传感器与检测技 第三章测试系统的特性

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1、传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性第一篇第一篇 工程测试技术基础工程测试技术基础第第3章章 测试系统的特性测试系统的特性1.1.建立测试系统的概念建立测试系统的概念 2.2.掌握描述测试系统静态特性的方法掌握描述测试系统静态特性的方法3.3.掌握描述测试系统动态特性的方法掌握描述测试系统动态特性的方法4.4.掌握实现系统不失真测试的条件掌握实现系统不失真测试的条件传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3.1 测试系统与线性系统测试系统与线性系统 测试系统是指由传感器、信号调理电路、信号测试系统是指由传感器、信号调理电路、信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取某种信息处理电

2、路、记录显示设备组成并具有获取某种信息之功能的整体。之功能的整体。 简单测试系统简单测试系统(光电池、温度计光电池、温度计)V传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性复杂测试系统复杂测试系统( (轴承缺陷检测轴承缺陷检测) )传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量量( (输入信号输入信号) )的变化过程，不使信号发生畸变，即的变化过程，不使信号发生畸变，即实现实现不失真测试不失真测试。1 1、测试系统基本要求、测试系统基本要求 系统的传递（传输）特性系统的传递（传输）特性：系统的输出与输入量之间：

3、系统的输出与输入量之间的变换或运算关系。的变换或运算关系。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性系统分析的三类问题：系统分析的三类问题：3)3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。系统的输出量。( (预测预测) ) 1)1)当输入、输出是可测量的当输入、输出是可测量的( (已知已知) )，则可推断系，则可推断系统的传输特性。统的传输特性。( (系统辨识系统辨识) )2)2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输入量。该输出的输入量。 ( (反求反求) )x(t)h(t)y(t)

4、输入输入系统特性系统特性输出输出传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性x(t)h(t)y(t)输入输入系统特性系统特性输出输出y(t)=x(t)*h(t)卷积卷积输入、输出与系统传输特性之间的关系：输入、输出与系统传输特性之间的关系：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性卷积的卷积的物理意义物理意义:1 1）将输入将输入信号信号x(t)x(t)分解分解为许多宽度为为许多宽度为 t t的窄的窄脉冲脉冲面面积之和，积之和，t=t=n n t t时的第时的第n n个窄脉冲的高度为个窄脉冲的高度为x(nx(n t t) )，在在 t t趋近于零的情况下，窄脉冲变为趋近于零的情况下，窄脉

5、冲变为单位冲激信号单位冲激信号，冲激强度可以看作是窄脉冲的面积。冲激强度可以看作是窄脉冲的面积。tx(t)n t x(n t) t h(th(t) )单位冲激响应单位冲激响应单位冲激响应单位冲激响应传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2）在）在t=nt=n t t时刻，窄脉冲引起的响应为时刻，窄脉冲引起的响应为: : x(x(n n t t) ) t t h(t-h(t-n n t t) )tx(n t) t h(t- n t)0y(t)传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3 3）各脉冲引起的响应之和即为输出）各脉冲引起的响应之和即为输出y(t)y(t)ty(t)0y(

6、t)=x(t)*h(t)卷积卷积传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性1 1）具有单值的、确定的输入输出关系。对于每一）具有单值的、确定的输入输出关系。对于每一输入量都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中输入量都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定另一个量。其中以输出和输入成一个量就可以确定另一个量。其中以输出和输入成线线性关系性关系最佳。最佳。 xy线性线性xy线性线性xy非非线性线性理想的测试系统传输特性：理想的测试系统传输特性：2)2)系统的特性不随时间的推移发生改变。系统的特性不随时间的推移发生改变。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性最佳的测试系

7、统最佳的测试系统具有具有线性时不变特性线性时不变特性。许多实际测试系统无法在较大工作范围内满足许多实际测试系统无法在较大工作范围内满足线性时不变要求，但在线性时不变要求，但在有效测量范围有效测量范围内近似满内近似满足线性时不变传输特性要求也可足线性时不变传输特性要求也可。本书所讨论的测试系统限于线性时不变系统。本书所讨论的测试系统限于线性时不变系统。一般在工程中使用的测试装置都看作线性时不变系统一般在工程中使用的测试装置都看作线性时不变系统传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2、线性系统及其特性、线性系统及其特性 系统输入系统输入x(t)x(t)和输出和输出y(t)y(t)间的关

8、系可以用间的关系可以用常常系数线性微分方程系数线性微分方程来描述：来描述： 常系数线性微分方程中的常系数线性微分方程中的系数为常数系数为常数，所描述，所描述的是线性时不变系统的是线性时不变系统。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性线性系统的主要性质：线性系统的主要性质：a)a)叠加特性叠加特性 系系统统对对各各输输入入之之和和的的输输出出等等于于各各单单个个输输入入的的输输出出之和，即之和，即 若若 x1(t) y1(t)，x2(t) y2(t) 则则 x1(t)x2(t) y1(t)y2(t) 线性时不变系统的各输入分量所引起的输出互不影线性时不变系统的各输入分量所引起的输出互不影

