03固定收益证券计算PPT课件

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1、第第3章章 固定收益证券计算固定收益证券计算3.1 收益计算收益计算3.2 其它计算其它计算3.3 绩效衡量绩效衡量3.4 二叉树定价模型二叉树定价模型3.5习题习题定义定义 3.1 净现值净现值是指投资方案所产生的是指投资方案所产生的现金净流量现金净流量以以资金成本资金成本为为贴现率贴现率折现之后与折现之后与原始投资额原始投资额现值的现值的差额。差额。定义定义 3.2 投投 资项目各年现金流量的折现值之和为资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值，净现值为零时的折现率就是项目的项目的净现值，净现值为零时的折现率就是项目的内部收益率内部收益率。 内部收益率内部收益率可以作为度量投资方案优劣

2、的一种工具，可以作为度量投资方案优劣的一种工具，但是只是对同一个投资项目但是只是对同一个投资项目内部收益率简介内部收益率简介 内部收益率又称内部收益率又称财务内部收益率财务内部收益率(FIRR)，是资金流入现值总额，是资金流入现值总额与资金流出现值总额相等、净现值等于零时的折现率。与资金流出现值总额相等、净现值等于零时的折现率。它是一项投资可望达到的报酬率，该指标越大越好。一般情况它是一项投资可望达到的报酬率，该指标越大越好。一般情况下，下，内部收益率大于等于基准收益率时内部收益率大于等于基准收益率时，该项目是可行的。，该项目是可行的。投资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值，投资项目各

3、年现金流量的折现值之和为项目的净现值，净现值净现值为零时的折现率就是项目的内部收益率为零时的折现率就是项目的内部收益率。优缺点优缺点内部收益率法的优点是能够把项目寿命期内的收益与其投资总额内部收益率法的优点是能够把项目寿命期内的收益与其投资总额联系起来，指出这个项目的收益率，便于将它同行业基准联系起来，指出这个项目的收益率，便于将它同行业基准投资收投资收益率益率对比，确定这个项目是否值得建设。对比，确定这个项目是否值得建设。使用借款进行建设，在借款条件（主要是利率）还不很明确时，使用借款进行建设，在借款条件（主要是利率）还不很明确时，内部收益率法可以避开借款条件，先求得内部收益率，作为可以内部

4、收益率法可以避开借款条件，先求得内部收益率，作为可以接受借款利率的高限。接受借款利率的高限。但内部收益率表现的是比率，不是绝对值，一个内部收益率较低但内部收益率表现的是比率，不是绝对值，一个内部收益率较低的方案，可能由于其规模较大而有较大的净现值，因而更值得建的方案，可能由于其规模较大而有较大的净现值，因而更值得建设。所以在各个方案选比时，必须将内部收益率与净现值结合起设。所以在各个方案选比时，必须将内部收益率与净现值结合起来考虑。来考虑。分析分析内部收益率就是在考虑了时间价值的情况下，使一项投资在未来产生的现内部收益率就是在考虑了时间价值的情况下，使一项投资在未来产生的现金流量现值，刚好等于

5、投资成本时的收益率，而不是你所想的金流量现值，刚好等于投资成本时的收益率，而不是你所想的“不论高低不论高低净现值都是零，所以高低都无所谓净现值都是零，所以高低都无所谓”，这是一个本末倒置的想法了。因为，这是一个本末倒置的想法了。因为计算内部收益率的前提本来就是使净现值等于零。计算内部收益率的前提本来就是使净现值等于零。 内部收益率越高，说明你投入的成本相对地少，但获得的收益却相对地多。内部收益率越高，说明你投入的成本相对地少，但获得的收益却相对地多。比如比如A、 B两项投资，成本都是两项投资，成本都是10万，经营期都是万，经营期都是5年，年，A每年可获净现金每年可获净现金流量流量3万，万，B可

6、获可获4万，通过计算，可以得出万，通过计算，可以得出A的内部收益率约等于的内部收益率约等于15%，B的约等于的约等于28%，这些，其实通过年金现值系数表就可以看得出来的。，这些，其实通过年金现值系数表就可以看得出来的。指标意义指标意义内部收益率是进行内部收益率是进行盈利盈利能力分析时采用的主要方法一。从经济意义上，能力分析时采用的主要方法一。从经济意义上，内部收益率内部收益率IRR的取值范围应是：的取值范围应是：1IRR，大多数情况下的取，大多数情况下的取值范围是值范围是0IRR。求得的内部收益率。求得的内部收益率IRR要与项目的要与项目的设定基准收设定基准收益率益率i0相比较。当相比较。当I

7、RRi0时，则表明项目的收益率已达到或超过设定时，则表明项目的收益率已达到或超过设定折现率水平，项目可行，可以考虑接受。折现率水平，项目可行，可以考虑接受。内部收益率可通过方程求得内部收益率可通过方程求得,但该式是一个高次方程，通常采用但该式是一个高次方程，通常采用“试试算内插法算内插法”求求IRR的近似解。的近似解。内部收益率指标的突出优点就是在计算时不需事先给定基准折现率，内部收益率指标的突出优点就是在计算时不需事先给定基准折现率，避开了这一既困难又易引起争论的问题。当基准折现率入不易确定其避开了这一既困难又易引起争论的问题。当基准折现率入不易确定其准确取值，而只知其大致的取值区间时，则使

8、用内部收益率指标就较准确取值，而只知其大致的取值区间时，则使用内部收益率指标就较容易判断项目的取舍，容易判断项目的取舍，IRR优越性是显而易见的。优越性是显而易见的。 内部收益率的存在性讨论内部收益率的存在性讨论由内部收益率的定义式知，它对应于一个一元高次由内部收益率的定义式知，它对应于一个一元高次多项式（多项式（IRR的定义式）的根。该一元高次多项式的的定义式）的根。该一元高次多项式的根的问题，也就是内部收益率的多解或无解问题，根的问题，也就是内部收益率的多解或无解问题，是内部收益率指标一个突出的缺陷。是内部收益率指标一个突出的缺陷。 收益计算收益计算内生收益率计算公式如下：内生收益率计算公

9、式如下：其中：其中：P P为价格为价格($)($)； 为第为第i i期现金流期现金流($)($)； y y为内生收益率为内生收益率； n n为期数。为期数。已知已知P，可以用试错法求内生收益率。试错法计算内，可以用试错法求内生收益率。试错法计算内生收益率步骤生收益率步骤(二分法，具体办法可以重新设计二分法，具体办法可以重新设计)1给出一个收益率；给出一个收益率；2用步骤用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值；给出的收益率计算每笔现金流的现值；3加总步骤加总步骤2得出的现金流现值；得出的现金流现值；4将步骤将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较。比

10、较。当步骤当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时，得出的现金流总现值比金融工具的价格大时，选择一个比步骤选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤。反之，大的收益率重复以上步骤。反之，选择一个更小的收益率进行重复。选择一个更小的收益率进行重复。例例3.1 3.1 假定一种金融工具有如表假定一种金融工具有如表3.13.1的年金支付，金融的年金支付，金融工具的价格为工具的价格为77047704美元，试求它的内生收益率美元，试求它的内生收益率。表3.1 年金支付情况从现在算起的年数预计年金支付12342 0002 0002 5004 000%macro a(r);data;p=2000/(1+&

11、r)+2000/(1+&r)*2+2500/(1+&r)*3+4000/(1+&r)*4;r=100*&r;put r= p=;%mend a;%a(0.1);%a(0.14);%a(0.12);run;本例计算程序：本例计算程序：计算结果：r=10 p=8081.4152039r=14 p=7349.0709218r=12 p=7701.624974将计算结果与7704相比较，得出12%为该金融工具的内生收益率注：上例也可以直接用SAS函数 yield=irr(1 1,-77047704,20002000,20002000,25002500,40004000); 函数irr的用法：IRR(f

12、req,c0,cl,.,cn)，freq表示每年产生现金流次数，c0-cn为现金流。作业：从前面给出的例子，给出函数yield=irr的编程步骤到期收益率到期收益率谓到期收益，是指将债券持有到偿还期所获得的谓到期收益，是指将债券持有到偿还期所获得的收益收益，包括到期的全部利息。到期收益率又称最终收益率，包括到期的全部利息。到期收益率又称最终收益率，是投资购买是投资购买国债国债的的内部收益率内部收益率，即可以使投资购买国，即可以使投资购买国债获得的未来债获得的未来现金流量现金流量的现值等于的现值等于债券债券当前市价的当前市价的贴贴现率现率。它它相当于投资者按照当前市场价格购买并且一相当于投资者按

13、照当前市场价格购买并且一直持有到满期时可以获得的年平均收益率。直持有到满期时可以获得的年平均收益率。到期收益率计算公式到期收益率计算公式例题：如果票面金额为例题：如果票面金额为1000元的两年期债券，第一年元的两年期债券，第一年支付支付60元利息，第二年支付元利息，第二年支付50元利息，现在的市场价元利息，现在的市场价格为格为950元，求该债券的到期收益率为多少？元，求该债券的到期收益率为多少？ 以半年为给付期的债券的收益定价以半年为给付期的债券的收益定价其中：其中：P P为价格为价格($)($)；C C为半年期的为半年期的票息票息($)($)；y y为到期收益率的一半；为到期收益率的一半；n

14、 n为期数为期数( )( )；ParPar为面值为面值( (到期价值到期价值) )。已知已知P P，可以用试错法求到期收益率。，可以用试错法求到期收益率。因此，试错法计算到期收益率步骤：因此，试错法计算到期收益率步骤：1 1给出一个收益率；给出一个收益率；2 2用步骤用步骤1 1给出的收益率计算每笔现金流的现值；给出的收益率计算每笔现金流的现值；3 3加总步骤加总步骤2 2得出的现金流现值；得出的现金流现值；4 4将步骤将步骤3 3得出的现金流总现值与金融工具的价格作得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较。比较。当步骤当步骤3 3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时，得出的现金流总现值比金

15、融工具的价格大时，选择一个比步骤选择一个比步骤1 1大的收益率重复以上步骤。反之，选大的收益率重复以上步骤。反之，选择一个更小的收益率进行重复。择一个更小的收益率进行重复。试错法计算到期收益率通用程序：出错否？试错法计算到期收益率通用程序：出错否？data a;delete;Run;%macro a(r, n, d, par);data a1;p1=0;%do i=1 %to &n ;/在数据不在数据不重，可以不需要这种表达重，可以不需要这种表达/p1=p1+&d/(1+&r)* &i;output;%end;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs then p

