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1、第第6章章 计算计算 VaR的方法的方法 &通过本章学习，要求理解计算通过本章学习，要求理解计算VaRVaR的的三种的的三种主要方法：方差协方差方法（如德尔塔主要方法：方差协方差方法（如德尔塔正正态方法）、历史模拟方法、蒙特卡洛模拟方态方法）、历史模拟方法、蒙特卡洛模拟方法。法。6.1 VaR6.1 VaR的计算思路的计算思路计算计算VaRVaR的关键在于确定资产组合未来损益的的关键在于确定资产组合未来损益的统计分布，计算过程由两部分构成：统计分布，计算过程由两部分构成：1.1.映射过程：建立组合价值与风险因子之间映射过程：建立组合价值与风险因子之间的函数关系。的函数关系。2.2.估值过程：根
2、据风险因子的波动性或未来估值过程：根据风险因子的波动性或未来情景估计组合的未来价值分布（或未来损益情景估计组合的未来价值分布（或未来损益分布）。分布）。 估值模型包括局部估值法和完全估值法估值模型包括局部估值法和完全估值法l（1 1）局部估值法（解析方法）局部估值法（解析方法）建立风险因子变化与组合价值变化间的函数建立风险因子变化与组合价值变化间的函数关系，由风险因子回报的正态性假设以及风关系，由风险因子回报的正态性假设以及风险因子的波动性和相关性预测推出组合的险因子的波动性和相关性预测推出组合的VaRVaR。设设P= f(y)P= f(y)，y y为风险因子，当风险因子为风险因子，当风险因子
3、y y从初从初始值始值y y0 0变成新的值变成新的值y y1 1= y= y0 0+y+y，计算组合价值，计算组合价值P P1 1= f(y= f(y1 1) )线性模型（线性模型（delta类模型）类模型）非线性模型（非线性模型（delta-gamma类模型）类模型） 当有当有n n个风险因子时组合价值变化可表示为个风险因子时组合价值变化可表示为l（2 2）完全估值法）完全估值法采用历史模拟法或蒙特卡洛模拟法模拟风险因采用历史模拟法或蒙特卡洛模拟法模拟风险因子的未来不同情景，分别对组合中的各头寸进子的未来不同情景，分别对组合中的各头寸进行重新定价，从而得到组合价值的未来分布行重新定价，从而
4、得到组合价值的未来分布（未来损益分布），并计算组合的（未来损益分布），并计算组合的VaRVaR。计算风险值的主要方法计算风险值的主要方法局部估值法局部估值法完全估值法完全估值法参数方法参数方法方差协方差法方差协方差法蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法非参数方法非参数方法历史模拟法历史模拟法德尔塔德尔塔- -正态方法是一种常用的方差协方差法。正态方法是一种常用的方差协方差法。delta- -正态方法假定：正态方法假定：组合价值变化与风险组合价值变化与风险因子变化间呈线性关系；因子变化间呈线性关系；风险因子回报为风险因子回报为联合正态分布。联合正态分布。6.2 德尔塔德尔塔正态方法正态方法设风险因子设风
5、险因子X X1 1、X X2 2、X Xn n，风险因子的回报，风险因子的回报服从均值为服从均值为0 0的联合正态分布，风险因子回报的联合正态分布，风险因子回报的协方差矩阵为的协方差矩阵为。组合价值变化用泰勒展开近似为组合价值变化用泰勒展开近似为则组合价值变化则组合价值变化PP的方差为的方差为组合价值变化是风险因子变化的线性组合，组合价值变化是风险因子变化的线性组合，由于风险因子的变化服从正态分布，所以组由于风险因子的变化服从正态分布，所以组合价值的变化也是正态分布，即合价值的变化也是正态分布，即 P PN(0,N(0,p p2 2) )例：例：考虑一个由考虑一个由A和和B两种股票构成的资产组
6、合，两种股票构成的资产组合，其中其中A股票为股票为n1=100股，每股价格股，每股价格S1=91.7美元，美元，B股票为股票为n2=120股，每股价格股，每股价格S1=79.1美元，根据历史交易数据估计，美元，根据历史交易数据估计，A和和B两种股票日收益率的均值、标准差和相关系两种股票日收益率的均值、标准差和相关系数如下：数如下： 1=0.155% 1=2.42% 2=0.0338% 2=1.68% =0.14请用请用delta-正态方法完成以下计算：正态方法完成以下计算：（1）在）在99%的置信水平下，组合中的置信水平下，组合中A股票的股票的1天持有期绝对天持有期绝对VaR和相对和相对VaR