9、响，即一个输入的存在并不影响另一个输入的响应。响，即一个输入的存在并不影响另一个输入的响应。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性b)b)比例特性比例特性 常常数数倍倍输输入入所所得得的的输输出出等等于于原原输输入入所所得得输输出出的的常数倍，即常数倍，即: : 若若 x(tx(t) y(t) ) y(t) 则则 kx(tkx(t) ) ky(tky(t) ) 叠加特性和比例特性可统一表示为叠加特性和比例特性可统一表示为若若 x1(t) y1(t)，x2(t) y2(t) 则则 x1(t)x2(t) y1(t)y2(t) 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性c)c)微分特性微

10、分特性 系系统统对对原原输输入入信信号号的的微微分分等等于于原原输输出出信信号号的的微微分，即分，即 若若 x(t) y(t) x(t) y(t) 则则x(tx(t) y(t) ) y(t) d)d)积分特性积分特性 当当初初始始条条件件为为零零时时，系系统统对对原原输输入入信信号号的的积积分分等于原输出信号的积分，即等于原输出信号的积分，即 若若 x(t) y(t) x(t) y(t) 则则x(t)dtx(t)dt y(t)dty(t)dt 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性e e) )频率保持性频率保持性 若若系系统统的的输输入入为为某某一一频频率率的的谐谐波波信信号号，则则系

11、系统统的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即 若若 x(t)=x(t)=Acos(t+xAcos(t+x) ) 则则 y(ty(t)=)=Bcos(t+yBcos(t+y) ) 线性系统的主要特性，特别是符合叠加原理和线性系统的主要特性，特别是符合叠加原理和频率保持性，在测试工作中具有重要作用。频率保持性，在测试工作中具有重要作用。 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3 3、测试系统传输特性的分类、测试系统传输特性的分类 静态特性（静态特性（ Static characteristicsStatic characteristics ）：即输入量和输

12、出量不随时间变化或变化缓慢即输入量和输出量不随时间变化或变化缓慢时，输出与输入之间的关系，可用代数方程时，输出与输入之间的关系，可用代数方程表示。表示。Y=Y=SxSx动态特性（动态特性（ Dynamic characteristicsDynamic characteristics ）：即输入量和输出量随时间迅速变化时，输出即输入量和输出量随时间迅速变化时，输出与输入之间的关系，可用微分方程表示。与输入之间的关系，可用微分方程表示。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性对于静态测量的测试系统，一般只需衡量其静态特对于静态测量的测试系统，一般只需衡量其静态特性、负载效应和抗干扰特性指标。

13、性、负载效应和抗干扰特性指标。在动态测试中，则需要以上四方面的特性指标来衡在动态测试中，则需要以上四方面的特性指标来衡量。量。 为了获得准确的测量结果，常常对测试系统提出为了获得准确的测量结果，常常对测试系统提出多方面的性能要求：多方面的性能要求：静态特性静态特性动态特性动态特性负载效应负载效应抗干扰特性抗干扰特性传输特性（重要）传输特性（重要）传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3.2 测试系统的静态特性测试系统的静态特性 测试系统处于静态工作条件下，输入测试系统处于静态工作条件下，输入x和输出和输出y不随不随时间变化，则输出与输入之间的关系可以用代数方程时间变化，则输出与输入之间

14、的关系可以用代数方程 y=Sx 表示。即输出是输入的单调、线性比例函数。表示。即输出是输入的单调、线性比例函数。 y=Sx 称为称为静态特性方程静态特性方程 实际的测试系统输出与输入往往不是理想直线，实际的测试系统输出与输入往往不是理想直线，这样静态特性由多项式表示这样静态特性由多项式表示静态特性方程与定度曲线：静态特性方程与定度曲线：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性定度曲线定度曲线：表示静态表示静态特性方程的图形称为测试系统特性方程的图形称为测试系统的的定度曲线定度曲线（特性曲线特性曲线、校准曲线校准曲线、标定曲线标定曲线）。）。习惯上，定度曲线是以输入习惯上，定度曲线是以输入

15、x作为自作为自变量，量，对应输出出y作为因变量，在直角坐标系作为因变量，在直角坐标系中中绘出的出的图形。形。下面用下面用定量指标定量指标来研究实际测试系统的静态特性。来研究实际测试系统的静态特性。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性1 1、静态特性指标、静态特性指标 a)a)灵敏度灵敏度( (Sensitivity) 若若系系统统的的输输入入x x有有一一增增量量xx，引引起起输输出出y y发发生生相相应变化应变化yy时，则定义灵敏度时，则定义灵敏度S S为为: : S=y/x S=y/xy yx xxxyy传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性灵敏度的量纲取决于输入输出的量

16、纲。当输入与灵敏度的量纲取决于输入输出的量纲。当输入与输出的量纲相同时，则灵敏度是一个无量纲的数，常输出的量纲相同时，则灵敏度是一个无量纲的数，常称为称为“放大倍数放大倍数”或或“增益增益”。线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随输入非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随输入量的变化而变化。量的变化而变化。通常用一条参考直线代替实际特性通常用一条参考直线代替实际特性曲线（曲线（拟合直线拟合直线），），拟合直线的斜率作为测试系统的拟合直线的斜率作为测试系统的平均灵敏度。平均灵敏度。灵敏度反映了测试系统

17、对输入量变化反应的能力，灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力，灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。（灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。（合合理选取理选取）传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性b)b)线性度（线性度（linearity非线性度非线性度non-linearity ） 定度曲线与拟合直线的偏离程度，用定度曲线与拟合直线的偏离程度，用线性误差线性误差表表示，即用系统标称输出范围（全量程）示，即用系统标称输出范围（全量程）A A内，定度曲内，定度曲线与拟合直线的最大偏差表示。通常表示成线与拟合直线的最大偏差表示。通常表示成相对误相对误差差形式。形式。c cy

18、 LmaxA线性度是对测试系统输入输线性度是对测试系统输入输出线性关系的一种度量。出线性关系的一种度量。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性拟合直线的确定方法：拟合直线的确定方法： 端基直线端基直线：通过测量范围上下限点的直线通过测量范围上下限点的直线 独立直线（最小二乘直线）独立直线（最小二乘直线）：拟合直线与定度曲线拟合直线与定度曲线间偏差间偏差Bi 的平方和最小。的平方和最小。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性c)c)回程误差（回程误差（Hysteresis error ） 测测试试系系统统在在输输入入量量由由小小增增大大和和由由大大减减小小的的测测试试过过程程中中

19、，对对于于同同一一个个输输入入量量所所得得到到的的两两个个数数值值不不同同的的输输出出量量之间差值最大者为之间差值最大者为h hmaxmax，则定义回程误差为则定义回程误差为: :c cyhmaxA描述系统的输出与输入变化描述系统的输出与输入变化方向有关的特性。方向有关的特性。回差的原因：磁滞、弹性滞后、间隙、材料变形等。回差的原因：磁滞、弹性滞后、间隙、材料变形等。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性d)d)重复性（重复性（Repeatability ） 测试系统按同一方向作全量程的多次重复测量时，测试系统按同一方向作全量程的多次重复测量时，静态特性曲线不一致，用重复性表示为静态特

20、性曲线不一致，用重复性表示为 衡量测量结果分散性的指标，即随机误差大小的指标。也可表示为：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性e)e)精度（精度（Accuracy ） 评定测试系统产生的测量误差大小的指标，其定量评定测试系统产生的测量误差大小的指标，其定量描述方式包括：描述方式包括：（1 1）用测量误差来表征）用测量误差来表征u相对误差越小，测量精度越高。相对误差越小，测量精度越高。u工程上常采用工程上常采用引用误差引用误差作为判断精度等级的尺度。作为判断精度等级的尺度。以允许引用误差以允许引用误差(最大引用误差：最大绝对误差与满最大引用误差：最大绝对误差与满量程的比值量程的比值)作

21、为精度级别的代号。作为精度级别的代号。 例如，例如，0.2 级电压表表示该电压表允许的示值误级电压表表示该电压表允许的示值误差不超过电压表量程的差不超过电压表量程的 0.2%。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性u引用误差引用误差：绝对误差与满量程之比的百分数：绝对误差与满量程之比的百分数最大引用误差：最大引用误差：精度等级精度等级：表征测试系统或装置在符合一定的计量要表征测试系统或装置在符合一定的计量要求情况下，能保持其误差在规定的极限范围内。求情况下，能保持其误差在规定的极限范围内。精度等级代表允许误差的大小，并不是实际测量中出精度等级代表允许误差的大小，并不是实际测量中出现的误

22、差。现的误差。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性【例例1 】 某压力表精度为某压力表精度为1.5级，量程为级，量程为02.0MPa，测量结测量结果显示为果显示为1.2MPa，求求1）最大引用误差）最大引用误差nm ；2）可能出现的）可能出现的最大绝对误差最大绝对误差 m ；3）示值相对误差）示值相对误差x？【解】【解】1）由精度等级可直接得到最大引用误差，即）由精度等级可直接得到最大引用误差，即 nm 1.5%2） m 21.5%0.03MPa传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性【例例2】 现有现有0.5级级0300和和1.0级级0100的两个温度计，的两个温度计，要测量

23、要测量80的温度，试问采用哪一个温度计好？的温度，试问采用哪一个温度计好？【解】【解】 若采用若采用0.5级温度计级温度计 m 3000.5%1.5 采用采用1.0级温度计级温度计 m 1001.0%1 结果表明，使用工作在量程下限时相对误差较大。结果表明，使用工作在量程下限时相对误差较大。用用1.0级仪表级仪表比用比用0.5级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。级仪表的示值相对误差反而小，所以更合适。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性（2 2）用测量不确定度来表征）用测量不确定度来表征 不确定度是测量误差极限估计值的评价，不确定度是测量误差极限估计值的评价，不确定度越小，测量结

24、果可信度越高，即精度不确定度越小，测量结果可信度越高，即精度越高。越高。 （3 3）简化表示）简化表示粗略估计粗略估计传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性精密度高精密度高准准确度确度较较高高精确度高精确度高精度（精确度）、精密度与准确度精度（精确度）、精密度与准确度精度反映了测试系统中系统误差和随机误差的综合影响精度反映了测试系统中系统误差和随机误差的综合影响 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性f)f) 稳定性和漂移（稳定性和漂移（drift） 稳定性是指系统稳定性是指系统在一定工作条件下，当输入量不在一定工作条件下，当输入量不变时，输出量随时间变化的程度。稳定性也叫漂移

25、。变时，输出量随时间变化的程度。稳定性也叫漂移。产产产产生生生生漂漂漂漂移移移移的的的的原原原原因因因因：一一一一是是是是系系系系统统统统自自自自身身身身结结结结构构构构参参参参数数数数的的的的变变变变化化化化，另另另另一一一一个个个个是是是是周周周周围围围围环环环环境境境境的的的的变变变变化化化化（如如如如温温温温度度度度、湿湿湿湿度度度度等等等等）对对对对输输输输出出出出的的的的影影影影响响响响。最最最最常常常常见见见见的的的的漂漂漂漂移移移移是是是是温温温温漂漂漂漂，即即即即由由由由于于于于周周周周围围围围的的的的温温温温度度度度变变变变化化化化而而而而引引引引起起起起输输输输出出出出的

26、的的的变变变变化化化化，进进进进一一一一步步步步引引引引起起起起系系系系统统统统的的的的灵灵灵灵敏敏敏敏度度度度发发发发生生生生漂漂漂漂移，即移，即移，即移，即灵敏度漂移灵敏度漂移灵敏度漂移灵敏度漂移。漂移通常表示为在相应条件下的示值变化。漂移通常表示为在相应条件下的示值变化。例如：例如： =1.3mV/8h表示每表示每8小时电压波动小时电压波动1.3mV。 =0.02mA/ C表示温度变化表示温度变化1 C电流变化电流变化0.02mA。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性g)g) 分辨率（分辨率（Resolution ） 指能引起输出量发生变化时输入量的最小变化量，指能引起输出量发

27、生变化时输入量的最小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的能力。表明测试装置分辨输入量微小变化的能力。对于数字式仪表数字式仪表而言，输入量连续变化时，输出量作阶梯变化，一般可以认为该输出显示标尺的最后一位所表示的数值就是它的分辨力，例如数字式温度计的温度显示为180.6，则分辨力为0.1；对于模拟式仪表模拟式仪表，即输出量为连续变化的装置，分辨力是指测试装置能显示或记录的最小输入增量，一般为最小分度值的一半。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性h)h) 可靠性（可靠性（reliability） 是评定测试装置无故障工作时间长短的指标。是评定测试装置无故障工作时间长短的指标。1）平均

28、无故障时间（MTBF） 常用指标：常用指标： 2）可信任概率p 3）故障率或失效率（） 4）有效度或可用度（A） 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2、静态特性的标定、静态特性的标定 测试装置本身存在某些随机因素时，可在相同条件测试装置本身存在某些随机因素时，可在相同条件下进行下进行多次重复测量多次重复测量，求同一输入条件下的平均值，求同一输入条件下的平均值，作静态特性曲线。作静态特性曲线。有回差的测试装置，有回差的测试装置，正行程和反行程组成一个循环正行程和反行程组成一个循环。相同条件下多次循环测量，求出平均值，得到正反相同条件下多次循环测量，求出平均值，得到正反行程的静态特

29、性曲线行程的静态特性曲线。静态标定静态标定: :在规定的标准工作条件下，用实验方法在规定的标准工作条件下，用实验方法求测试系统的静态特性曲线的过程。求测试系统的静态特性曲线的过程。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性静态标定步骤：作作输入入-输出特性曲线输出特性曲线求重复性求重复性误差差求作正反行程的平均求作正反行程的平均输入入-输出曲线输出曲线 求回程求回程误差差 求作定度曲求作定度曲线求作求作拟合直合直线，计算算线性度和灵敏度性度和灵敏度 （重复、正反行程）（重复、正反行程）定度曲线定度曲线拟合直线拟合直线传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3.3 测试系统的动态特性测

30、试系统的动态特性 测试系统的动态特性不仅取决于系统的结构参数，测试系统的动态特性不仅取决于系统的结构参数，而且与输入信号有关。研究而且与输入信号有关。研究测试系统的动态特性实测试系统的动态特性实质质就是建立输入信号、输出信号和系统结构参数三就是建立输入信号、输出信号和系统结构参数三者之间的关系者之间的关系数学建模数学建模。 动态特性的数学描述：动态特性的数学描述： 1）微分方程）微分方程 2）传递函数）传递函数 3）频率响应函数）频率响应函数 4）阶跃响应函数等）阶跃响应函数等传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性1 1、动态特性的数学描述、动态特性的数学描述1 1）线性微分方程）线性

31、微分方程 微分方程是最基本的数学模型，求解微分方程，就可得到系统的动态特性。 对于一个复杂的测试系统和复杂的测试信号，求解微分方程比较困难，甚至成为不可能。为此，根据数学理论，不求解微分方程，而应用拉普拉斯变换求出传递函数、频率响应函数等来描述动态特性。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2）传递函数）传递函数定义定义：系统的初始条件为零时，输出系统的初始条件为零时，输出y(ty(t) )的拉氏变的拉氏变换换Y(sY(s) )和输入和输入x(tx(t) )的拉氏变换的拉氏变换X(sX(s) )之比称为系统的之比称为系统的传递函数，记为传递函数，记为H(sH(s) )。 当系统的初

32、始条件为零时，对微分方程进行拉氏当系统的初始条件为零时，对微分方程进行拉氏变换，可得变换，可得则传递函数则传递函数称称为拉氏拉氏变换算子算子 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性传递函数的特点：传递函数的特点：H(s)与输入信号与输入信号x(t)及系统的初始状态无关，系统的及系统的初始状态无关，系统的动态特性完全由动态特性完全由H(s) 决定。决定。H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。性的不同物理系统。 H(s)的分母取决于

33、系统的结构（分母中的分母取决于系统的结构（分母中s的幂次的幂次n代代表系统微分方程的阶数），分子则和系统与外界之间表系统微分方程的阶数），分子则和系统与外界之间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测量及测点布置情况有关。量及测点布置情况有关。 传递函数与微分方程完全等价，可以相互转化。传递函数与微分方程完全等价，可以相互转化。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 H(sH(s) )是在是在复频域复频域中中表达系统的动态特性，而微分表达系统的动态特性，而微分方程则是在方程则是在时域时域表达系统的动态特性，而且这两种动表达系统的动态特

34、性，而且这两种动态特性的表达形式对于任何输入信号形式都适用。态特性的表达形式对于任何输入信号形式都适用。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3 3）频率响应函数）频率响应函数定义定义：系统的初始条件为零时，输出系统的初始条件为零时，输出y(ty(t) )的傅立叶的傅立叶变换变换Y(jY(j) )和输入和输入x(tx(t) )的傅立叶变换的傅立叶变换X(X(j) )之比称为之比称为系统的频率响应函数，记为系统的频率响应函数，记为H(H(j) )或或H(H() ) 。 当系统的初始条件为零时，对微分方程进行傅立当系统的初始条件为零时，对微分方程进行傅立叶变换，可得频率响应函数为叶变换，可

35、得频率响应函数为将将s=j代入传递函数公式具有同样的形式，因此，代入传递函数公式具有同样的形式，因此，频率响应函数是传递函数的特例。频率响应函数是传递函数的特例。或或传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 线性系统的频率响应函数线性系统的频率响应函数H(jH(j) )实际上就等于用实际上就等于用虚数指数函数表示的正弦输出与正弦输入之比虚数指数函数表示的正弦输出与正弦输入之比，因此，因此也将频率响应函数称为也将频率响应函数称为正弦传递函数正弦传递函数。依据：依据：频率保持性频率保持性频率保持性频率保持性若若则则将输入、输出的各阶导数代入线性微分方程，可得将输入、输出的各阶导数代入线性微分

36、方程，可得传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性H(j)为复变量函数，有相应的模和相角为复变量函数，有相应的模和相角 模模A A( ( ) )反映了线性时不变系统在正弦信号激励反映了线性时不变系统在正弦信号激励下，其稳态输出与输入的幅值比随频率的变化，下，其稳态输出与输入的幅值比随频率的变化，称为系统的称为系统的幅频特性幅频特性； 幅角幅角 ( ( ) )反映了稳态输出与输入的相位差反映了稳态输出与输入的相位差随频随频率的变化率的变化，称为系统的，称为系统的相频特性相频特性。频率响应特性频率响应特性传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性频率响应特性的图形描述：频率响应特性的图形

37、描述： 直观地反映了测试系统对不同频率成分输入信号直观地反映了测试系统对不同频率成分输入信号的扭曲情况的扭曲情况输出与输入的差异。输出与输入的差异。幅频特性曲线幅频特性曲线相频特性曲线相频特性曲线传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 实际作图时，常对自变量取对数标尺，幅值坐标实际作图时，常对自变量取对数标尺，幅值坐标取分贝数，即作取分贝数，即作对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线对数相频特性曲线对数相频特性曲线伯伯德德图图传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性频率响应函数的求法：频率响应函数的求法：1）定义傅立叶变换法 在初始条件为零时，同时测得输入x(t)和输出y(t)，由其傅

