 如如图，A A、B B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在河流a a的同的同侧，为了了方便灌方便灌溉作物，作物， 要在河要在河边建一个抽水站，将河水送到建一个抽水站，将河水送到A A、B B两地，两地，问该站建在河站建在河边什么地方，什么地方， 可使所修的渠道最短，可使所修的渠道最短，试在在图中确定中确定该点。点。作法：作法：作点作点B B关于直关于直线 a 的的对称点点称点点C,C,
8、连接接ACAC交直交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。证明：在直明：在直线 a 上另外任取一点上另外任取一点E E，连接接AE.CE.BE.BD,AE.CE.BE.BD,点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站抽水站应建在河建在河边的点的点D D处， CDABEa3.3.某班某班举行晚会，桌子行晚会，桌子摆成两直条成两直条( (如如图中的中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上桌面上摆满了桔子，了桔子，OBOB桌面上桌面上摆
9、满了糖果，坐在了糖果，坐在C C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他你帮助他设计一条行走路一条行走路线，使其所走的，使其所走的总路程最短路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直关于直线OA 的的对称点点称点点D, 2. 作点作点C关于直关于直线OB 的的对称点点称点点E, 3.连接接DE分分别交直交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB. .EDMNGH 证明：明：在直在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接接 点点D,点点C关于直关于直线OA对称，称，点点G.H在在OA上，上，DG=CG, DM=CM, 同
10、理同理NC=NE，HC=HE, CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE, DG+GH+HEDE（两点之（两点之间，线段最短），段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN即即CM+CN+MN最短最短AOB. .EDMNGH4. 如如图：C为马厩，厩，D为帐篷，牧篷，牧马人某一天要从人某一天要从马厩厩牵出出马，先到草地先到草地边某一某一处牧牧马，再到河，再到河边饮马，然后回到，然后回到帐篷，篷，请你你帮他确定帮他确定这一天的最短路一天的最短路线。作法：作法：1.作点作点C关于直关于直线OA 的的对称点点称点点F, 2. 作点作点D关于直关于直线OB 的的对
11、称点点称点点E, 3.连接接EF分分别交直交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGHABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN证明：在直明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接接 点点F,点点C关于直关于直线OA对称，点称，点G.M在在OA上，上，GF=GC,FM=CM, 同理同理HD=HE，ND=NE, CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四在四边形形EFGH中，中，FG+GH+HEFE（两点之（两点之间，线段最短），段最短），即即CG+GH+HDCM+MN+ND即即CM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGH
