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1、http:/上天弈直线数学课，疑难杂症难不倒我！上天弈直线数学课，疑难杂症难不倒我！3. 3. 解答上节课的趣味思考题。解答上节课的趣味思考题。http:/1. 1. 回忆上节课我们所学的知识点回忆上节课我们所学的知识点； 2. 2. 巡视完学生的作业情况以后，有针对性巡视完学生的作业情况以后，有针对性的对上次二星练习作一定讲解的对上次二星练习作一定讲解；在情境中学数学，在数学中感受生活！在情境中学数学，在数学中感受生活！http:/ 大家都知道中国有着大家都知道中国有着50005000年的悠久历史，四大文明古国年的悠久历史，四大文明古国之一。中国古代的数学更是处于世界先进水平。在中国古代，之
2、一。中国古代的数学更是处于世界先进水平。在中国古代，有着非常多的数学名题，例如：鸡兔同笼问题、牛吃草问题、有着非常多的数学名题，例如：鸡兔同笼问题、牛吃草问题、百僧分粥问题等等，今天我们所学的知识，也是一道数学名百僧分粥问题等等，今天我们所学的知识，也是一道数学名题。题。 最早在九章算术的第七章里面，就有谈到关于最早在九章算术的第七章里面，就有谈到关于“盈盈不足不足”的问题，也就是今天的盈亏问题。最前面的四个问题的问题，也就是今天的盈亏问题。最前面的四个问题是正规的盈亏问题，而第是正规的盈亏问题，而第5 5到第到第8 8题则是盈亏问题的变形题，题则是盈亏问题的变形题，第第9 9到第到第2020
3、题是一般的算术应用题，有些问题还是相当复杂题是一般的算术应用题，有些问题还是相当复杂的，初学者还不易解答，可见当时的数学已经相当发达。的，初学者还不易解答，可见当时的数学已经相当发达。 解答盈亏问题的方法，在中国古代称之为解答盈亏问题的方法，在中国古代称之为“盈不足术盈不足术”，盈不足术是中国数学史上解应用题的一种别开生面的创造，盈不足术是中国数学史上解应用题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传至中亚阿拉伯国家，受到特别的重视，被称为丝绸之路西传至中亚阿拉伯国家，受到特别的重视，被称为“契丹算
4、法契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法双设法”曾曾长期统治了他们的数学王国。长期统治了他们的数学王国。 人教版专用教材四年级http:/我思考我练习，闯关没问题！我思考我练习，闯关没问题！盈亏问题盈亏问题 平时在分物品时或者安排其他工作时，经常会遇到多余或是不足的情况，可以根据多余以及不足的数量引出解题的线索。这类应用图通常就叫做盈亏问题。 盈是多余的意思，亏是不足的意思。如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就 叫亏，这就是盈亏问题的含义。例例1http:/ 小朋友分糖果，若每人分4粒则多7粒；若每人分5粒则少10粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？假设法：（
5、1）若每人4粒，多7粒；（2）若每人5粒，少10粒； 假设第二次每人5粒，刚好发完，我们可以知道在第一次每人4粒的基础上每人多发一粒；其实总人数就是7人； 但实际上每人多发一粒，总数少了10粒，在原来 多余的7粒的基础上还少了10粒，说明总人数是10+7=17（人）。列式为：（10+7）（5-4）=17（人）417+7=75（粒）或者：517-10=75（粒）答：有17个小朋友，75粒糖。（10+7）（5-4）=17（人）（盈+亏）每份差=人数或单位数一 星 训 练 老师买来一些练习本奖给学生，如果每人分2本，则多18本；如果每人分4本，则少12本，学生几人？有多少本练习本？（18+12）（4