38、里叶变换X()和Y()求得频率响应函数H()=Y()X()。2）传递函数法 在初始条件为零时，求取系统的传递函数H(s)，将s=j代入即得。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3 3）实验法）实验法正弦激励法正弦激励法 依次用不同频率依次用不同频率f fi i的简谐信号去激励被测系的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的统，同时测出激励和系统的稳态输出稳态输出的幅值、相的幅值、相位，得到幅值比位，得到幅值比A Ai i、相位差相位差i i。 频率响应函数是描述系统的频率响应函数是描述系统的简谐输入简谐输入和其和其稳态稳态输出输出的关系，在求解系统频率响应函数时，必须在的关系，在

39、求解系统频率响应函数时，必须在系统响应达到稳态阶段时才测量。系统响应达到稳态阶段时才测量。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 从系统最低测量频率从系统最低测量频率fminfmin到最高测量频率到最高测量频率fmaxfmax，逐步逐步增加正弦激励信号频率增加正弦激励信号频率f f，记录下各频率对应的幅值比记录下各频率对应的幅值比和相位差，绘图就得到系统幅频和相频特性。和相位差，绘图就得到系统幅频和相频特性。 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性4 4）阶跃响应函数）阶跃响应函数 若系统输入信号为单位阶跃信号，即若系统输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)x(t)=u(

40、t)，则，则X(s)=1/sX(s)=1/s，此时此时Y(s)=Y(s)=H(s)/sH(s)/s，拉氏反变换即，拉氏反变换即可得到输出可得到输出y(ty(t) )H(S)时域特性参数识别时域特性参数识别传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性5 5）脉冲响应函数）脉冲响应函数 若系统的输入为单位脉冲若系统的输入为单位脉冲(t)(t)，因，因(t)(t)的傅立的傅立叶变换为叶变换为1 1，有：，有： Y(S)=H(S)Y(S)=H(S)，则，则y(ty(t)=F)=F-1-1H(S)H(S)h(th(t) )h(th(t) )称为脉冲响应函数称为脉冲响应函数 H(S)傅立叶傅立叶变换变换

41、固有频率、阻尼等固有频率、阻尼等传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性在复频域用传递函数在复频域用传递函数H(sH(s) )来描述；来描述；在频域用频率响应函数在频域用频率响应函数H(H() )描述；描述；在时域可用微分方程、阶跃响应函数和脉冲响应在时域可用微分方程、阶跃响应函数和脉冲响应函数函数h(th(t) )。其中传递函数、频率响应函数、脉冲响应函数三者其中传递函数、频率响应函数、脉冲响应函数三者之间存在着之间存在着一对应的关系一对应的关系。h (t)(t)和传递函数和传递函数H(sH(s) )是一对拉普拉斯变换对；是一对拉普拉斯变换对；h(th(t) )和频率响应函数和频率响应

42、函数H(H() )又是一对博里叶变换对。又是一对博里叶变换对。 动态特性数学描述的几点结论：动态特性数学描述的几点结论：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性频率响应函数频率响应函数的含义是一系统对输入与输出皆为正弦的含义是一系统对输入与输出皆为正弦信号传递关系的描述。它反映了系统信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输出稳态输出与输入与输入之间的关系，也称为之间的关系，也称为正弦传递函数正弦传递函数。传递函数传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是是系统对输入是正弦信号，而输出是正弦叠正弦叠加瞬态信号加瞬态信号传递关系的描述。它反映了系统包括传递关系的描述。它反映了系统包括稳态稳态和和

43、瞬态瞬态输出与输入之间的关系。输出与输入之间的关系。动态特性数学描述的几点结论：动态特性数学描述的几点结论：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分析系统。如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用传递函数来分析如研究稳态和瞬态全过程信号，则用传递函数来分析系统。系统。测试系统通常是由若干个环节所组成，系统的传递函测试系统通常是由若干个环节所组成，系统的传递函数、频率响应函数与各环节的传递函数、频率响应函数、频率响应函数与各环节的传递函数、频率响应函数之间的关系取决于各环节之间结构形式。数之间的关系取决于各环节

44、之间结构形式。动态特性数学描述的几点结论：动态特性数学描述的几点结论：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性串联串联当串联环节间无能量交换时，串联后系统的传递函数：当串联环节间无能量交换时，串联后系统的传递函数：频率响应函数频率响应函数幅频特性幅频特性相频特性相频特性传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 并联并联并联后系统的传递函数：并联后系统的传递函数：频率响应函数：频率响应函数：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2、常见测试系统的频率响应、常见测试系统的频率响应1 1）一阶系统）一阶系统温度温度酒精酒精湿度湿度传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性

45、取取S1传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性伯伯德德图图幅幅频频和和相相频频曲曲线线传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性幅频特性幅频特性A(A() )和相频特性和相频特性 ( () )表示输入和输出之间表示输入和输出之间的差异，称为的差异，称为稳态响应动态误差稳态响应动态误差。 实际应用中常限定实际应用中常限定幅值误差幅值误差一阶系统的特性：一阶系统的特性：低通性质低通性质：幅值比：幅值比A(A() )随输入频率随输入频率的增大而减小。的增大而减小。系统的工作频率范围取决于时间常数系统的工作频率范围取决于时间常数 。当当 较小较小时，幅值和相位的失真都较小。当时，幅值和相位

46、的失真都较小。当 一定时，一定时， 越小越小，测试系统的工作频率范围越宽。，测试系统的工作频率范围越宽。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性一阶系统适用于测量缓变或低频被测量；一阶系统适用于测量缓变或低频被测量；为了减小系统为了减小系统的动态误差，增大工作频率范围，应尽可能采用时间常数的动态误差，增大工作频率范围，应尽可能采用时间常数小的测试系统。小的测试系统。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性【例1】设一阶系统的时间常数0.1s，问：输入信号频率为多大时其输出信号的幅值误差不超过6？解：解：将将0.1带入带入A()中得到中得到结论：结论：一阶系统一阶系统确定后，若规定一

47、个允许的幅值误差确定后，若规定一个允许的幅值误差，则可确定其测试的最高信号频率则可确定其测试的最高信号频率h h ，该系统的可，该系统的可用频率范围为用频率范围为0 0h h 。 反之，若要选择一阶系统，必须了解被测信号的幅值反之，若要选择一阶系统，必须了解被测信号的幅值变化范围和频率范围，根据其最高频率变化范围和频率范围，根据其最高频率h h和允许的幅值和允许的幅值误差去选择或设计一阶系统。误差去选择或设计一阶系统。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2）二阶系统）二阶系统称重称重( (应变片应变片) )F F加速度加速度压电式传感器压电式传感器传感器与测试技术机电学院第3章

48、测试系统的特性 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性幅幅频频、相相频频曲曲线线传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性二二阶阶系系统统伯伯德德图图传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性二阶系统的特性：二阶系统的特性：低通特性低通特性频率响应与阻尼比频率响应与阻尼比有关有关 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性频率响应与固有频率频率响应与固有频率0有关：固有频率越高，保有关：固有频率越高，保持动态误差在一定范围内的工作频率范围越宽，反之持动态误差在一定范围内的工作频率范围越宽，反之越窄。越窄。 对二阶系统通常推荐采用对二阶系统通常推荐采用阻尼比阻尼比0.70.7

49、左左右，且右，且可用频率在可用频率在0 00.60.60范围范围内变化，测试内变化，测试系统可获得较好的动态特性，其幅值误差不超系统可获得较好的动态特性，其幅值误差不超过过5 5，同时相频特性接近于直线，即测试系统，同时相频特性接近于直线，即测试系统的动态特性误差较小。的动态特性误差较小。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 在在动动态态测测试试时时，必必须须了了解解测测试试系系统统的的可可用用频频率率范范围围与与允允许许的的幅幅值值误误差差和和阻阻尼尼比比有关。有关。允允许许的的幅幅值值误误差差越越小小，其其可可用用频频率率范范围围越窄；反之，其可用频率范围越宽。越窄；反之，其可用

50、频率范围越宽。0.70.7左左右右时时，也也有有较较宽宽的的可可用用频频率率范范围。围。 选择、设计测试系统时尤为重要！选择、设计测试系统时尤为重要！传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性不不同同阻阻尼尼比比对对可可用用频频率率范范围围的的影影响响传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性【例1】有一二阶系统，已知其固有频率1000Hz，阻尼比0.7，若用它测量频率分别为600Hz和400Hz的正弦信号时，问输出与输入的幅值比和相位差各为多少？解：按定义解：按定义测量频率为测量频率为400400HzHz的信号其幅值误差和相位误差较小的信号其幅值误差和相位误差较小传感器与测试技术机电

51、学院第3章 测试系统的特性【例2】有两个结构相同的二阶系统，其固有频率相同，但两者阻尼比不同，一个是0.1，另一个是0.65，若允许的幅值误差10，问它们的可用频率范围是多少？解：解：求二阶系统的可用频率范围，实际上就是求幅频实际上就是求幅频特性曲线与特性曲线与A()A()11两根直线的交点的横坐标两根直线的交点的横坐标。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性1）将）将A()1.1和和0.1代入幅频特性公式，可得代入幅频特性公式，可得2）将）将A()1.1和和0.65代入幅频特性公式，方程无实数解，代入幅频特性公式，方程无实数解，即两者无交点。即两者无交点。3）将）将A()0.9和和0