7、。（2）在）在99%的置信水平下，组合中的置信水平下，组合中B股票的股票的1天持有期绝对天持有期绝对VaR和相对和相对VaR。（3）在）在99%的置信水平下，资产组合的的置信水平下，资产组合的1天持天持有期绝对有期绝对VaR和相对和相对VaR。 对于标准正态变量对于标准正态变量X： P（X-1.645）=5%， P（X-1.96）=2.5%， P（X-2.327）=1% 方差协方差方法的优缺点方差协方差方法的优缺点优点：优点：计算简单方便。计算简单方便。根据中心极限定理，即使风险因子回报不是根据中心极限定理，即使风险因子回报不是正态分布，但只要风险因子数量足够大和相正态分布，但只要风险因子数量
8、足够大和相互独立，仍然可以采用方差协方差方法。互独立，仍然可以采用方差协方差方法。缺点：缺点：正态分布假设不能处理厚尾分布。正态分布假设不能处理厚尾分布。需要估计风险因子的波动性及收益间的相关需要估计风险因子的波动性及收益间的相关性。性。近似性。近似性。历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaR的基本原理：的基本原理：用给定历史用给定历史时期上所观测到的风险因子的变化来表示风险时期上所观测到的风险因子的变化来表示风险因子未来的变化，从而得到风险因子的未来因子未来的变化，从而得到风险因子的未来n n个数据，进而得到组合价值未来损益的个数据，进而得到组合价值未来损益的n n个可个可能结果，可以根据得
9、到的未来损益分布，通过能结果，可以根据得到的未来损益分布，通过分位数计算分位数计算VaRVaR。6.3 6.3 历史模拟法历史模拟法历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaR的基本方法：的基本方法：（1 1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子，）识别影响组合中各头寸价值的风险因子，收集风险因子的历史观测数据，并用风险因子收集风险因子的历史观测数据，并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价值。表示出组合中各头寸的盯市价值。（2 2）计算风险因子的历史价格变化，并模拟）计算风险因子的历史价格变化，并模拟风险因子的未来价格水平。风险因子的未来价格水平。模拟情景模拟情景1 1：假设所有市场变量的变化率等于
10、：假设所有市场变量的变化率等于历史上第历史上第1 1天市场变量的变化率天市场变量的变化率模拟情景模拟情景2 2：假设所有市场变量的变化率等于：假设所有市场变量的变化率等于历史上第历史上第2 2天市场变量的变化率天市场变量的变化率以此类推，总共得到以此类推，总共得到n n中模拟情景中模拟情景风险因子的因子的历史史观测值风险因子的价格因子的价格变化化v v0 0v v1 1v v1 1/v/v0 0v vn-1n-1v vn-1n-1/v/vn-2n-2v vn nv vn n/v/vn-1n-1第第n+1n+1期的期的风险因子价格因子价格v vn+1n+1= v= vn n(v(vi i/v/v
11、i-1i-1)(i=1,)(i=1,n),n)（3 3）利用定价公式，根据模拟出的风险因子）利用定价公式，根据模拟出的风险因子的未来的未来n n种可能价格水平，求出组合的种可能价格水平，求出组合的n n种未来种未来盯市价值，并与当前风险因子下的组合价值比盯市价值，并与当前风险因子下的组合价值比较，得到组合价值的未来损益分布。较，得到组合价值的未来损益分布。（4 4）根据组合价值的未来损益分布，通过分）根据组合价值的未来损益分布，通过分位数计算位数计算VaRVaR。假设我们采用过去假设我们采用过去501501天的历史数据来计算一天的历史数据来计算一天持有期、天持有期、99%99%置信水平下的置信
12、水平下的VaRVaR，则，则VaRVaR的估的估计值是组合损失分布第计值是组合损失分布第9999个百分比分位数所对个百分比分位数所对应的损失（第应的损失（第5 5个最坏的损失）。个最坏的损失）。( (对每种情形对每种情形设定相同的权重设定相同的权重) )VaR 的精确度的精确度 (page 184)l假设损失分布第假设损失分布第q个分位数的估计值为个分位数的估计值为x，则估计值则估计值x的标准差为的标准差为lf(x) 为损失为为损失为x时，损失分布的密度函数值，时，损失分布的密度函数值， f(x) 可以通过用标准分布来匹配经验分布可以通过用标准分布来匹配经验分布进行估计。进行估计。l例例12-
13、1（ page 184 ）推广推广1: 对观测值（模拟情景）设定权重对观测值（模拟情景）设定权重设定相同权重：设定相同权重：基本历史模拟法对过去基本历史模拟法对过去n n个观个观测值（测值（n n中模拟情景）设定相同的权重。中模拟情景）设定相同的权重。设定不同权重：设定不同权重：权重随回望期增加而呈指数速权重随回望期增加而呈指数速度递减。度递减。. .n n个变化情形的权重由近到远分别为个变化情形的权重由近到远分别为将损失值由大到小进行排序将损失值由大到小进行排序, ,由最大损失开始由最大损失开始计算累计权重，当累计权重等于指定分位数时，计算累计权重，当累计权重等于指定分位数时，对应的损失值即
14、为对应的损失值即为VaRVaR。推广推广 2: 包括更新的波动率包括更新的波动率利用某市场变量第利用某市场变量第n+1天的波动率估计和第天的波动率估计和第i天的波动率估计，对该市场变量第天的波动率估计，对该市场变量第i天的变化天的变化量进行调整。量进行调整。某市场变量第某市场变量第i个情景值为个情景值为推广推广 3: 统计自助法统计自助法利用自助法对利用自助法对n种情景进行放回抽样，如可以种情景进行放回抽样，如可以产生产生1000组的组的n种情景，从而可以计算种情景，从而可以计算VaR的的置信区间。置信区间。极值理论极值理论 (page 188)极值理论可以用于描述变量极值理论可以用于描述变量
15、X经验分布的的右经验分布的的右尾特性。尾特性。我们先在右尾找一个数值我们先在右尾找一个数值uGnedenko的研究结果表明，对用多种概率分的研究结果表明，对用多种概率分布布F(x)，随着，随着u的增加，当的增加，当Xu时，时，X的条件分的条件分布布Fu(y)（y=x-u)趋向于广义趋向于广义Pareto分布。分布。广义广义 Pareto 分布分布广义广义Pareto分布有两个参数：形状参数分布有两个参数：形状参数x x和规和规模参数模参数b b，其累积分布函数为，其累积分布函数为极大似然估计法极大似然估计法 (式式12-4, page 189)假设大于假设大于u的观测值个数为的观测值个数为 n
16、u 选择选择 x x 和和 b b 使下式最大化使下式最大化尾部概率尾部概率变量变量Xx的概率估计值为的概率估计值为令令 u=/, 上式等价于上式等价于幂率分布率分布 。利用极值理论估计利用极值理论估计VaR置信水平为置信水平为q时，时，VaR 估计值为估计值为历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaR的优点的优点不需要对风险因子的分布进行假定。不需要对风险因子的分布进行假定。只要数据充分，可以处理厚尾分布和其他极只要数据充分，可以处理厚尾分布和其他极端情况。端情况。不需要估计风险因子的波动性和收益相关性。不需要估计风险因子的波动性和收益相关性。能够计算能够计算 VaRVaR的置信区间的置信区间
17、. .历史模拟法计算历史模拟法计算VaRVaR的缺点的缺点完全依赖于特定的历史数据。完全依赖于特定的历史数据。如果历史数据涉及的期间不够长，则可能使如果历史数据涉及的期间不够长，则可能使VaRVaR计算不准确。计算不准确。如果资产组合含有比较复杂的证券，则计算如果资产组合含有比较复杂的证券，则计算起来比较麻烦。起来比较麻烦。原理：建立风险因子的随机过程模型，反复原理：建立风险因子的随机过程模型，反复模拟风险因子变量的随机过程，每次模拟都模拟风险因子变量的随机过程，每次模拟都可以得到风险因子的一个未来变化情景，得可以得到风险因子的一个未来变化情景，得到组合在持有期末的一个可能价值，如果进到组合在
18、持有期末的一个可能价值，如果进行大量的模拟，那么组合价值的模拟分布将行大量的模拟，那么组合价值的模拟分布将收敛于组合的真实分布。收敛于组合的真实分布。6.4 6.4 蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法1 1）识别影响组合中各头寸价值的风险因子，）识别影响组合中各头寸价值的风险因子， 并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价并用风险因子表示出组合中各头寸的盯市价值。值。 2 2）模拟风险因子的未来情景：选择反映风险）模拟风险因子的未来情景：选择反映风险因子变化的随机过程和分布；估计其中相应因子变化的随机过程和分布；估计其中相应的参数；模拟风险因子的变化路径，建立风的参数；模拟风险因子的变化路径，建立风险
