2017数学二真题解析

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1、版权所有版权所有翻印必究翻印必究1中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-96620172017 全国研究生入学考试考研数学（数学二）解析全国研究生入学考试考研数学（数学二）解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）若函数1 cos,0,( ),0,xxf xaxbx在

2、0x ，处连续，则（）（A）12ab （B）12ab （C）0ab （D）2ab 【答案【答案】 （A）【 解 析解 析 】 由 连 续 的 定 义 可 知 ：00lim( )lim( )(0)xxf xf xf， 其 中0(0)lim( )xff xb，20001()1 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa，从而12ba，也即12ab ，故选（A） 。（2）设二阶可导函数( )f x满足(1)( 1)1,(0)1fff 且( )0fx，则（）（A）11( )0f x dx（B）11( )0f x dx（C）0110( )( )f x dxf x dx（D）0110(

3、 )( )f x dxf x dx【答案【答案】 （B）【解析解析】由于( )0fx，可知 其中( )f x的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即( )(0) (1)(0)21f xfffxx，(0,1)x， 因 此1100( )(21)0f x dxxdx。 同 理( )(0) (0)( 1)21f xfffxx ，( 1,0)x 。因此0011( )( 21)0f x dxxdx，从而11( )0f x dx，故选（B） 。（3）设数列 nx收敛，则（）（A） 当limsin0nnx时，lim0nnx（B） 当lim()0nnnxx时，lim0nnx（C） ） 当2lim()0nnnxx时

4、，lim0nnx（D） 当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx【答案【答案】 （D）2中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究【解析解析】设limnnxa，则limsinsinnnxa，可知当sin0a ，也即ak，0, 1, 2,k 时，都有limsin0nnx，故（A）错误。lim()nnnxxaa， 可 知 当0aa， 也 即0a 或 者1a 时 ， 都 有lim()0nnnxx，故（B）错误。22lim()nnnxxaa，可知当20aa，也即0a 或者1a 时，都有2lim()0nnnxx，故（C）错误。lim(sin)sinnnnxxaa，而要使sin0a

5、a只有0a ，故（D）正确。（4）微分方程248(1 cos2 )xyyyex的特解可设为*y （）（A）22cos2sin2xxAeeBxCx（B）22cos2sin2xxAxeeBxCx（C）22cos2sin2xxAexeBxCx（D）22cos2sin2xxAxexeBxCx【答案【答案】 （A）【解析解析】齐次方程的特征方程为2480，特征根为22i，将非齐次方程拆分为：248(1)xyyye与248cos2(2)xyyyex。方程(1)的特解可以设为21xyAe，方程(2)的特解可以设为22(cos2sin2 )xyxeBxCx，由解的叠加原理可知：方程(1)饿任意解和方程(2)的

6、任意解之和即为原方程的解，则原方程的特解可以设为222(cos2sin2 )xxyAexeBxCx，故选（A） 。（5）设具有一阶偏导数，且对任意的都有,则（）（A）（B）（C）（D）【答案【答案】 （D）【解析解析】由于,0f x yx，可知,f x y关于单调x递增，故0,11,1ff。又由于,0f x yy，可知,f x y关于单调y递减，故1,11,0ff，从而0,11,0ff，故选（D） 。版权所有版权所有翻印必究翻印必究3中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位

7、：米)处，图中实线表示甲的速度曲线(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分的面积的数值依次为 10,20,3.计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则（）（A）（B）（C）（D）【答案【答案】 （C）【解析解析】从0到0t时刻，甲乙的位移分别为010( )tV t dt与020( )tV t dt要使乙追上甲，则有0210( )( )tV tV t dt，由定积分的几何意义可知，25210( )( )20 1010V tV t dt，可知025t ，故选（C） 。（7）设A为 3 阶矩阵，123,)P = ( 为可逆矩阵，使得1000010002PAP，则123) A( （）（

8、A）12 （B）23 （C）23 （D）12 【答案【答案】 （B）【解析】【解析】1231231123123123123123231()(,) 111(,)(,)(,) 110001(,) 010100210(,) 122AAA 4中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究（8）已知矩阵200021001A，210020001B，100C020002则（）（A）A与C相似，B与C相似（B）A与C相似，B与C不相似（C）A与C不相似，B与C相似（D）A与C不相似，B与C不相似【答案【答案】 （B）【解析】【解析】由（）=0EA可知A的特征值为 2,2,1。3(2)1rEA。A

9、A可相似对角化，且100020002A由0EB可知B B的特征值为 2,2,1。3(2)2rEB。B B不可相似对角化，显然C C可相似对角化，AC。且B B不相似于C C。二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为_。【答案答案】2yx。【解析解析】21arcsinlim1xxxkx，2lim1 arcsin2xbxxx，则斜渐近线方程为2yx。（10）设函数( )yy x由参数方程txteysint 确定，则220td ydx_。【答案

10、答案】18。【解析解析】( )cos( )1tdyy ttdxx te，2223sin (1)coscossinsincos(1)111(1)tttttttttteettd yteteteedxeee版权所有版权所有翻印必究翻印必究5中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-96622018td ydx 。（11）20ln(1)(1)xdxx_。【答案答案】1。【解析解析】200ln(1)1ln(1)(1)1xdxx dxx20011ln(1)11xdxxx 0011ln(1)11xxx 011 。（12）设函数( , )f x y具