16、2=&par/(1+&r)*&n;p=p1+p2;r=200*&r;r1=100*&r;n=&n;data a;set a a1;%mend a;/* %a(r, n, d, par)内的具内的具体参数值体参数值 */proc print data=a ;run;例例3.2 3.2 假定发行者每假定发行者每6 6个月支付个月支付1 000 1 000 000000美元给证券持有美元给证券持有者并连续支付者并连续支付3030次，到期后的支付额为次，到期后的支付额为20 000 20 000 000000美元。美元。发行时，发行者筹得资金为发行时，发行者筹得资金为19 696 02419 696

17、024美元。计算得知，美元。计算得知，资金总成本率为资金总成本率为5.10%(5.10%(半年期半年期) )。利用通用程序，a(r, n, d, par)取值如下：%a(0.05, 30, 1000000, 20000000);%a(0.0505, 30, 1000000, 20000000);%a(0.051, 30, 1000000, 20000000);计算结果：计算结果：Obs p1 p2 p r r1 n1 15372451.03 4627548.97 20000000.00 10.0 5.00 302 15285221.19 4561926.60 19847147.79 10.1

18、5.05 303 15198759.44 4497265.37 19696024.81 10.2 5.10 30将计算结果与该金融工具的价格19696024美元比较，5.10%为其到期收益率(半年期)。 作业作业上面的调用通用函数的方法虽然可行，但是一种替代的方法是通上面的调用通用函数的方法虽然可行，但是一种替代的方法是通过循环控制的想法一步实现：开始取较小值的过循环控制的想法一步实现：开始取较小值的r,然后令然后令r递增，知递增，知道得到的小于给定的债券价格时，循环结束，从而得到最终的债道得到的小于给定的债券价格时，循环结束，从而得到最终的债券到期收益率的近似值。近似的精确程度可以通过递进的

19、步长来券到期收益率的近似值。近似的精确程度可以通过递进的步长来控制。设计这样的程序。检查时间：下周一。控制。设计这样的程序。检查时间：下周一。注：上例也可以直接用SAS函数yield=yieldp(20000000,2000000/20000000,2,30,0.5,19696024);函数yieldp用法：YIELDP(A,c,n,K,k0,p)，其中A表示面值，c为小数形式表示的名义年票息率，n为年付息次数，K为从现在起至到期日生于付息次数，k0为现在到下一个付息日的时间，p为价格。计算结果一致。回原来利用函数计算页面Yieldp 函数介绍函数介绍票面利率概述（票面利率概述（票息，票息，C

20、oupon rate）票面利率是指在债券上标识的利率，一年的利息点票面金额的比例，是它在数额上等于债券每年应付给债券持有人的利息总额与债券总面值相除的百分比。票面利率的高低直接影响着证券发行人的筹资成本和投资者的投资收益，一般是证券发行人根据债券本身的情况和对市场条件分析决定的。债券的付息方式是指发行人在债券的有效期间内，向债券持有者分批支付利息的方式，债券的付息方式也影响投资者的收益。 票面利率固定的债券通常每年或每半年付息一次。Coupon亦指息票，即附于债券上，供持有人支取利息的凭证。 企业债券必须载明债券的票面利率。票面利率的高低在某种程度上不仅表明了企业债券发行人的经济实力和潜力，也

21、是能否对购买的公众形成足够的吸引力的因素之一。 债券价格、到期收益率与票面利率之间的关系可作如下概括： 票面利率到期收益率债券价格票面价值 票面利率=到期收益率债券价格=票面价值 票面利率到期收益率债券价格票面价值 当前收益率当前收益率 证券的当前收益率定义证券的当前收益率定义：（票息率（票息率 面值）面值）/债券当前价格债券当前价格有效利率有效利率 有效利率是指能够真实反映全部中长期贷款成本的年费用率例：已知一笔为期7年的l亿美元贷款，年利率10%。协议规定宽限期为3年，偿付期为4年，分4次等额还本。该借款人在签约后立即一次性提款，无需支付承担费。他需要按贷款额的0.5%一次性支付管理费，每

22、年还需支计其他费用5万美元。求有效利率 精确计算法 ：虑到货币的时间价值，计算有效利率要使用下面的公式： 上式中，L为贷款额现值，M为一次性支付的费用，n为付息次数，C1、C2、C3， Cn 分别为第一次、第二次、第n次还本付息和支付其他费用的金额，r为有效利率。 以前面的例子为例说明以前面的例子为例说明：L=1L=1亿美元亿美元 MM0.5%0.5%1 1亿亿0.0050.005亿美元亿美元 C C1 1 = = C C2 2 = = C C3 3=1=1亿亿10%+510%+5万万=1005=1005万美元万美元 C C4 4=2500=2500万万+l+l亿亿10%+510%+5万万=3

23、505=3505万美元万美元 C C5 5=2500=2500万万+0.75+0.75亿亿10%+510%+5万万=3255=3255万美元万美元 C C6 6=2500=2500万万+0.5+0.5亿亿10%+510%+5万万=3005=3005万美元万美元 C C7 7=2500=2500万万+0.25+0.25亿亿10%+510%+5万万=2755=2755万美元万美元 10*9-5*10*5=r=10.19%有效利率的作用有效利率的作用有效利率从合并利息、费用、利息计算方法和其他贷款要求助财务开支等方面，而区别于表面利率。有效利率还应该包括强制储蓄的成本成借款人的团体资金贡献，因为这些

24、也是资金成本。我们在计算有效利率时不考虑交易成本(借款人获得贷款时的金融或非金融成本如开一个银行账户、交通、照顾小孩，或机会成本)，因为这些指标受市场影响变化太大。然而，设计信贷和储蓄业务的发放时尽量减少小型信贷机构和客户的交易成本很重要。 影响有效利率的因素影响有效利率的因素 影响因素 字面利息率 ；利息计算方法：衰减余额或平息法 ；贷款初期利息的支付(作为向借款人发放的本金的扣除额或在贷款期限利息的支付） ；起始阶段或在贷款过程中收取的手续费 ；支付担保，保险，或团体资金的金额 ；强制储蓄或补偿余额，以及由小型信贷机构或另一个机构(银行，信贷联盟)向借款人支付的相应利息 ；支付频率 ；贷款

25、期限 ；贷款数额。 基点基点基点基点 Basis PointBasis Point（bpbp）在金融方面的的含义指的是债券）在金融方面的的含义指的是债券和票据利率改变量的度量单位。一个基点等于和票据利率改变量的度量单位。一个基点等于1 1个百分个百分点的点的1%1%，即，即0.01%0.01%，因此，因此，100100个基点等于个基点等于1%1%。一一浮动利率债券浮动利率债券的利率可能比的利率可能比LIBORLIBOR高高1010个基点，个基点，100100个个基点相当于基点相当于1%1%，该债券的利率可能比普遍使用的，该债券的利率可能比普遍使用的LIBORLIBOR利率利率高高0.1%0.1

26、%。 LIBORLIBORLIBOR是是 London Interbank Offered Rate London Interbank Offered Rate 的缩写，中文称，的缩写，中文称，伦敦伦敦银行银行同业拆放利率同业拆放利率。指。指欧洲货币市场欧洲货币市场上，银行与银上，银行与银行之间的一年期以下的短期资金借贷利率。行之间的一年期以下的短期资金借贷利率。同业拆放有两个利率：拆进利率（同业拆放有两个利率：拆进利率（Bid RateBid Rate）表示银行）表示银行愿意借款的利率，拆出利率（愿意借款的利率，拆出利率（Offered RateOffered Rate）表示银行愿）表示银行

27、愿意贷款的利率。同一家银行的拆进和拆出利率相比较，意贷款的利率。同一家银行的拆进和拆出利率相比较，拆进利率永远小于拆出利率，其差额就是银行的得益。拆进利率永远小于拆出利率，其差额就是银行的得益。 浮动利息率浮动利息率浮动利率是一种在借贷期内可定期调整的利率。 根据借贷双方的协定，由一方在规定的时间依据某种市场利率进行调整，一般调整期为半年。浮动利率因手续繁杂、计算依据多样而增加费用开支，因此，多用于3年以上的及国际金融市场上的借贷。 浮动利率的设定浮动利率的设定浮动利率=参考利率+指数利差在美国市场上，一般拆进利率在前，拆出利率在后，如：3.253.50；而在英国市场上，一般是拆出利率在前，拆

28、进利率在后，如：3.503.25。现在LIBOR已经作为国际金融市场中大多数浮动利率的基础利率，以银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本，贷款协议中议定的LIBOR，通常是几家指定的参考银行在规定的时间（一般是伦敦时间上午11：00）报价的平均利率。 计算方法如何？抽样的统计方法课本中所给出的有效年利率计算课本中所给出的有效年利率计算银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利率中较高银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利率中较高的一个是有效年利率。的一个是有效年利率。有效年利率与周期性利率之间的换算关系：其中：m为每年支付的频率。例例3.5 3.5 半年期周期性利率为半年期周期性利率为

29、4%4%时有效年收益率为时有效年收益率为1.042-1=8.16%1.042-1=8.16%。如果利息按季支付，那么周期性利。如果利息按季支付，那么周期性利率为率为2%2%时有效年利率为时有效年利率为8.24%8.24%。计算程序：%macro a(r,m);data;i=(1+&r)*&m-1;r=100*&r;put r= i=;%mend a;%a(0.02,4);run;计算结果：r=2 , i=0.08243216注：上例也可以直接用注：上例也可以直接用SAS函数函数 r=compound(1,1.02,.,0.25);函数函数compound的用法：的用法：COMPOUND(a,f

30、,r,n)，其，其中中a表示期初值，表示期初值，f表示期末值，表示期末值，r为有效年利率，为有效年利率，n为为年付息次数。年付息次数。也可以用也可以用excel函数函数r=EFFECT(0.08,4)。EFFECT(nominal_rate, npery)。三种收益率之间的关系三种收益率之间的关系债券当前收益率定义如下：表3.2 三种收益率之间的关系债债券券发发行方式行方式三种收益率之三种收益率之间间的关系的关系平价票息率=当前收益率=到期收益率折价票息率当前收益率当前收益率到期收益率例例3.6 3.6 计算一种票息率为计算一种票息率为6%, 6%, 价格为价格为700.89700.89美元的

31、美元的1818年期债年期债券的当前收益率和到期收益率。假定这种债券券的当前收益率和到期收益率。假定这种债券5 5年内第一次被年内第一次被赎回的价格为赎回的价格为10301030美元美元, , 该债券的票息为每该债券的票息为每6 6个月支付个月支付3030美元，美元，连续支付连续支付1010次。求该债券第一个赎回日的收益率。次。求该债券第一个赎回日的收益率。利用通用程序，a(r, n, d, par)取值如下： %a(0.056, 10, 30, 1030);%a(0.0585, 10, 30, 1030);%a(0.061, 10, 30, 1030);%a(0.0635, 10, 30, 1

32、030);%a(0.066, 10, 30, 1030);%a(0.0685, 10, 30, 1030);%a(0.071, 10, 30, 1030);%a(0.0735, 10, 30, 1030);%a(0.076, 10, 30, 1030);第一个赎回日收益率计算第一个赎回日收益率计算计算结果计算结果：Obs p1 p2 p r r1 n1 225.048 597.308 822.356 11.2 5.60 102 222.380 583.349 805.729 11.7 5.85 103 219.760 569.749 789.509 12.2 6.10 104 217.187

33、556.496 773.683 12.7 6.35 105 214.659 543.582 758.241 13.2 6.60 106 212.176 530.997 743.173 13.7 6.85 107 209.737 518.731 728.468 14.2 7.10 108 207.340 506.777 714.117 14.7 7.35 109 204.985 495.125 700.110 15.2 7.60 10比较得出，债券第一个赎回日的收益率为15.2%。清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算清算日处于两个付息日之间的到期收益率

34、计算公式：其中：P为全价；C为半年的票息支付；y为到期收益率的一半；w= ；n为票息支付的次数；Par为到期价值。例例3.7 3.7 假设有一种票息率为假设有一种票息率为10%10%的公司债券在的公司债券在20032003年年3 3月月1 1日到期。日到期。该债券的全价为该债券的全价为118.788118.788美元，清算日在美元，清算日在19971997年年7 7月月1717日。计算日。计算该债券的到期收益率。该债券的到期收益率。表表3.33.3为该债券的日期与对应现金流，计算程序的第一段有相关为该债券的日期与对应现金流，计算程序的第一段有相关数据的输出。数据的输出。 表3.3 日期与对应的

35、现金流日期日期现现金流金流(美元美元)从0.24444到10.244411.24445.00105.00 计算程序：计算程序：data ;date0=01mar1997d;date1=17jul1997d;date2=01sep1997d;days02=datdif(date0, date2, 30/360); /*美国公司债适合30/360标准 */days12=datdif(date1, date2, 30/360); n=2*(2003-1997);w=days12/days02;put days02/days12/n/w;call symput(n, n); /*创建一个值来自data

36、步的宏变量n*/call symput(w, w); /*创建一个值来自data步的宏变量w*/data a;delete;%macro a(r);data a1;p1=0;do i=1 to &n ;p1=p1+5/(1+&r)*(i-1+&w);output;end;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs;p2=100/(1+&r)*(&n-1+&w);p=p1+p2;r=200*&r;r1=100*&r;data a(drop=i);set a a1;w=&w;n=&n;%mend a;%a(0.0363);%a(0.03735);proc print d

37、ata=a;run; 计算结果：计算结果：Obs p1 p2 p r r1 w n1 49.2584 66.9691 116.227 7.26 3.630 0.24444 112 48.9940 66.2108 115.205 7.47 3.735 0.24444 11于是，当该公司债券半年期利率为3.63%时，能使其现金流的现值等于其全价118.78美元。所以这种债券的到期收益率为7.26%，即23.63%。注：上例也可以直接用注：上例也可以直接用SAS函数函数YIELD=YIELDP(100,0.1,2,12,0.12222,118.788);注意，注意，W值为和半年期相比得到的，但是在值

38、为和半年期相比得到的，但是在yieldp函数中，函数中，其计量单位以年为基本计量单位，因此现在开始到下一个付其计量单位以年为基本计量单位，因此现在开始到下一个付息日的时间间隔为息日的时间间隔为0.12222计算结果一致。计算结果一致。利用函数计算利用函数计算投资组合到期收益率计算投资组合到期收益率计算投资组合到期收益率的计算步骤：1确定投资组合中所有证券的现金流;2找出一个利率;3用第二步利率得到的现金流现值和与投资组合的市场价值进行比较；4根据第三步的比较结果决定是否重复上述计算。例例3.9 3.9 现有三种债券，假定每种债券的票息现有三种债券，假定每种债券的票息支付日相同。投资组合的市场价

39、值为支付日相同。投资组合的市场价值为5725900057259000美元。投资组合中每种债券的现金美元。投资组合中每种债券的现金流及整个投资组合的现金流由表流及整个投资组合的现金流由表3.53.5列出。列出。表3.5 三种债券投资组合的现金流时时期期债债券券A债债券券B债债券券C投投资组资组合合1350 0001 050 000900 0002 300 0002350 0001 050 000900 0002 300 0003350 0001 050 000900 0002 300 0004350 0001 050 000900 0002 300 0005350 0001 050 000900

40、 0002 300 0006350 0001 050 00030 900 00032 300 0007350 0001 050 0001 400 0008350 0001 050 0001 400 0009350 0001 050 0001 400 0001010350 0001 050 00011 400 000111 050 0001 050 000121 050 0001 050 000131 050 0001 050 0001421 050 00021 050 000%macro a(y);data a;ap1=0;do n=1 to 9 ;ap1=ap1+350000/(1+&y)*

41、n;output;end;data a;set a end=lasobs;if lasobs;ap2=10350000/(1+&y)*10;ap=ap1+ap2;data b;bp1=0;do n=1 to 13 ;bp1=bp1+1050000/(1+&y)*n;output;end;data b;set b end=lasobs;if lasobs;bp2=21050000/(1+&y)*14;bp=bp1+bp2;data c;cp1=0;do n=1 to 5 ;cp1=cp1+900000/(1+&y)*n;output;end;data c;set c end=lasobs;if

42、lasobs;cp2=30900000/(1+&y)*6;cp=cp1+cp2;%mend a;%a(0.0476966);data abc;merge a b c;p=ap+bp+cp;put p=;run;输出结果：输出结果：p=57259006.946比较得知，该投资组合的到期收益比较得知，该投资组合的到期收益率为率为9.53932%(即即24.76966%)。注：本例程序与本章开始的计算到注：本例程序与本章开始的计算到期收益率通用程序的功能相同，但期收益率通用程序的功能相同，但算法设计不同算法设计不同 其它计算其它计算浮动利率证券的贴现差额计算公式：浮动利率证券的贴现差额计算公式：浮动

43、利率=参考利率+指数利差贴现差额计算步骤：贴现差额计算步骤：1 1在假定参考利率在证券到期前保持不变的条件下在假定参考利率在证券到期前保持不变的条件下, , 计算现金流；计算现金流；2 2选出一个差额选出一个差额; ;3 3将现金流贴现将现金流贴现; ;4 4将步骤将步骤3 3计算出来的现金流现值与证券的价格作计算出来的现金流现值与证券的价格作比较比较, , 如果现金流的现值等于证券的价格如果现金流的现值等于证券的价格, , 则贴现则贴现差额等于步骤差额等于步骤2 2中假定的差额。中假定的差额。 例例3.10 3.10 假定有一假定有一6 6年期的浮动利率证券。该证券的价年期的浮动利率证券。该

44、证券的价格为格为99.309899.3098美元美元, , 按参考利率加上按参考利率加上8080个基本点个基本点( (指数指数利差利差) )向外支付，参考利率的当前值是向外支付，参考利率的当前值是10%10%。这种证券。这种证券的票息率每的票息率每6 6个月调整一次，票息率为个月调整一次，票息率为5.4%5.4%，到期价值，到期价值为为100100美元。美元。 计算步骤计算步骤1.1.票息率票息率= =（10%+0.8%10%+0.8%）/2=5.4%,/2=5.4%,2.2.按照步骤按照步骤1 1进行计算，由于不是贴水债券，则当前的进行计算，由于不是贴水债券，则当前的发行价为发行价为100.

45、100.3.3.选出利差，计算，到折现值为选出利差，计算，到折现值为99.309899.3098停止。停止。4.4.得到贴现差额。得到贴现差额。5 5。备注：从数学角度而言，这个问题没有新意，但是。备注：从数学角度而言，这个问题没有新意，但是从实务操作而言，具有优越性。从实务操作而言，具有优越性。表3.6 不同贴现差额的计算结果现现金流的金流的现值现值(美元美元)假定的年差价假定的年差价(基本点基本点)时期参考利率现金流808488961001105.45.12335.12245.12145.11955.11852105.44.86094.85904.85724.85354.85163105.

46、44.61184.60924.60664.60134.59874105.44.37554.37224.36894.36234.35905105.44.15144.14744.14354.13564.13176105.43.93873.93423.92973.92083.91637105.43.73693.73193.72703.71713.71228105.43.54543.54013.53473.52403.51869105.43.36383.35803.35233.34093.335210105.43.19143.18543.17943.16733.161311105.43.02793.0

47、2163.01533.00282.99651210105.456.072955.945455.818255.564755.4385总现值=100.00099.826999.654199.309899.1381data a ;delete;%macro a(y,z,x);data a1;do n=1 to 12 ;if n12 then p&x=5.4/(1+&y+&z)*n;else p&x=105.4/(1+&y+&z)*n;output;end;data a1;set a1;sump&x+p&x;data a;merge a a1;%mend a;%a(0.05, 0.004,80);%a

48、(0.05, 0.0042,84);%a(0.05, 0.0044,88);%a(0.05, 0.0048,96);%a(0.05, 0.005,100);proc print data=a noobs;run;计算程序：计算程序：由计算结果得出，贴现差额应为96个基本点。债券价格与必要收益率（略）债券价格与必要收益率（略）例例3.11 3.11 表表3.73.7给出了票面价值为给出了票面价值为10001000美元、必要收益率从美元、必要收益率从5%-14%5%-14%的的2020年年期、票息率为期、票息率为9%9%的债券价格。的债券价格。表3.7 必要收益率与债券价格关系债债券价格券价格(美

49、元美元)必要收益率必要收益率(%)1502.06 51346.72 61213.55 71098.96 81000.00 9 914.2010 839.5411 774.3112 717.0913 666.7114data a;delete;%macro a(y);data a1;p1=45*(1-(1/(1+&y)*40)/&y;p2=1000*(1/(1+&y)*40);p=p1+p2;y=200*&y;data a;set a a1;%mend a;%a(0.025);%a(0.03);%a(0.035);%a(0.04);%a(0.045);%a(0.05);%a(0.055);%a(

50、0.06);%a(0.065);%a(0.07);proc print data=a;run;结果：结果： Obs p1 p2 p y 1 1129.62 372.431 1502.06 5 2 1040.16 306.557 1346.72 6 3 960.98 252.572 1213.55 7 4 890.67 208.289 1098.96 8 5 828.07 171.929 1000.00 9 6 772.16 142.046 914.20 10 7 722.08 117.463 839.54 11 8 677.08 97.222 774.31 12 9 636.55 80.541

51、 717.09 13 10 599.93 66.780 666.71 14不含期权债券价格与收益率关系图：不含期权债券价格与收益率关系图：proc gplot data=a ;plot p*y=1;symbol1 v=none i=join r=1 c=black; title2 不含期权债券价格与收益率关系图不含期权债券价格与收益率关系图;labelp=价格价格y=必要收益率必要收益率;run;不含期权债券价格与收益率关系图价格6007008009001000110012001300140015001600必要收益率567891011121314债券价格时间轨迹债券价格时间轨迹例例3.12

52、列出面值为列出面值为1000美元，期限为美元，期限为20年，票息年，票息率为率为9%，必要收益率为，必要收益率为12%的债券逼近到期日时的债券逼近到期日时的债券价格情况。的债券价格情况。但是下述程序由错误，尽管结果但是下述程序由错误，尽管结果没有太大差别。没有太大差别。title2;data a;do n=40 to 0 by -2 ;p1=45*(1-(1/(1+0.06)*n)/0.06;p2=1000*(1/(1+0.06)*n);p=p1+p2;year=n/2;output;end;proc print data=a noobs;var year p1 p2 p;run;生成图表程序

53、：生成图表程序：打印列表结果：打印列表结果：Year P1 P2 P20 677.083 97.22 774.3119 668.071 109.24 777.31 1 82.503 890.00 972.500 0.000 1000.00 1000.00假定必要收益率不变的情况下假定必要收益率不变的情况下, , 债券价格时间轨迹图程债券价格时间轨迹图程序：序：data a;set a;p0=1000;proc gplot data=a ;plot p*year=1 p0*year=2/overlay;symbol1 v=none i=join r=1 c=black; symbol2 v=no

54、ne i=join r=1 c=black;title2 假定必要收益率不变的情况下，贴水债券时间轨迹假定必要收益率不变的情况下，贴水债券时间轨迹;labelp=价格价格year=剩余到期年数剩余到期年数;run;例例3.14 3.14 假设有一种票息率为假设有一种票息率为10%10%的公司债券，的公司债券，20032003年年3 3月到期，到月到期，到期价值为期价值为100100美元，清算日在美元，清算日在19971997年年7 7月月1717日，若必要收益率为日，若必要收益率为6.5%6.5%，求债券价格，求债券价格( (适用适用30/360)30/360)。 data a;delete;

55、%macro a(y);data a1;date1=17jul1997d;date2=01sep1997d;days1=datdif(date1, date2, 30/360);w=days1/180;call symput(x, w); /*创建一个值来自创建一个值来自data步的宏变量步的宏变量x*/p1=0;do n=1 to 12 ;p1=p1+5/(1+&y)*(n-1+w);output;end;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs;p2=105/(1+&y)*(12-1+&x);p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;data a;

56、set a a1;%mend a;%a(0.0325);proc print data=a;run;计算结果：p=123.51 注：可以用注：可以用SAS函数直接计算：函数直接计算：pv=pvp(100,0.1,2,12,0.1222,0.065)。函数函数PVP用法：用法：PVP(A,c,n,K,k0,y)，其中，其中A表示面表示面值，值，c表示名义年票息率，表示名义年票息率，n为年付息次数，为年付息次数，K为生为生于付息次数，于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，为现在到下一次付息日的间隔，y为为必要收益率。必要收益率。收益率与发行价收益率与发行价如果选择到期收益率为如果选择到期收益

57、率为9%，则可以发现该债券的价格适终，则可以发现该债券的价格适终为为1000，即债券为评价销售。如果到期收益率小于，即债券为评价销售。如果到期收益率小于9%，则，则成为溢价销售。其他情况为折价销售。由此，可以看出发行成为溢价销售。其他情况为折价销售。由此，可以看出发行价与到期收益率、票息率之间的关系。价与到期收益率、票息率之间的关系。贴贴水债券介绍贴贴水债券介绍 贴现债券又称贴水债券是指在票面上不规定贴现债券又称贴水债券是指在票面上不规定利率利率，发行时按，发行时按某一某一折扣率折扣率，以低于票面金额的价格发行，到期时仍按面额偿，以低于票面金额的价格发行，到期时仍按面额偿还本金的债券。即指，以

58、低于面值发行，发行价与票面金额之还本金的债券。即指，以低于面值发行，发行价与票面金额之差额相当于预先支付的利息，债券期满时按面值偿付的债券。差额相当于预先支付的利息，债券期满时按面值偿付的债券。 债券债券按付息方式分类，可分为贴现债券、按付息方式分类，可分为贴现债券、零息债券零息债券、附息债附息债券券、固定利率债券固定利率债券 、浮动利率债券浮动利率债券 在国外，在国外，贴水贴水发行的发行的折现债券折现债券有两种，分别为贴现债券和有两种，分别为贴现债券和零零息债券息债券（Zero Coupon Bonds）。）。 零息债券零息债券在国外，通常短期国库券（Treasury Bills）是到期时仅

59、以面值支付都是贴现债券。上世纪80年代国外出现了一种新的债券，它是“零息”的，即没有息票，也不支付利息。实际上，投资者在购买这种债券时就已经得到了利息。零息债券的期限普遍较长，最多可到20年。它以低于面值的贴水方式发行，投资者在债券到期日可按债券的面值得到偿付。 贴水债券的优缺点贴水债券的优缺点1、优点：购买贴现债券有利于投资者利用再投资效果增加、优点：购买贴现债券有利于投资者利用再投资效果增加资产资产运营运营的价值。的价值。 其次，其次， 即使存在收益率、期限相同的贴现债券和即使存在收益率、期限相同的贴现债券和附息债券附息债券, 在债券面额都是在债券面额都是100元的情况下元的情况下,受投资

60、者资金额的限受投资者资金额的限制制,购买贴现债券也比较合算购买贴现债券也比较合算,因为少量资金拥有者也可进入市场因为少量资金拥有者也可进入市场,也能取得同样收益率。也能取得同样收益率。 2、不足：中长期资金市场的利率走势较难判断，而贴现债券的、不足：中长期资金市场的利率走势较难判断，而贴现债券的收益是在发行时就固定的，如果做中长期的贴现债券，万一利收益是在发行时就固定的，如果做中长期的贴现债券，万一利率出现了意想不到的变化，对投资者或发行人都会产生不利的率出现了意想不到的变化，对投资者或发行人都会产生不利的影响，所以，中长期贴现债券很少使用。影响，所以，中长期贴现债券很少使用。 贴水债券中的调

61、整发行价贴水债券中的调整发行价 有前面的计算案例可知：如果是贴水发行债券，则票息率低于到期收益率，此类债券当债券临近到期日时，价格会上升。于是价格表现为一种上升的趋势。 上升的趋势来源有两点：票息和利息。为了做到平价发行债券，需要对债券的价格做调整。具体算法见课本的例题。首次发行贴水债券的债务处理过程：首次发行贴水债券的债务处理过程：1. 1. 计算年利息，即申报的毛收入，为调整后计算年利息，即申报的毛收入，为调整后的发行价格与发行时到期收益率的乘积；的发行价格与发行时到期收益率的乘积；2. 2. 计算票面利息；计算票面利息；3. 3. 计算当年摊还的发行贴水额，为年利息计算当年摊还的发行贴水

62、额，为年利息( (毛毛收入收入) )与票面利息之差；与票面利息之差；4. 4. 计算调整后的发行价格，为当年摊还的首计算调整后的发行价格，为当年摊还的首次发行贴水额与原发行价格之和。次发行贴水额与原发行价格之和。例例3.15 3.15 票息率为票息率为4%(4%(半年付一次息半年付一次息) )的的5 5年期债券，以年期债券，以76837683美元的价格发行，赎回价值为美元的价格发行，赎回价值为1000010000美元。假设该债券的到美元。假设该债券的到期收益率为期收益率为10%10%，求调整后的发行价格。，求调整后的发行价格。data a;p=7683;do n=1 to 10;year=n/

63、2;t=p*0.05;c=10000*0.02;b=t-c;p=b+p;put year= p= t= c= b=;output;end;label year=持有年限持有年限t=申报的毛收入申报的毛收入 c=票面利息票面利息b=调整的发行贴水调整的发行贴水p=调整后的发行价格调整后的发行价格; run;data b;set a; options nocenter;proc print data=b label noobs;var year t c b p;title 以持续收益法调整发行价格以持续收益法调整发行价格;title;options;run;输出结果：输出结果：持有年限持有年限 年

64、利息（毛收入）年利息（毛收入） 票面利息票面利息 当期摊还的发行贴水当期摊还的发行贴水 调整后的发行价调整后的发行价格格 0.5 384.150 200 184.150 7867.151.0 393.358 200 193.358 8060.511.5 403.025 200 203.025 8263.532.0 413.177 200 213.177 8476.712.5 423.835 200 223.835 8700.543.0 435.027 200 235.027 8935.573.5 446.779 200 246.779 9182.354.0 459.118 200 259.11

65、8 9441.474.5 472.073 200 272.073 9713.545.0 485.677 200 285.677 9999.22债券久期计算债券久期计算 久期是反映债券价格波动的一个指标。它久期是反映债券价格波动的一个指标。它对到期时间进行加权平均，权重等于各期现金对到期时间进行加权平均，权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比例。久期实流的现值占总债券现金流现值的比例。久期实际表示的是投资者收回初始投资的理论平均时际表示的是投资者收回初始投资的理论平均时间。间。久期与修正久期计算久期与修正久期计算麦考雷(Macaulay)久期的计算公式：麦考雷久期(以期间计)=麦考雷久期

66、(年)=麦考雷久期(以期间计)/k其中：PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的债券在第t期的现金流现值；n为债券持有期内现金流的期间总数；TPV为债券各期现金流的总现值;k为每年支付现金流的次数。 久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的上上升而下降，这说明两者存在反比关系。此外，在持有升而下降，这说明两者存在反比关系。此外，在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。那些分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限。那些分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由

67、于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。金融工具到期期限越长其久期也越长；付的现值要高。金融工具到期期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高，其久期越短。金融工具产生的现金流量越高，其久期越短。 到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键因素，与久期存在以下的关系：因素，与久期存在以下的关系： 1 1、零息票债券的久期等于到它的到期时间。、零息票债券的久期等于到它的到期时间。 2 2、到期日不变、到期日不变, ,债券的久期随息票据利率的降低而延长。债券的久期随息票据利率的降低

68、而延长。 3 3、息票据利率不变、息票据利率不变, ,债券的久期随到期时间的增加而增债券的久期随到期时间的增加而增加。加。 4 4、其他因素不变、其他因素不变, ,债券的到期收益率较低时债券的到期收益率较低时, ,息票债券的息票债券的久期较长。久期较长。 修正久期修正久期= =其中：其中：PVCFtPVCFt为以为以t t期对应的市场普遍收益率进行贴现期对应的市场普遍收益率进行贴现而得债券在第而得债券在第t t期的现金流现值；期的现金流现值；n n为债券持有期内现金流的期间总数；为债券持有期内现金流的期间总数；TPVTPV为债券各期现金流的总现值；为债券各期现金流的总现值；Y Y为到期收益率的

69、一半。为到期收益率的一半。久期的用途久期的用途 久期的计算就当是在算加权平均数。其中变量是时久期的计算就当是在算加权平均数。其中变量是时间，权数是每一期的现金流量，价格就相当于是权数间，权数是每一期的现金流量，价格就相当于是权数的总和（因为价格是用现金流贴现算出来的）。这样的总和（因为价格是用现金流贴现算出来的）。这样一来，久期的计算公式就是一个加权平均数的公式了，一来，久期的计算公式就是一个加权平均数的公式了，因此，它可以被看成是收回因此，它可以被看成是收回成本成本的平均时间。的平均时间。 决定久期即影响债券价格对决定久期即影响债券价格对市场利率市场利率变化的敏感性变化的敏感性包括三要素：到

70、期时间、包括三要素：到期时间、息票利率息票利率和和到期收益率到期收益率。 在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对更多地把它用来衡量债券价格变动对利率利率变化的敏感变化的敏感度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。修正久期越大，债券价变动给债券价格造成的影响。修正久期越大，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的债券券价格下降幅度就越大

71、，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。可见，同等要素条件下，修正价格上升幅度也越大。可见，同等要素条件下，修正久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能力强，但抗利率下降风险能力较弱。力强，但抗利率下降风险能力较弱。 债券组合的久期计算公式：债券组合的久期计算公式：债券组合的久期=其中：债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重；债券i的修正久期； 债券组合中债券的个数。例例3.16 3.16 面值为面值为100100美元，票息率为美元，票息率为10%10%的的5 5年期债券年期债券, , 收益率收益率为为10%, 10%, 计算久期

72、计算久期( (以年计以年计) )及修正久期。及修正久期。data a;c2=0;tc2=0;do n=1 to 10;t=n;if n10 then c=5 ;else if n=10 then c=105 ;a=1/(1+0.05)*n);c1=c/(1+0.05)*n);tc1=t*c1;c2=c2+c/(1+0.05)*n);tc2=tc2+t*c/(1+0.05)*n);if n=10 then d=tc2/(c2*2); md=d/(1+0.05);output;end;data b;set a;drop c2 tc2 n;labelt=时间时间 c=现金流现金流a=1美元的现值美元

73、的现值 c1=现金流的现值现金流的现值 tc1=t*pvcf d=久期久期(以年计以年计)md=修正久期修正久期;proc print data=b label noobs;title 久期及修正久期久期及修正久期;var d md;run; 输出结果：久期(以年计) 修正久期4.05391 3.86087注：修正久期可直接用注：修正久期可直接用SAS函数计算：函数计算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函数函数DURP用法：用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中，其中A表表示面值，示面值，c表示名义年票息率，表示名义年票息率，n为年付息次数，为

74、年付息次数，K为生于付息次数，为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，为现在到下一次付息日的间隔，y为收益率。为收益率。例例3.19 3.19 面值为面值为100100美元，票息率为美元，票息率为10%10%，到期收益率为，到期收益率为10%10%的的5 5年期债券，以平价出售，计算久期。年期债券，以平价出售，计算久期。%macro d(i,y,p);data a;x=100*(&i/2)*(1-1/(1+&y/2)*10)/(&y/2);h=x/&p;d=(1+(&y/2)/(&y/2)*h+(&y/2)-(&i/2)/(&y/2)*10*(1-h);put d=;%mend d(i

75、,y,p);%d(0.10,0.10,100);run;输出结果：d=8.1078216756修正久期的近似计算修正久期的近似计算 近似久期=其中：V-为收益率下降 证券的估计价格；V+为收益率上升 证券的估计价格；V0为证券初始价格； 为证券收益率的变化。例例3.20 3.20 票息率为票息率为7%7%，到期收益率为，到期收益率为10%10%的的2020年期债券，年期债券，以以74.2674.26美元的价格出售，收益率上升或下降美元的价格出售，收益率上升或下降2020个基本个基本点的价格变化如下所示，试计算近似修正久期。点的价格变化如下所示，试计算近似修正久期。V-= 75.64468623

76、V+= 72.917291682V0= 74.261370469 =0.002(半年变化10个基本点)收益率上升或下降收益率上升或下降2020个基本点的债券初始价格计算程序：个基本点的债券初始价格计算程序：data a;delete;%macro a(n,y,cupon,par);data a1;p1=0;%do i=1 %to &n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)*&i;output;%end;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs;p2=&par/(1+&y)*&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;data a;set

77、 a a1;put p=;%mend a;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183近似久期计算程序：近似久期计算程序：%macro md(Vu,Vd,V,y);data a;md=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);put md=;%mend md;%md(75.64,72.92,74.26,0.002);run;输出结果：MD=9.15701589结果接近精确值md=9.1802370384精确值计算程

78、序：精确值计算程序：%macro d(y,cupon,period,p0);data a;c2=0;tc2=0;do n=1 to .t=n;if n&period then c=&cupon;else if n=&period then c=&cupon+&p0;a=1/(1+&y)*n);c1=c/(1+&y)*n);tc1=t*c1;c2=c2+c/(1+&y)*n);tc2=tc2+t*c/(1+&y)*n);if n=&period thend=tc2/(c2*2);md=D/(1+&y);put d= md= ;output;drop n tc2 c2;end;%me

79、nd d;%d(0.05,3.5,40,100) ;run;输出结果为：md=9.1802370384债券的凸度债券的凸度凸性是指在某一凸性是指在某一到期收益率到期收益率下下,到期收益率发生变动而引起的到期收益率发生变动而引起的价价格格变动幅度的变动程度。凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一变动幅度的变动程度。凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸性的出现是为了弥补种度量。凸性的出现是为了弥补久期久期本身也会随着本身也会随着利率利率的变化的变化而变化的不足。因为在利率变化比较大的情况下久期就不能完而变化的不足。因为在利率变化比较大的情况下久期就不能完全描述全描述债券价格债券价格对利率变动的敏感

80、性。凸性越大对利率变动的敏感性。凸性越大,债券价格曲线债券价格曲线弯曲程度越大弯曲程度越大,用修正久期度量债券的用修正久期度量债券的利率风险利率风险所产生的误差越所产生的误差越大。大。 修正久期度量了修正久期度量了收益率收益率与债券价格的近似线性关系与债券价格的近似线性关系,即到期即到期收益率变化时债券价格的稳定性。在同等要素条件下收益率变化时债券价格的稳定性。在同等要素条件下,修正久期修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险风险能力强能力强,但抗利率但抗利率下降风险能力较弱。下降风险能力较弱。 可以通过一种简单的情形来解释。可以通过一种简单的情形来

81、解释。凸度凸度久期描述了价格久期描述了价格-收益率曲线收益率曲线的斜率，凸性描述了曲线的弯曲的斜率，凸性描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格对程度。凸性是债券价格对收益率收益率的二阶导数。是对债券久期的二阶导数。是对债券久期利率敏感性的测量。在价格收益率出现大幅度变动时，它利率敏感性的测量。在价格收益率出现大幅度变动时，它们的波动幅度呈非线性关系。由持久期作出的们的波动幅度呈非线性关系。由持久期作出的预测预测将有所偏将有所偏离。凸性就是对这个偏离的修正。离。凸性就是对这个偏离的修正。 凸性的性质凸性的性质 1、凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利、凸性随久期的增加而增加。若收益率

82、、久期不变，票面利 率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。 2、对于没有隐含、对于没有隐含期权期权的债券来说，凸性总大于的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。下降。 3、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效降以减速度上升，或债券的有效持续期持续期随利率的下降而缩短，随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时随利率的上升而

83、延长。因为利率下降时买入期权买入期权的可能性增加的可能性增加了。了。 凸性的作用凸性的作用凸性度量的是债券价格与利率之间的变化强弱（加速度）的大小，反映了债券价格对于利率因素的反应灵敏程度。相同的产品，可能其到期收益率一致，债券价格一致，但是由于现金流的派付方式不同，可以导致不同的凸性。由于未来利率变动的不确定性，因此有必要对于产品的凸性进行定价或指定政策进行监管。凸性的作用（续）凸性的作用（续） 市场中的债券价格果真有反应出债券凸性的价值吗？市场中的债券价格果真有反应出债券凸性的价值吗？Kahn and Lochoff(1990)使用使用1981年至年至1986年的美国公债为年的美国公债为样

84、本样本，发现债券凸性在某些情况下会给投资人带来超额投资报酬，也发现债券凸性在某些情况下会给投资人带来超额投资报酬，也就是说即使投资人以较高的价格购入具有高债券凸率的债券，就是说即使投资人以较高的价格购入具有高债券凸率的债券，其投资报酬仍然要比投资于低凸率债券为佳，这显示出其投资报酬仍然要比投资于低凸率债券为佳，这显示出交易市交易市场场对于债券凸性的定价并不正确，因此存在有超额获利空间。对于债券凸性的定价并不正确，因此存在有超额获利空间。Lacey and Nawalkha(1993)则提出了不同的结论。这两位学则提出了不同的结论。这两位学者以者以1976到到1987年的美国公债为样本作分析，结

85、果并未发现年的美国公债为样本作分析，结果并未发现高债券凸性会带给投资人超额的报酬，表示其已被市场正确的高债券凸性会带给投资人超额的报酬，表示其已被市场正确的定价。定价。 凸性在国内的应用情况凸性在国内的应用情况 国内的国内的研究结果发现，债券凸性在解释国内公债超额报酬研究结果发现，债券凸性在解释国内公债超额报酬的能力上并不显著，再度验证国内的能力上并不显著，再度验证国内公债市场公债市场投资人对于债券凸投资人对于债券凸性并未做出合理定价，这表示市场投资人或可针对债券凸性找性并未做出合理定价，这表示市场投资人或可针对债券凸性找出出套利套利机会。机会。 在这个方面有很多未尽的问题值得研究，比如考虑了

86、债券在这个方面有很多未尽的问题值得研究，比如考虑了债券凸度的债券定价体系等问题。在已有的国外文献中已有人提出凸度的债券定价体系等问题。在已有的国外文献中已有人提出有关的公式，但是此类问题往往没有固定的、唯一的答案有关的公式，但是此类问题往往没有固定的、唯一的答案。 债券凸度计算债券凸度计算凸度凸度(分期限计算分期限计算)= 凸度凸度(按年计算按年计算)=凸度凸度(分期限计算分期限计算)/零票息债券的凸度零票息债券的凸度=其中：其中：PVCFt为以第为以第t期对应的收益率贴现得到的第期对应的收益率贴现得到的第t期现金流现值；期现金流现值；n为总的时期数；为总的时期数；Y为到期收益率的一半；为到期

87、收益率的一半；PVTCF为以到期收益率贴现得到的各期现金流总现值；为以到期收益率贴现得到的各期现金流总现值； 为每年付息的次数。为每年付息的次数。例例3.21 3.21 假设面值为假设面值为100100美元，美元，5 5年期的票息率为年期的票息率为8%8%的债券的债券, , 每半年付息。假设该债券的初始收益率为每半年付息。假设该债券的初始收益率为10%10%，计算该债券，计算该债券的凸度。的凸度。%macro d(y,cupon,period,p0); data a; c2=0; tc2=0; do n=1 to . t=n; if n&period then c=&cupon;

88、 else if n=&period then c=&cupon+&p0; a=1/(1+&y)*n); c1=c/(1+&y)*n); tc1=t*(t+1)*c1; c2=c2+c/(1+&y)*n); tc2=tc2+t*(t+1)*c/(1+&y)*n); if n=&period then concave=tc2/(c2*(1+&y)*2);yearlyconcave=concave/4; put concave= ;put yearlyconcave=;output; drop n tc2 c2; end; proc print data=a; %mend d; %d(0.05,4

89、,10,100) ;run;计算结果：凸度(以半年记)concave=78.29424228凸度(以年计)yearlyconcave=19.57356057注：也可以用注：也可以用SAS函数直接计算：函数直接计算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);函数函数convxp的用法：的用法：CONVXP(A,c,n,K,k0,y)，其中，其中A表示面值，表示面值，c表示名义年票息率，表示名义年票息率，n为年付息次数，为年付息次数，K为生于付息次数，为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，为现在到下一次付息日的间隔，y为收益率。为收益率。例例3.22 3.2

90、2 假设面值为假设面值为100100美元，美元，5 5年期的零息票债券，年收年期的零息票债券，年收益率为益率为10%10%，计算凸度。，计算凸度。%macro concave(n,y);data a;concave=&n*(&n+1)/(1+&y)*2);put concave=;%mend concave;%concave(10,0.05);run;计算结果：凸度concave=99.77324263计算凸度引起的价格变化计算凸度引起的价格变化 凸度引起价格变化百分比的估计值= 例例3.24 3.24 面值为面值为100100美元，期限为美元，期限为1515年的票息率为年的票息率为8%8%的

91、债的债券，每半年付息，其初始收益率为券，每半年付息，其初始收益率为10%10%。若收益率由。若收益率由10%10%增长到增长到13%13%，计算凸度引起的价格变化。，计算凸度引起的价格变化。 首先计算年凸度：只需要将上面凸度计算程序中的宏参数值改为%d(0.05,4,30,100) 即可求得年凸度为94.3571。 %macro vp(x,y);data a;caused=0.5*&x*(&y*2)*100;put caused =%;%mend vp;%vp(94.3571,0.03);run;计算结果：凸度引起的价格变化为caused=4.2460695 % 美元凸度美元凸度 美元凸度=凸

92、度初始价格.为确定美元引起的价格变化幅度，可以利用以下公式：凸度解释的价格变化幅度=例例3.25 3.25 期限为期限为1515年的票息率为年的票息率为8%8%的债券，收益率为的债券，收益率为10%10%，计算每计算每100100美元面值债券的美元凸度。美元面值债券的美元凸度。首先计算凸度和初始价格：凸度=94.36 初始价格= 84.627548973凸度前面已经计算过，初始价格的计算程序为：data a;delete;%macro a(n,y,cupon,par);data a1;p1=0;%do i=1 %to &n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)*&i;output;

93、%end;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs;p2=&par/(1+&y)*&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;data a;set a a1;%mend a;%a(30,0.05,0.04,100);put p=;run;计算的初始价格为p=84.627548973计算美元凸度程序：计算美元凸度程序：%macro anlaye(x,y ,p );data a;concave=&x*&p;vp=0.5*concave*(&y*2);put concave=;put vp=;%mend anlaye;%anlaye(94.36,0.01

94、 , 84.627548973 );%anlaye(94.36,0.02 , 84.627548973);run;计算结果：计算结果：美元凸度美元凸度concave=7985.4555211100基点的价格变化基点的价格变化vp=0.3992727761200基点的价格变化vp=1.5970911042近似凸度近似凸度 近似凸度=其中：V-为收益率下降 证券的估计价格；V+为收益率上升 证券的估计价格；V0为证券初始价格； 为证券收益率的变化。例例3.26 3.26 面值为面值为100100美元，期限为美元，期限为2020年，票息率为年，票息率为7%7%的债券，到的债券，到期收益率为期收益率为

95、10%10%，假设发生，假设发生2020个基点的变化，计算凸度。个基点的变化，计算凸度。已知条件：V-=75.64 V+=72.92 V0=74.26 =0.002%macro concave(Vu,Vd,V,y);data a;yearlyconcoave=(&vu+&vd-2*&v)/(&v*(&y*2);put yearlyconcoave=;%mend concave;%concave(75.64,72.92,74.26,0.002);run;计算结果：concoave=134.66199838精确计算凸度(以年计)yearlyconcave =132.077精确计算凸度的程序：%ma

96、cro d(y,cupon,period,p0); data a; c2=0; tc2=0; do n=1 to . t=n; if n&period then c=&cupon; else if n=&period then c=&cupon+&p0; a=1/(1+&y)*n); c1=c/(1+&y)*n); tc1=t*(t+1)*c1; c2=c2+c/(1+&y)*n); tc2=tc2+t*(t+1)*c/(1+&y)*n); if n=&period then concave=tc2/(c2*(1+&y)*2);yearlyconcave=concave/4; p

97、ut concave= ;put yearlyconcave=;output; drop n tc2 c2; end; proc print data=a; %mend d; %d(0.05,3.5,40,100) ;run;结果：精确计算凸度(以年计)yearlyconcave =132.077抵押支持债券贷款利率计算抵押支持债券贷款利率计算例例3.27 3.27 一宗一宗4 4年期抵押贷款，设未来年期抵押贷款，设未来5 5年每年的贷年每年的贷款利率分别为款利率分别为8%8%，10%10%，12%12%，13%13%，11%11%。计算抵押。计算抵押贷款利率。贷款利率。data a;I=(1

98、+0.08)*(1+0.1)*(1+0.12)*(1+0.13)*(1+0.11)*0.2-1;Put I=;run;抵押贷款利率I=0.1078658绩效衡量绩效衡量债券组合的到期收益率债券组合的到期收益率其中：Rp为组合到期收益率；V1为期末组合市价；V0为期初组合市价；D为评估期内组合对客户的现金分配。 例例3.28 3.28 一个债券投资组合期初与期末市场价格分别为一个债券投资组合期初与期末市场价格分别为1 1亿美元和亿美元和1.121.12亿美元，在评估期内分给投资人亿美元，在评估期内分给投资人500500万美万美元的利息收入。元的利息收入。收益率计算：%macro r(v1,v0,

99、d);data;r=(&v1-&v0+&d)/&v0;put r=;%mend r(v1,v0,d);%r(112000000,100000000,5000000);run;计算结果： r=0.17例例3.29 3.29 第第1 1至至4 4月的组合子期收益率分别为月的组合子期收益率分别为12%12%，25%25%，-15%-15%和和-2%-2%，则月平均收益率为，则月平均收益率为5%5%。 算术平均时序收益率程序：%macro r(r1,r2,r3,r4,n);data a;r=(&r1+&r2+&r3+&r4)/&n;put r=;%mend R(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.

100、12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;计算结果：r=0.05几何平均时序收益率程序：几何平均时序收益率程序：%macro r(r1,r2,r3,r4,n);data a;r=(&r1+1)*(&r2+1)*(&r3+1)*(&r4+1)*(1/&n)-1;put r=;%mend R(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;计算结果：r=0.039185933 美元权重收益率美元权重收益率美元权重收益率就是内生收益率。例例3.30 3.30 一个一个7 7月初市价为月初市价为100 000100 000美元的组合，美元的组合

101、，7979月月每月抽回资金每月抽回资金5 0005 000美元，没有客户的追加现金投入，美元，没有客户的追加现金投入，9 9月底组合市价为月底组合市价为110 000110 000美元。美元。计算程序：data;do n=0.07 to 0.10 by 0.001;p=5000/(1+n)+5000/(1+n)*2)+115000/(1+n)*3);r=n;if abs(p-100000)100 then put p= r=;end;run;计算结果：p=99941.704989 r=0.081算术平均收益率算术平均收益率 算术平均收益率计算简单，不同时间段的权重都相同。算术平均收益率指标有时

102、不太合理，会产生误解，参考下面例子。 例3.31 一年中,前四个月的收益情况分别是一月50，二月50，三月50，四月50。如果只关注这四个月的投资收益情况，算术平均收益率=(50505050)/40。换句话说，平均收益率是0。但是看一下数据会知道，在这四个月中该投资者是亏损的。所以，算术收益率带来的是错误的结论。如果在十二月底投资$1,000,000，根据前四个月收益数据，四月底的资本剩余为$562,500，计算公式如下：算术平均收益率存在的问题可以由几何平均收益率解决。 几何平均收益率几何平均收益率实际中几何收益率常常有两种形式：价值加权实际中几何收益率常常有两种形式：价值加权(value-

103、weighted)(value-weighted)几何平均，几何平均，时间加权时间加权(time-weighted)(time-weighted)几何平均。几何平均。价值加权收益率价值加权收益率( (或者称作美元加权收益率或者称作美元加权收益率 dollar-weighted rate of dollar-weighted rate of return)return)，是在一系列现金流中找到一个公共的收益率。，是在一系列现金流中找到一个公共的收益率。一般情况下，可以用下面的公式计算收益率一般情况下，可以用下面的公式计算收益率r r： 这里这里 是在是在t t时刻来自证券组合的净现金流量时刻来自

104、证券组合的净现金流量( (收益现金流减去支收益现金流减去支出现金流出现金流) )，t=1,t=1,.T.T。 是组合一开始的市场价值。是组合一开始的市场价值。 是结束时是结束时刻的市场价值。刻的市场价值。例例3.32 3.32 分别计算下面两个投资的价值加权和时间加权收益率。分别计算下面两个投资的价值加权和时间加权收益率。1. 1. 起始投资额为起始投资额为50(50(即投资组合起始时的市场价值为即投资组合起始时的市场价值为50)50)；一；一年后，投资组合的价值为年后，投资组合的价值为100100。首先计算年度价值加权收益率，以 表示： 解为 100。现在计算年度时间加权收益率，以 表示，则

105、： 2. 2. 起始投资额为起始投资额为5050；六个月后，净现金流为；六个月后，净现金流为25(25(现金现金流出流出) )，一年后投资组合的价值为，一年后投资组合的价值为100100。首先计算年度价值加权收益率，以 表示：解为 40.69。现在计算年度时间加权收益率，以 表示，则：其中 和 分别是前六个月和后六个月的时间加权收益率。于是，得到年度时间加权收益率 为： 例例3.33 3.33 第第1 1至至4 4月的组合子期收益率分别为月的组合子期收益率分别为12%12%，25%25%，-15%-15%和和-2%-2%，则月平均收益率为，则月平均收益率为5%5%。算术平均时序收益率程序：%m

106、acro r(r1,r2,r3,r4,n);data a;r=(&r1+&r2+&r3+&r4)/&n;put r=;%mend R(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;计算结果： r=0.05时间加权几何平均时序收益率程序：%macro r(r1,r2,r3,r4,n);data a;r=(&r1+1)*(&r2+1)*(&r3+1)*(&r4+1)*(1/&n)-1;put r=;%mend R(r1,r2,r3,r4,n);%r(0.12,0.25,-0.15,-0.02,4);run;计算结果：r=0.039185933变化利率

107、的定价方法变化利率的定价方法data;delete;run;data x1;do i=1 to 10;r=1+i/100;lnr=log(r);output;end;run;data x2;set x1;sumlogr+lnr;prodlogr=1/exp(sumlogr);run;data x3;c=5;par=100;set x2 end=lastobs;coup=c*prodlogr;totalcoup+coup;if lastobs then price=totalcoup+par*prodlogr;put price=;run;结果以及作业结果以及作业price=99.6903622

108、54NOTE: 从数据集从数据集 WORK.X2 读取了读取了 10 个观测。个观测。NOTE: 数据集数据集 WORK.X3 有有 10 个观测和个观测和 10 个变量。个变量。NOTE: “DATA 语句语句”所用时间（总处理时间）所用时间（总处理时间）: 实际时间实际时间 0.03 秒秒 CPU 时间时间 0.03 秒秒如何设计一个程序，对于给定的债券，当其付息期内的利如何设计一个程序，对于给定的债券，当其付息期内的利率结构已知，为一个数据集的形式给出，可以直接通过调率结构已知，为一个数据集的形式给出，可以直接通过调用带参数的宏算出该债券的初始价格。用带参数的宏算出该债券的初始价格。二叉

109、树定价模型二叉树定价模型第1年利率二叉树状结构如下：其中：为1年期远期利率的波动率，本节假设为10%；r1,L为第1年年末较低的1年期远期利率；r1,H为第1年年末较高的1年期远期利率；e为自然对数的底数(2.71828)。 r0r1, H=e2r1, Lr1, L不含期权债券的二叉树定价模型不含期权债券的二叉树定价模型例例3.34 3.34 有一票息率为有一票息率为5.25%5.25%的还有的还有3 3年到期的不年到期的不含权的债券，到期价格为含权的债券，到期价格为100100美元，利率结构为：美元，利率结构为：r0=3.5%, r1=4.074%, r2=4.53%r0=3.5%, r1=

110、4.074%, r2=4.53%。计算债券的初。计算债券的初始价格始价格。债券的初始价格为p=101.85163205程序程序/* 3.4.1 不含期权债券的二叉树定价模不含期权债券的二叉树定价模型型*/%macro p(r0,r1,r2,c,d);data a;p2h=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828*(2*&d);p2l=(&c+100)/(&r2+1); p2=(p2h+p2l)/2;p1h=(&c+p2)/(1+&r1*(2.71828*(2*&d);p1l=(&c+p2)/(1+&r1); p1=(p1h+p1l)/2;p0h=(p1+&c)/(1+&r0*2.718

111、28*(2*&d); p0l=(p1+&c)/(1+&r0);p0=(p0h+p0l)/2;put p0=;%mend p;%p(0.035,0.04074,0.0453,5.25,0.1);run;作业作业 上述程序的最大缺点在于只能对于给定的付息期进行计算。如果是变化的付息期则无法处理。当然，如果随机利率过于复杂或者利率之间的结构过于负责，则问题无法处理。但是可以做一些简单的新尝试：1.假设每期的利率结构一致，即利率为独立同分布的二项分布，则如何计算任给一个付息期的债券的定价问题。加入票息和面值皆为已知。能否给出各期的债券价格？2.假设每期的利率结构一致，为0.1,0.5上的均匀分布，则如

112、何计算器债券价格，假设面值为100,票息为5，共3期。V=100.689C=5.25rLL=4.530%V=99.732C=5.25rhL=5.532%V=98.588C=5.25rHH=6.757%V=100C=5.25V=100C=5.25V=100C=5.25V=100C=5.25V=101.851C=0r0=3.500%V=99.461C=5.25rH=4.976%V=100.872C=5.25rL=4.074%NHNHHNLNNHLNLLNHHHNHHLNHLLNLLL图3.1 不含期权债券的二叉树定价图下述图形是不正确的下述图形是不正确的验证程序验证程序225 data new;2

113、26 a=102.1761;227 r1=0.035;228 r2=0.04074;229 r3=0.0453;230 vv=2.7188*0.2;231 p1=a*(1+(1+vv)*r1/2)-5.25;232 p2=p1*(1+(1+vv)*r2/2)-5.25;233 p3=p2*(1+(1+vv)*r3/2)-5.25;234 put p3=;235 run;p3=100.00631997NOTE: 数据集数据集 WORK.NEW 有有 1 个观个观测和测和 8 个变量。个变量。NOTE: “DATA 语句语句”所用时间（总处所用时间（总处理时间）理时间）: 实际时间实际时间 0.0

114、3 秒秒 CPU 时间时间 0.03 秒秒 data new;237 a=101.851;238 r1=0.035;239 r2=0.04074;240 r3=0.0453;241 vv=2.7188*0.2;242 p1=a*(1+(1+vv)*r1/2)-5.25;243 p2=p1*(1+(1+vv)*r2/2)-5.25;244 p3=p2*(1+(1+vv)*r3/2)-5.25;245 put p3=;246 run;p3=99.635536056NOTE: 数据集数据集 WORK.NEW 有有 1 个个观测和观测和 8 个变量。个变量。NOTE: “DATA 语句语句”所用时间（

115、总所用时间（总处理时间）处理时间）: 实际时间实际时间 0.03 秒秒 CPU 时间时间 0.03 秒秒内含买权债券的二叉树定价模型内含买权债券的二叉树定价模型例例3.35 3.35 票息率为票息率为5.25%5.25%的还有的还有3 3年到期的可回收债券，年到期的可回收债券，一年以后可以一年以后可以100100美元的价格回收，利率结构为：美元的价格回收，利率结构为：r0=3.5%, r1=4.074%, r2=4.53%r0=3.5%, r1=4.074%, r2=4.53%。计算债券的初始。计算债券的初始价值及买权价格。价值及买权价格。 内含买权的债券的定价程序内含买权的债券的定价程序da

116、ta;delete;run;%macro p(k,r0,r1,r2,c,d,par);data a;p2h=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828*(2*&d);p2l=(&c+100)/(&r2+1); p2=(p2h+p2l)/2;p1h=(&c+p2)/(1+&r1*(2.71828*(2*&d);p1l=(&c+p2)/(1+&r1); p1=(p1h+p1l)/2;p0h=(p1+&c)/(1+&r0*2.71828*(2*&d); p0l=(p1+&c)/(1+&r0);p0=(p0h+p0l)/2;p3=∥put p3= p2= p1= p0=;cp3=min(

117、p3,&k);cp2=(min(p3,&k)+&c)/(1+&r2*2.71828*(2*&d)+(min(p3,&k)+&c)/(1+&r2)/2;cp1=(min(p2,&k)+&c)/(1+&r1*2.71828*(2*&d)+(min(p2,&k)+&c)/(1+&r1)/2;cp0=(min(p1,&k)+&c)/(1+&r0*2.71828*(2*&d)+(min(p1,&k)+&c)/(1+&r0)/2;prcall=p0-cp0;put cp3= cp2= cp1= cp0= prcall=;%mend p;%p(100,0.035,0.04074,0.0453,5.25,0.