6、-2）=302=15（人）152+18=48（本）或者：154-12=48（本）答：学生15人，练习本48本。例例2http:/ 阿姨给幼儿园小朋友分饼干。如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就多4块饼干。问有多少小朋友，有多少块饼干？每人分每人分3 3块块多多1616块块盈盈每人分每人分5 5块块多多4 4块块盈盈分析题意：（16-4）（5-3）=122=6（个）63+16=34（块）答：有6个小朋友，34块饼干。一 星 训 练 小芳把一些花放花瓶，如果每个花瓶放5枝则多12枝；如果每个花瓶放8枝，则多3枝，问多少个花瓶多少枝花？（12-3）（8-5）=93=3（个）35+
7、12=27（枝）答：有3个花瓶27枝花。的公式：的公式：（大盈大盈- -小盈）小盈）分差分差= =人数或单位数人数或单位数例例3http:/ 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？ 买买7 7把把 差差110110元元 亏亏 买买5 5把把 差差3030元元 亏亏分析解答：（110-30）（7-5）=802=40（元）407-110=280-110=170（元）答：儿童小提琴40元一把，王老师带了170元钱。一 星 训 练 老师给同学发图画纸，如果每人分3张，则少2张；如果每人分5张，则少32张，同学几
8、人？一共有多少张图画纸？（32-2）（5-3）=302=15（人）155-32=75-32=43（张）答：同学15人，一共43张图画纸。解题公式：解题公式：( (大亏大亏 - - 小亏小亏)分差分差= =人数或者单位数人数或者单位数http:/http:/当拿破仑的军队与奥地利军队战斗的时候，拿破仑的心当拿破仑的军队与奥地利军队战斗的时候，拿破仑的心中只有一个信念，那就是：往前冲，战胜敌人！他一直想着中只有一个信念，那就是：往前冲，战胜敌人！他一直想着怎样打败奥地利军队，因为自己不是打败他们，就是被他们怎样打败奥地利军队，因为自己不是打败他们，就是被他们打败。打败。可是这一次战斗明显是一个力量
9、悬殊的战斗，奥地利军可是这一次战斗明显是一个力量悬殊的战斗，奥地利军队的人数是拿破仑领导的法国军队的几十倍，而且对方的将队的人数是拿破仑领导的法国军队的几十倍，而且对方的将领是一位勇猛善战的将领。拿破仑曾经多次与之交锋，但是领是一位勇猛善战的将领。拿破仑曾经多次与之交锋，但是从来没有像今天这样彼此接近，拿破仑想：从来没有像今天这样彼此接近，拿破仑想：“也许这一次要也许这一次要和这个奥地利人面对面地搏一搏了。和这个奥地利人面对面地搏一搏了。”这样想着，拿破仑又这样想着，拿破仑又向前跨出一大步，可是奥地利军队却在此时后退了，并且派向前跨出一大步，可是奥地利军队却在此时后退了，并且派一名骑兵告诉拿破
10、仑，双方都应该休息休息了。一名骑兵告诉拿破仑，双方都应该休息休息了。 此时拿破仑身后的一名士兵给拿破仑拿来了一个此时拿破仑身后的一名士兵给拿破仑拿来了一个水壶，拿破仑一边喝水一边看他身后的这些士兵。大家都水壶，拿破仑一边喝水一边看他身后的这些士兵。大家都气喘嘘嘘地倒在地上，看来大家都累坏了。的确，他们从气喘嘘嘘地倒在地上，看来大家都累坏了。的确，他们从早上就开始和奥地利军队战斗，这时已经是傍晚了。拿破早上就开始和奥地利军队战斗，这时已经是傍晚了。拿破仑本人也感到自己需要休息一下，于是他让几个士兵拿来仑本人也感到自己需要休息一下，于是他让几个士兵拿来干粮，和大家一起坐在地上一边吃着干粮，一边商议
