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1、第3课时 变量间的相关关系及统计案例 1两个变量的线性相关 (1)正相关 在散点图中，点散布在从 到 的区域对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关 (2)负相关 在散点图中，点散布在从 到 的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关基础知识梳理左上角左上角右上角右上角左下角左下角右下角右下角(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2回归方程(1)最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 的方法叫做最小二乘法基础知识梳理一条直线附近一条直线附近距离的平方和最小距离的平方和最小(2)回归方程回归方程系
2、的变量的一组数据系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中的回归方程，其中a，b是待定参数是待定参数基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理相关关系与函数关系有什么异同点？【思考提示】相同点：两者均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系3回归分析(1)定义：对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)样本点的中心在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：基础知识梳理相关关
3、系相关关系基础知识梳理基础知识梳理正相关正相关负相关负相关越强越强0.754独立性检验(1)分类变量的定义如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为 (2)22列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为基础知识梳理分类变量分类变量基础知识梳理y1y2总计总计x1abx2cd总计总计acbdabcdabcd K2 ，用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，如果K2值较大，就拒绝H0，即拒绝 基础知识梳理事件事件A与与B无关无关1下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系()A角度和它的余弦值B正方形
4、的边长和它的面积C正n边形的边数和顶点角度之和D人的年龄和身高答案：D三基能力强化2有关线性回归的说法，不正确的是()A相关关系的两个变量是非确定关系B散点图能直观地反映数据的相关程度C回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强答案：D三基能力强化3(教材习题改编)对于事件A和事件B，通过计算得到K2的观测值k4.514，下列说法正确的是()A有99%的把握说事件A和事件B有关B有95%的把握说事件A和事件B有关C有99%的把握说事件A和事件B无关D有95%的把握说事件A和事件B无关答案：B三基能力强化4下列关系：人的年龄与其拥有的财富之间的关系；曲
5、线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是_答案：三基能力强化答案：11.69三基能力强化判断两变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法是绘散点图散点图是由数据点分布构成的，是分析研究两个变量相关关系的重要手段，从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的课堂互动讲练考点一考点一相关关系的判断相关关系的判断课堂互动讲练例例例例1 1 某棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到
6、如下表所示的一组数据(单位：kg).课堂互动讲练施化肥量施化肥量x15202530354045棉花产量棉花产量y330345365405445450455(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系课堂互动讲练【思路点拨】用施化肥量x作为横轴，产量y为纵轴可作出散点图，由散点图即可分析是否具有线性相关关系【解】(1)散点图如图所示，课堂互动讲练(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系课堂互动讲练【名师点评】两变量具有相关关系但不一定是线性相关，所以当画出的点明显在一条曲线附近时，两变量也具有相关关系，但不是线性相关的课堂互动讲练利用最小二乘法
7、求回归直线方程的一般步骤是：(1)作出散点图，判断是否线性相关；(2)如果是，则用公式求a、b，写出回归方程；(3)根据方程进行估计课堂互动讲练考点二考点二求回归直线方程求回归直线方程课堂互动讲练例例例例2 2下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘 (参考数值：32.5435464.566.5)课堂互动讲练【思路点拨】课堂互动讲练【解】(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示：课堂互动讲练所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数
8、为：课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】因本题中y对x的关系呈线性关系，故可用一元线性相关的方法解课堂互动讲练在本例条件下，若该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？课堂互动讲练互动探究互动探究解：由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90(0.71000.35)19.65(吨标准煤)课堂互动讲练建立回归模型的步骤建立回归模型的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量是解释变量，哪个变量是预报变量(2)画出确定
9、好的解释变量和预报画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等如是否存在线性关系等)课堂互动讲练考点三考点三线性回归分析线性回归分析(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)(5)得出结果后分析残差是否有异常(个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适合等课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3测得某国测得某国10对父子身高对父子身高(单位：英单位：英寸寸)如下：如下：(1)对变量对变量y与与
10、x进行相关性检验；进行相关性检验；(2)如果如果y与与x之间具有线性相关关之间具有线性相关关系，求回归方程；系，求回归方程；(3)如果父亲的身高为如果父亲的身高为73英寸，估英寸，估计儿子的身高计儿子的身高课堂互动讲练父亲父亲身高身高(x)60626465666768707274儿子儿子身高身高(y)63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70【思路点拨】(1)先根据已知计算相关系数r，判断是否具有相关关系(2)再利用公式求出回归方程进行回归分析课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练所以y与x之间具有很强的线性相关关系课堂互动讲练故所求的回归方程为：
11、所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子身高约为69.9英寸课堂互动讲练【名师点评】求回归直线方程，一般先要考查y与x是否具有线性相关关系，若具有这样的关系，则可利用公式求解，否则求得的函数关系无实际意义课堂互动讲练利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出三维柱形图、二维条形图，仅从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，可以结合所求的数值来进行比较，作图时应注意单位统一、图形准确，但不能给我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能作出精确的判断课堂互动讲练考点四考点四独立性检验独立性检验课课堂互动讲练堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满
12、分本题满分12分分)在调查的在调查的480名男人中有名男人中有38名患有名患有色盲，色盲，520名女人中有名女人中有6名患有色盲，名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？你所得到判断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？的结论在什么范围内有效？【思路点拨】本题应首先作出调查数据的列联表，再根据列联表画出二维条形图，并进行分析，最后利用独立性检验作出判断课堂互动讲练【解】根据题目所给的数据作出如下的列联表：课堂互动讲练色盲色盲不色盲不色盲合计合计男男38442480女女6514520合计合计449561000根据列联表作出
13、相应的二维条形图： 6分课堂互动讲练因而，我们可以认为“患色盲与性别是有关的”. 8分根据列联表所给的数据可以有a38，b442，c6，d514，ab480，cd520，ac44，bd956，n1000，课堂互动讲练由k27.110.828，所以我们有99.9%的把握认为患色盲与性别有关系，这个结论只对所调查的480名男人和520名女人有效. 12分课堂互动讲练【误区警示】在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱课堂互动讲练(本题满分12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；
14、男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动课堂互动讲练互动探究互动探究(1)根据以上数据建立一个22列联表；(2)判断性别与休闲方式是否有关系解：(1)22列联表如下： 6分课堂互动讲练课堂互动讲练性别性别看电视看电视运动运动总计总计女女432770男男213354总计总计6460124休闲方式休闲方式(2)假设“休闲方式与性别无关”，因为k5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”. 12分课堂互动讲练1回归分析的理解回归分析的理解回归分析是处理变量相关关系的一种回归分析是处理变量相关关系的一种数学
15、方法，它主要解决三个问题：数学方法，它主要解决三个问题：(1)确定两个变量之间是否有相关关系，确定两个变量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变量的取值根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程求出回归直线方程规律方法总结2最小二乘法的理解(1)最小二乘法是一种有效的求回归方程的方法，它保证了各点与此直线在整体上最接近，最能反映样本观测数据的规律(2)最小二乘法估计的一般步骤：作出散点图，判断是否线性相关；如果是，则用公式求a、b，写出回归方程；根
16、据方程进行估计规律方法总结3线性相关关系强弱的分析与判断对于变量x与y随机抽取到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，样本相关系数的具体计算公式为：规律方法总结当r0时，表明两个变量正相关；当r10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；如果k7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”；规律方法总结如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；如果k5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”；如果k3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；如果k2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”规律方法总结随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入