118、1,100);run;结果结果 p3=100 p2=100.21033931 p1=100.89672866 p0=102.17615362cp3=100 cp2=100.21033931 cp1=100.69549141 cp0=101.31296842 prcall=0.8631852002NOTE: 数据集 WORK.A 有 1 个观测和 15 个变量。NOTE: “DATA 语句”所用时间（总处理时间）: 实际时间 0.01 秒 CPU 时间 0.01 秒V=100C=5.25rLL=4.530%V=99.732C=5.25rhL=5.532%V=98.588C=5.25rHH=6.7

119、57%V=100C=5.25V=100C=5.25V=100C=5.25V=100C=5.25V=101.432C=0r0=3.500%V=99.461C=5.25rH=4.976%V=100C=5.25rL=4.074%NHNHHNLNNHLNLLNHHHNHHLNHLLNLLL图3.2 内含期权债券的二叉树定价图(买权)内含卖权的债券的定价内含卖权的债券的定价卖权的权利方在投资人，发行人具有一种履行合约的义务。定价的要旨在于对双方而言都是公平的。定价的关键同前面一样，要衡量出这种权益给权利方所带来 的收益是多少。如果沿用前面的思路，则我们的编程和课本也是不一样的。程序以及结果程序以及结果d

120、ata;delete;run;%macro p(k,r0,r1,r2,c,d,par);data a;p2h=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828*(2*&d);p2l=(&c+100)/(&r2+1); p2=(p2h+p2l)/2;p1h=(&c+p2)/(1+&r1*(2.71828*(2*&d);p1l=(&c+p2)/(1+&r1); p1=(p1h+p1l)/2;p0h=(p1+&c)/(1+&r0*2.71828*(2*&d); p0l=(p1+&c)/(1+&r0);p0=(p0h+p0l)/2;p3=∥put p3= p2= p1= p0=;cp3=min

121、(p3,&k);cp2=(max(p3,&k)+&c)/(1+&r2*2.71828*(2*&d)+(max(p3,&k)+&c)/(1+&r2)/2;cp1=(max(p2,&k)+&c)/(1+&r1*2.71828*(2*&d)+(max(p2,&k)+&c)/(1+&r1)/2;cp0=(max(p1,&k)+&c)/(1+&r0*2.71828*(2*&d)+(max(p1,&k)+&c)/(1+&r0)/2;prcall=p0-cp0;put cp3= cp2= cp1= cp0= prcall=;%mend p;%p(100,0.035,0.04074,0.0453,5.25,0

122、.1,100);run;结果比较结果比较以下是假定敲定价为100的结果p3=100 p2=100.21033931 p1=100.89672866 p0=102.17615362cp3=100 cp2=100.21033931 cp1=100.89672866 cp0=102.17615362 prcall=1.421085E-14NOTE: 数据集 WORK.A 有 1 个观测和 15 个变量。NOTE: “DATA 语句”所用时间（总处理时间）: 实际时间 0.01 秒 CPU 时间 0.00 秒以下是假定敲定价为110的结果p3=100 p2=100.21033931 p1=100.89

123、672866 p0=102.17615362cp3=100 cp2=103.06669102 cp1=103.56567169 cp0=104.20074899 prcall=-2.024595372NOTE: 数据集 WORK.A 有 1 个观测和 15 个变量。NOTE: “DATA 语句”所用时间（总处理时间）: 实际时间 0.00 秒 CPU 时间 0.00 秒利率的影响利率的影响大家可能对债券的价格高于面值感到奇怪，其原因在于到期收益率在随机的情况下，其均值小于票息率。%p(103,0.055,0.05074,0.0553,5.25,0.1,100);其结果如下：p3=100 p2=

124、99.162748501 p1=98.84508962 p0=98.105398447cp3=100 cp2=101.98924015 cp1=102.47772523 cp0=102.0212329 prcall=-3.915834453NOTE: 数据集 WORK.A 有 1 个观测和 15 个变量。NOTE: “DATA 语句”所用时间（总处理时间）: 实际时间 0.01 秒 CPU 时间 0.00 秒内含期权债券的有效久期和凸度内含期权债券的有效久期和凸度本部分介绍利用二叉树模型计算内含期权本部分介绍利用二叉树模型计算内含期权债券的有效久期和有效凸度。债券的有效久期和有效凸度。 久期是

125、利率风险的量度。在假设未来预期现金流不随利率变化的条件下，修正久期反映的是债券价格对利率变化的敏感度。 任何公式债券的久期都可用下面公式：久期近似值= 其中：V- 为收益率下降 证券的估计价格；V+ 为收益率上升 证券的估计价格；V0 为证券初始价格； 为证券收益率的变化。同样，任何公式债券的凸度都可用下面公式：有效凸度= 其中：V- 为收益率下降 证券的估计价格；V+ 为收益率上升 证券的估计价格；V0 为证券初始价格； 为证券收益率的变化。 若公式中用的变量不随收益率的变化而变化，则得出来的凸度是不含期权债券凸度的近似值。当公式中的价格随收益率的变化而变化时，计算所得的凸度称为有效凸度(E

126、ffective Convexity)或期权调整凸度(Optional-adjusted Convexity)。 利用二叉树模型计算有效久期和有效凸度公式中变利用二叉树模型计算有效久期和有效凸度公式中变量值的求解方法量值的求解方法：确定V+的值：1计算债券的期权调整价差(OAS)；2将债券的收益率曲线进行小幅度的平行上移；3根据移动后的收益率曲线构造一个利率二叉树；4将利率二叉树上的各远期利率加上OAS，构造一个调整后的二叉树；5用新的利率二叉树模型确定证券的价值V+。V-值的确定与V+值相同，只不过在第2步将债券的收益率曲线进行小幅度的平行下移。例例3.37 3.37 条件如例条件如例3.3

127、33.33所列：票息率为所列：票息率为5.25%5.25%，3 3年到期，年到期，一年以后可以一年以后可以100100美元的价格回收，利率结构为：美元的价格回收，利率结构为：r0=3.5%, r1=4.074%, r2=4.53%r0=3.5%, r1=4.074%, r2=4.53%。 于是，于是，V0V0为为101.432101.432美元，收益率曲线上升和下降美元，收益率曲线上升和下降1010个基本点时，得到个基本点时，得到V-V-和和V+V+的值分别为的值分别为101.628101.628美元和美元和101.234101.234美元。试计算有效美元。试计算有效久期和有效凸度。久期和有效

128、凸度。 此处假设市场对该债券的定价是合理的，即计算的理论价格101.432，因此OAS为0。直接在例3.33利率二叉树图的基础上，将每个节点的远期利率各或减0.1%(即10个基本点)得出相应债券的估计价格如下：V+=101.21845951V0=101.43021083V-=101.64278786相应计算程序：%macro p(r0,r1,r2,c,d);data a;p2hh=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828*(4*&d);p2hh=min(p2hh,100);p2hl=(&c+100)/(1+&r2*(2.71828*(2*&d);p2hl=min(p2hl,100);p

129、2ll=(&c+100)/(&r2+1);p2ll=min(p2ll,100);p1h=(&c+p2hh)/(1+&r1*(2.71828*(2*&d)+(&c+p2hl)/(1+&r1*(2.71828*(2*&d)/2;p1h=min(p1h,100);p1l=(&c+p2hl)/(1+&r1)+(&c+p2hl)/(&r1+1)/2;p1l=min(p1l,100);p=(p1h+&c)/(1+&r0)+(p1l+&c)/(1+&r0)/2;put p=;%mend p;%mend p;%p(0.036,0.04174,0.0463,5.25,0.1);%p(0.035,0.04074,

130、0.0453,5.25,0.1);%p(0.034,0.03974,0.0443,5.25,0.1);run;有效久期计算程序：%macro ed(Vu,Vd,V,y);data a;ed=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);put ed=;%mend ed;%ed(101.64278786, 101.21845951, 101.43021083,0.001);run;有效久期ed=2.091725663有效凸度计算程序：%macro concave(Vu,Vd,V,y);data a;concave=(&vu+&vd-2*&v)/(&v*(&y*2);put concave=;%mend

131、 concave;%concave(101.64278786, 101.21845951, 101.43021083,0.001);run;有效凸度concave=8.1406712385贴水债券介绍贴水债券介绍 债券债券按付息方式分类，可分为贴现债券、按付息方式分类，可分为贴现债券、零息债券零息债券、附息债附息债券券、固定利率债券固定利率债券 、浮动利率债券浮动利率债券 。 贴现债券又称贴水债券是指在票面上不规定贴现债券又称贴水债券是指在票面上不规定利率利率，发行时按某一发行时按某一折扣率折扣率，以低于票面金额的价格发行，以低于票面金额的价格发行，到期时仍按面额偿还本金的债券。即指，以低于面

132、值到期时仍按面额偿还本金的债券。即指，以低于面值发行，发行价与票面金额之差额相当于预先支付的利发行，发行价与票面金额之差额相当于预先支付的利息，债券期满时按面值偿付的债券。息，债券期满时按面值偿付的债券。 在国外，贴水债券包括短期国库券和零息债券。贴水债券优点贴水债券优点 优点：购买贴现债券有利于投资者利用再投资效果增加优点：购买贴现债券有利于投资者利用再投资效果增加资产资产运营运营的价值。的价值。 首先由于贴现债券是以较低的价格购买高面额的债券首先由于贴现债券是以较低的价格购买高面额的债券,以及以及预定付息的原因预定付息的原因,相比附息债券相比附息债券,投资者无形中就节省了一部分投投资者无形

133、中就节省了一部分投资资,节省部分可以用来再投资节省部分可以用来再投资,增加增加资产运营资产运营的价值。的价值。 其次其次,即使存在收益率、期限相同的贴现债券和附息债券即使存在收益率、期限相同的贴现债券和附息债券, 在债券面额都是在债券面额都是100元的情况下元的情况下,受投资者资金额的限制受投资者资金额的限制,购买贴购买贴现债券也比较合算现债券也比较合算,因为少量资金拥有者也可进入市场因为少量资金拥有者也可进入市场,也能取得也能取得同样收益率。同样收益率。 第三第三,利用短期贴现债券进行的利用短期贴现债券进行的抵押贷款抵押贷款成本比使用相同期成本比使用相同期限的附息债券要小。限的附息债券要小。

134、 缺点缺点 不足：中长期资金市场的利率走势较难判断，而贴现债券的收益是在发行时就固定的，如果做中长期的贴现债券，万一利率出现了意想不到的变化，对投资者或发行人都会产生不利的影响，所以，中长期贴现债券很少使用。 课后习题：任给一个债券的数据，课后习题：任给一个债券的数据，算出其到期收益率。算出其到期收益率。版权所有：曹凤珍data a;delete;Run;%macro new(code);data b;set Resdat.Optionbond;where bdcd=&code;run;data a1;set b;p1=0;m=maturity;do i=1 to m;p1=p1+Couprt

135、1*par/(1+Couprt1)*i;output;end;run;data a1;set a1 end=lasobs;if lasobs;p2=par/(1+Couprt1)*m;p=p1+p2;r=200*Couprt1;r1=100*Couprt1;n=m;data a;set a a1;%mend new;proc print data=a;run;%new(010220);run;变利率情况下的债券定价变利率情况下的债券定价作者：丁海丽data r;input r ;cards;0.02 0.05 0.04 0.03 0.06 0.06 0.04 0.03 0.05 0.04 ;run;%macro js(code,c,par);data k;set work.&code;array a10;do i =1 to _n_; set r point=i;if i;ai=r;end;a1=a1+1;p0=&c/a1;do i=2 to 10;ai=ai-1*(1+ai);p0=p0+&c/ai;end;p1=p0+&par/a10;data k1 ;set k end =last;if last;proc print data =k1;run;%mend js;%js(r,100,1000);run;