11、如何干粮，和大家一起坐在地上一边吃着干粮，一边商议如何突破奥地利军队的围攻。突破奥地利军队的围攻。拿破仑领导的军队原本就没有多少人，这一次深入奥拿破仑领导的军队原本就没有多少人，这一次深入奥地利内部，后面的援兵还不知道什么时候才能到。而现在，地利内部，后面的援兵还不知道什么时候才能到。而现在，拿破仑数了数剩下的士兵，一共只有拿破仑数了数剩下的士兵，一共只有2525个骑兵了，而敌人个骑兵了，而敌人的数量却有一千余人。也许奥地利人是想今晚好好地睡个的数量却有一千余人。也许奥地利人是想今晚好好地睡个觉，然后明天一早将拿破仑及其属下一举歼灭，因为他们觉，然后明天一早将拿破仑及其属下一举歼灭，因为他们今
12、天实在是让拿破仑和他的骑兵们折腾得筋疲力尽了。今天实在是让拿破仑和他的骑兵们折腾得筋疲力尽了。 拿破仑和他的骑兵们同样十分疲惫，可是，他们却不敢拿破仑和他的骑兵们同样十分疲惫，可是，他们却不敢有丝毫懈怠，因为以他们现有的人数，很可能一不小心就会被有丝毫懈怠，因为以他们现有的人数，很可能一不小心就会被敌人消灭。敌人消灭。似乎胜败已经分明，可是拿破仑是从来不肯束手就擒、接似乎胜败已经分明，可是拿破仑是从来不肯束手就擒、接受失败的。他命令士兵吃完干粮以后迅速清理武器和战马，然受失败的。他命令士兵吃完干粮以后迅速清理武器和战马，然后让大家把身上的多余的衣物、水和剩下的干粮全部扔掉，但后让大家把身上的多
13、余的衣物、水和剩下的干粮全部扔掉，但是一定要留下此前准备好的喇叭。是一定要留下此前准备好的喇叭。夜幕降临之时，拿破仑带着这夜幕降临之时，拿破仑带着这2525名骑兵突然冲进了奥地利名骑兵突然冲进了奥地利士兵的宿营地。他让士兵的宿营地。他让2525名骑兵都拿着喇叭边往前冲边大声喊叫，名骑兵都拿着喇叭边往前冲边大声喊叫，睡梦中的奥地利士兵以为法国援军突然到了，纷纷起来四下逃睡梦中的奥地利士兵以为法国援军突然到了，纷纷起来四下逃窜，场面十分混乱。尽管当时奥地利的将领一再让他的士兵坚窜，场面十分混乱。尽管当时奥地利的将领一再让他的士兵坚决抵抗，可是呜啦呜啦的声音仿佛从四面八方传来，英勇的法决抵抗，可是呜
14、啦呜啦的声音仿佛从四面八方传来，英勇的法国士兵所到之处几乎无人能敌。两支军队相遇之后就会引起一国士兵所到之处几乎无人能敌。两支军队相遇之后就会引起一阵拼杀，很快，拿破仑与奥地利将领相遇了。奥地利将领看到阵拼杀，很快，拿破仑与奥地利将领相遇了。奥地利将领看到对方不过二十几人，不由得一阵愤怒，他挥舞着手中的大刀向对方不过二十几人，不由得一阵愤怒，他挥舞着手中的大刀向拿破仑砍去，可是很快就被力大无比的拿破仑擒住了。拿破仑砍去，可是很快就被力大无比的拿破仑擒住了。 战斗结束之后，奥地利将领问拿破仑：战斗结束之后，奥地利将领问拿破仑：“到底是什么到底是什么使你反败为胜？使你反败为胜？”拿破仑回答：拿破仑
15、回答：“我从来就没有失败过，我始终怀着必胜我从来就没有失败过，我始终怀着必胜的信念与你们战斗，即使在只有的信念与你们战斗，即使在只有2525名骑兵时，我也没有想到名骑兵时，我也没有想到过接受失败。过接受失败。” 这就是拿破仑一生中最伟大的战役之一，即著名的这就是拿破仑一生中最伟大的战役之一，即著名的阿克拉战役。阿克拉战役。例例4http:/ 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？增加一条船增加一条船每船分每船分6 6人人正好分完正好分完不盈不亏不盈不亏减少一条船减少一条船每船分每船分9 9人人正好分完正好分完不盈不亏不盈不
16、亏分析与解答：船数固定船数固定每船分每船分6 6人人多多6 6人人盈盈船数固定船数固定每船分每船分9 9人人少少9 9人人亏亏列式为：（6+9）（9-6）=153=5（条）56+6=36（人）答：学生36人。一 星 训 练 同学去划船，如果每只船坐4人，则少1只船；如果每只船坐6人，则多出4只船，问同学们共有多少人？租了几只船？14+64=28(人）28（6-4）=14（只）414+14=60（人）答：租了14只船，共有60人。例例5http:/ 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？两折两折多多8 8米米盈盈三