19、因子未来的变化情景。险因子未来的变化情景。蒙特卡洛模拟法的基本步骤蒙特卡洛模拟法的基本步骤选择反映风险因子变化的随机过程和分布选择反映风险因子变化的随机过程和分布如对于股票价格，可选择几何布朗运动模型。如对于股票价格，可选择几何布朗运动模型。N N（0 0，1 1），参数），参数t t和和t t代表代表t t时刻的瞬时刻的瞬间漂移和波动，它们随时间变化。间漂移和波动，它们随时间变化。设当前时间为设当前时间为t t，到期时间为，到期时间为T T，持有期，持有期=T-=T-t t，将，将分为分为m m个增量个增量tt，即，即 ，则在，则在t t时间间隔上的估计为时间间隔上的估计为 对于汇率，可采用
20、对数正态模型对于汇率，可采用对数正态模型为汇率的日波动性，为汇率的日波动性，t t为风险持有期为风险持有期估计随机过程模型中相应的参数。估计随机过程模型中相应的参数。估计相应的参数估计相应的参数t t和和t t，在简单情况下，可，在简单情况下，可以假定为常量，也可以假定为变化的，用以假定为常量，也可以假定为变化的，用GARCHGARCH模型描述其动态性。模型描述其动态性。模拟风险因子的变化路径，建立风险因子模拟风险因子的变化路径，建立风险因子未来的变化情景。未来的变化情景。采用几何布朗运动模型时，股票价格未来变采用几何布朗运动模型时，股票价格未来变化情景的建立：依次产生化情景的建立：依次产生0
21、 0，1 1均匀分布均匀分布的的m m个随机变量个随机变量x xi i(i=1(i=1，m)m)，随机数是由，随机数是由随机数产生程序生成的。设标准正态分布的随机数产生程序生成的。设标准正态分布的分布函数为分布函数为(y)(y)，令，令(i i)=x)=xi i，则可以得，则可以得到标准正态分布的随机变量序列到标准正态分布的随机变量序列i i (i=1,(i=1,m),m)，根据股票价格的随机过程模型，根据股票价格的随机过程模型可依次得到可依次得到S St+itt+it(i=1,(i=1,m),m)。S St+mtt+mt（S ST T）为股票价格在持有期末的一个变化情景，重为股票价格在持有期
22、末的一个变化情景，重复该步骤，可得到股票价格的复该步骤，可得到股票价格的n n个变化情景。个变化情景。采用对数正态模型时，汇率未来变化情景的采用对数正态模型时，汇率未来变化情景的建立：依次产生建立：依次产生0 0，1 1均匀分布的均匀分布的n n个随机个随机变量变量x xi i(i=1(i=1，n)n)，设标准正态分布的分，设标准正态分布的分布函数为布函数为(y)(y)，令，令(i i)=x)=xi i，则可以得到，则可以得到标准正态分布的随机变量序列标准正态分布的随机变量序列i i(i=1,(i=1,n),n)，根据汇率的随机过程模型可得到持有期末，根据汇率的随机过程模型可得到持有期末汇率变
23、动的汇率变动的n n个情景。个情景。3 3）对持有期末风险因子的每个情景，利用精）对持有期末风险因子的每个情景，利用精确的定价公式或其它方法计算组合的价值及确的定价公式或其它方法计算组合的价值及其损益。其损益。4 4）根据组合价值损益分布的模拟结果，计算）根据组合价值损益分布的模拟结果，计算出特定置信水平下的出特定置信水平下的VaRVaR。蒙特卡洛模拟法计算蒙特卡洛模拟法计算VaR的优缺点的优缺点优点：优点：能够用于风险因子的各种分布。能够用于风险因子的各种分布。能有用于任何复杂的资产组合。能有用于任何复杂的资产组合。允许计算允许计算 VaR的置信区间。的置信区间。缺点：缺点：有些意外情况会未被考虑。有些意外情况会未被考虑。计算过程复杂，极端依赖于计算机。计算过程复杂，极端依赖于计算机。作业题：作业题：1.计算风险值的主要方法。计算风险值的主要方法。2.delta-正态方法计算正态方法计算VaR的基本假定和优的基本假定和优缺点。缺点。3.历史模拟法计算历史模拟法计算VaR的基本原理和主要优的基本原理和主要优缺点。缺点。4.蒙特卡洛方法计算蒙特卡洛方法计算VaR的基本原理和主要的基本原理和主要优缺点。优缺点。5.练习题：练习题：9.23 12.1 13.1 13.16
