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1、第七节这个函数相等吗?和函数求 和展 开用处：用多项式逼近一般函数，近似计算。用处：用多项式逼近一般函数，近似计算。 函数的泰勒级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 一个幂级数的和函数在其收敛区间内是任意阶可导的，反问题: 函数在一个区间上任意阶可导，如何将其表示成为幂级数； 这个幂级数收敛吗？此级数的和函数与一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 为f (x
2、) 的泰勒泰勒 (Taylor)级数级数. 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)级数级数 .若函数的某邻域内具有任意阶导数, 教材上称生成求由函数在 a = 2 生成的泰勒级数，级数在其收敛域上是否收敛于f (x)。1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题 :由函数生成的幂级数(幂级数的部分和是多项式)，函数在区间上可展开成泰勒级数是指:在此区间上收敛，且收敛于原函数。给定一个无穷可微函数，就可以生成其泰勒级数。定理定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是
3、f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒（中值）定理泰勒（中值）定理 :阶的导数 ,时, 有其中则当泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法
4、由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 将展开成 x 的幂级数.解解: 得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束
5、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P701 例9类似的，可推出:机动 目录 上页 下页 返回 结束 随着n变大,更近似，局部范围还有什么办法可以从上式推出这个式子?截断误差截断误差其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 当n =9 时2. 间接展开法间接展开法利用已知函数的展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1
6、也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 将展成解解: 的幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 将展成 x1 的幂级数. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 m = 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示提示: 后者必需证明前者无此要求.2. 如何求的幂级数 ?提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 P703从1到33的单数题第五节 目录 上页 下页 返回 结束 作业备用题备用题 1.将下列函数展开成 x 的幂级数解解:x1 时, 此级数条件收敛,因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 将在x = 0处展为幂级数.解解:因此机动 目录 上页 下页 返回 结束