11、有一阶连续偏导数，且( , )(1)yydf x yye dxxy e dy，(0,0)0f，则( , )f x y _。【答案答案】yxye。【解析解析】由题可知，yxfye，1yyfxy e，,( )yyf x yye dxxyec y，( )yyyyyfxexyec yxexye， 即( )0c y， 即( )c yc，0,00f， 故0c ， 即,yf x yxye。（13）110tanyxdydxx_。【答案答案】ln(cos1)。【解析解析】1111110000tantantanln coslncos1lncos0lncos1yyxxdydxdxdyxdxxxx 。（14）设矩阵4

12、1212311Aa的一个特征向量为112 ，则a _。【答案答案】1。6中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究【解析解析】因为111 = 3222Aa ，即321a，可得1a 。三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限030limxtxxte dtx。【解析解析】先对变上限积分0xtxte dt作变量代换uxt，得000()xxtx uxuxxte dtuedueue du则由洛必

13、达法则可知：原式=00lim32xxuxeue duxx=0022lim33xuxxue duxe=022lim1332xxxxxexeex=022lim1332xxxxxexee23(16)(本题满分 10 分)设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos )xyf ex， 求0xdydx，202xd ydx。【解析解析】由复合函数求导法则，可得：12( sin )xdyf efxdx故01(1,1)xdyfdx版权所有版权所有翻印必究翻印必究7中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966进一步地：212122(

14、)()cossinxxd fd fd ye fexfxdxdxdx1111222122(sin )cossin (sin )xxxxe fef efxxfx f efx2212112122cos2sinsinxxxe fxfefexfxf故2012112(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx(17) (本题满分 10 分)求21limln(1)nnkkknn。【解析解析】由定积分的定义式可知原式=1011limln 1ln 1nnkkkxx dxnnn，再由分部积分法可知：2211121000012100111ln 1ln 11ln 1|ln 122211111|244xxxx dx

15、x d xxdxxdxx (18) (本题满分 10 分)已知函数( )y x由方程333320xyxy确定，求( )y x的极值。【解析解析】等式两边同时对x求导可得，2233330xy yy (1)令0y 可得2330x ，故1x 。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在1x 与1x 处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，2266330xy yy yy(2)当1x 时，1y ，将1,1,0xyy代入（2）式可得2y ，故 11y是函数的极大值。当1x 时，0,0yy，代入（2）式可得2y ，故10y 是函数的极小值。(19) (本题满分 1

16、1 分)设函数( )f x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0( )lim0xf xx。证明： （）方程( )0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根。8中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究（）方程2( )( )( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【证明】【证明】 （I）由于0( )lim0xf xx，则由保号性可知：0，使得当(0, )x时，( )0f xx，也即( )0f x 。又由于(1)0f，则由零点存在定理可知，( )0f x 在(0,1)内至少有一个实根。（II）令( )( )( )F xf x fx。由0( )lim0

17、xf xx可知0( )(0)lim0xf xfxx。又由（I）可知：0(0,1)x使得0()0f x。由罗尔定理可知：10(0,)x使1()0f，从而10(0)( )()0FFF x。再由罗尔定理可知：21(0,)，310( ,)x使得23()()0FF。也即2( )( )( )( )0F xf x fxfx在0(0,)(0,1)x内有两个不同的实根。(（21）(本题满分 11 分)设( )y x是区间30,2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线: ( )l y x上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点0,pY，法线与x轴相交于点,0pX，若ppXY，求l上点的坐标( , )x y满足的

18、方程。【解析解析】设( , ( )p x y x的切线为( )( )()Yy xy x Xx，令0X 得，( )( )pYy xy x x，法线1( )()( )Yy xXxy x ， 令0Y 得 ，( )( )pXxy x y x。 由ppYX得 ，( )( )yxy xxyy x，即1( )1yyy xxx。令yux，则yux，dyduxudxdx，那么，(1)(1)duuxuudx，即211udxduux ，解得，21ln1arctanlnuuxCx 。（22）(本题满分 11 分)设3阶矩阵123,A 有3个不同的特征值，且3122。（I）证明：( )2r A 版权所有版权所有翻印必究

19、翻印必究9中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966（II）若123，求方程组Ax的通解。（I） 【证明证明】因为A有三个不同的特征值，所以A ，( )1r A ，假若( )1r A 时，0是二重的，故不符合，那么( )2r A ，又因为3122，所以( )2r A ，即( )2r A 。（II） 【解析解析】因为( )2r A ，所以0Ax 的基础解析只有一个解向量，又因为3122，即12320，即基础解系的解向量为(1,2, 1)T，又因为123，故Ax的特解为(1,1,1)T，所以Ax的通解为(1,2, 1)(1,1,1)

20、TTk，kR。（23）(本题满分 11 分)设二次型222123123121323( ,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换XQY下的标准型221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。【解析解析】二次型对应的矩阵为21411141Aa，因为标准型为221122yy，所以0A ，从而46a，即2a ，代入得2141110412EA，解得0, 3,6；当0时，2140111412EA ，化简得111012000，对应的特征向量为1(1,2,1)Tk；当3 时，5143121415EA ， 化简得121011000， 对应的特征向量为2(1, 1,1)Tk；当6时，4146171414EA ，化简得171010000，对应的特征向量为3( 1,0,1)Tk ；10中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究从而正交矩阵32632636033326326Q 。关注微博关注微博中公考研中公考研关注微信公众号关注微信公众号 中公考研网中公考研网1919 考研交流考研交流 5 5 群：群：51711125851711125820192019 考研交流考研交流 7 7 群：群：345416840345416840