17、折三折多多2 2米米盈盈由题意可得：两折两折 多多82=1682=16米米盈盈三折三折 多多23=623=6米米盈盈列式为：（82-23）（3-2）=10（米）210+82=36（米）答：桥有10米高，绳子长36米。一 星 训 练 用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？23+14=10（米）10（4-3）=10（米）103+23=36（米）答：井深10米，绳长36米。例例6http:/ 乐乐离开家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时
18、离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？每分钟每分钟5050米米迟到迟到8 8分钟分钟少少508=400508=400米米亏亏每分钟每分钟6060米米多余多余5 5分钟分钟多多605=300605=300米米盈盈250+7050+850=4000250+7050+850=4000（米）（米）分析与解答：走了2分钟后，再来分析；400+300=700400+300=700（米）（米） 700 700（60-5060-50）=70=70（分钟）（分钟）答：乐乐家离学校有4000米。一 星 训 练 小平从家到电影院去看电影，如果每分钟走50米，则会迟到8分钟；如果每分钟走60米，则提前5分钟到电影
19、院，小平家到电影院的距离多长？508+605=700（米）700（60-50）=70（分钟）5070+508=3900（米）答：小平家到电影院的距离是3900米。盈盈亏亏问问题题盈亏型盈亏型：一次有剩余（盈）：一次有剩余（盈） 另一次又不够（亏）另一次又不够（亏）盈盈型盈盈型：一次有剩余（盈）：一次有剩余（盈） 另一次也有剩余（盈）另一次也有剩余（盈）亏亏型亏亏型：一次不够（亏）：一次不够（亏） 另一次又不够（亏）另一次又不够（亏）要点反馈：要点反馈：盈亏型盈亏型（赢（赢+亏）亏）分差分差=人数或者单位数人数或者单位数盈盈型盈盈型（大盈（大盈-小盈）小盈）分差分差=人数或单位数人数或单位数亏亏
20、型亏亏型 (大亏大亏 - 小亏小亏)分差分差=人数或者单位数人数或者单位数今日事，今日毕，开开心心放学去！ 2.2.趣味思考题：趣味思考题： 1.课后作业：二星训练课后作业：二星训练1,2,3 三星训练选做）三星训练选做）http:/ 完全数完全数如果整数如果整数a a能被能被b b整除，那么整除，那么b b就叫做就叫做a a的一个因数。例如：的一个因数。例如：1 1，2 2，3 3，4 4，6 6都是都是1212的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。切因数的和，这种数叫做完全数。例如：例如：6 6就是最小的一个完全数，因为除就是最小的一个完全数，因为除6 6以外的以外的6 6的因数是的因数是1 1，2 2，3 3，而而6=1+26=1+23 3。你能在你能在2020至至3030之间找出第二个完全数吗？之间找出第二个完全数吗？http:/3.3.过关放学题：过关放学题： 中国古代关于盈亏问题的记载，最早是在哪中国古代关于盈亏问题的记载，最早是在哪本书里面？本书里面？ 什么是盈，什么是亏？什么是盈，什么是亏？ 盈亏问题大致可以分几类？盈亏问题大致可以分几类？ 每一类的公式？每一类的公式？ 分差的含义？分差的含义？小桔灯文化信息交流有限责任公司http:/