52、.1代入公式，得代入公式，得4）将）将A()0.9和和0.65代入公式，得代入公式，得对对0.10.1二阶系统，其可用频率范围为二阶系统，其可用频率范围为0 00.3040.3040 0；对；对0.650.65二阶系统，可用频率范围为二阶系统，可用频率范围为0 00.8150.8150 ；可见；可见阻尼比阻尼比影响二阶系统的可用频率范围。影响二阶系统的可用频率范围。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3 3、常见测试系统的阶跃响应、常见测试系统的阶跃响应 阶跃响应简单易行，只需产生一个阶跃信号，再阶跃响应简单易行，只需产生一个阶跃信号，再测量系统输出即可。测量系统输出即可。 实用（实

53、用（在工程中，对系统的突然加载或者突然在工程中，对系统的突然加载或者突然卸载都视为对系统施加一阶跃输入卸载都视为对系统施加一阶跃输入 ）输入输入x(t)=u(t)，则，则X(s)=1/s即输出即输出 Y(s)=H(s)/sy(t)传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性1 1）一阶系统）一阶系统 阶阶跃跃响响应应（指指数数曲曲线线）的的变变化化率率取取决决于于时时间间常常数数 。 越越小小，响响应应速速度度越越快快，达达到到稳态的时间越短。稳态的时间越短。 时间常数时间常数 越小，动态误差也越小，所以尽可能采越小，动态误差也越小，所以尽可能采用用 值小的测试系统。值小的测试系统。传感器与

54、测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2）二阶系统）二阶系统阻尼比阻尼比不同其阶跃响应不同，通常取不同其阶跃响应不同，通常取1有阻尼振有阻尼振荡频率率 当当0系统以系统以 0 0产生无衰减的正弦振荡产生无衰减的正弦振荡当当0，随着随着t增大至增大至 系统系统产生产生 d衰减振荡衰减振荡无阻尼振无阻尼振荡频率率传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性不同阻尼比时的单位阶跃响应曲线不同阻尼比时的单位阶跃响应曲线传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性u值过大或过小，趋于最终稳态值的时间都过长。通常取0.60.8，响应速度快，动态误差小，系统的输出才能以较快的速度达到给定的误差范围。

55、u响应速度与固有频率有关。阻尼率一定时，固有频率0越高，响应速度越快，反之越慢。二阶系统阶跃响应的特性：二阶系统阶跃响应的特性：传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性阶跃响应曲线阶跃响应曲线时域性能指标时域性能指标 延迟时间td上升时间tr峰值时间tp响应时间ts超调量M 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性4 4、测试系统动态特性的标定、测试系统动态特性的标定特性参数特性参数1 1）频率响应法）频率响应法正弦信号激励正弦信号激励 依次用不同频率依次用不同频率f fi i的简谐信号去激励被测系的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的统，同时测出激励和系统的稳态输出稳态输

56、出的幅值、相的幅值、相位，得到幅频特性和相频特性曲线。位，得到幅频特性和相频特性曲线。 一阶系统一阶系统( ( ) ) 直接利用公式求直接利用公式求传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性二阶系统二阶系统（1） 0.707精确求法：精确求法：20lgA()3dB 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性2 2）阶跃响应法）阶跃响应法一阶系统一阶系统0.63粗略估计粗略估计传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性精确估计精确估计线性关系线性关系传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性二阶系统二阶系统（1） tdd 2 /tdMt / dM10传感器与测试技术机电学院第3章

57、 测试系统的特性飞机模态分析飞机模态分析应用：应用：动态特性评定动态特性评定模态分析模态分析 模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性原理：在桥中悬挂重物，然后突然剪断绳索，产生阶跃激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。应用应用: :桥梁固有频率测量桥梁固有频率测量传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性实验：悬臂梁固有频率测量实验：悬臂梁固有频率测量传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性3.4 3.4 实现系统不失真测试的条件实现

58、系统不失真测试的条件 设测试系统的输出设测试系统的输出y(t)y(t)与输入与输入x(t)x(t)满足关系满足关系 y(t)=kx(t-ty(t)=kx(t-t0 0) )时域条件时域条件y(t)=y(t)=kx(tkx(t) )t tA Ax(t)x(t)y(t)=y(t)=kx(tkx(t- t- t0 0) )不失真的特性不失真的特性系统的输出波形与系统的输出波形与输入信号的波形完输入信号的波形完全相似，只是幅值全相似，只是幅值放大了放大了k k倍，在时倍，在时间上延迟了间上延迟了t t0 0而已。而已。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 不失真测试系统的幅频特性和相频特性应

59、分不失真测试系统的幅频特性和相频特性应分别满足条件别满足条件 A(A()=k=)=k=常数常数 ()=-t)=-t0 0进行傅立叶变换进行傅立叶变换 频域条件频域条件 y(t)=kx(t-t0)传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 通常实际测试系统既会产生幅值失真，也会产生相通常实际测试系统既会产生幅值失真，也会产生相位失真。位失真。 只能将波形失真限制在一定的误差范围内。只能将波形失真限制在一定的误差范围内。 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 一阶系统一阶系统时间常数越小，则系统的响应越快，时间常数越小，则系统的响应越快，近于满足测试不失真条件的频带也越宽。所以一阶近

60、于满足测试不失真条件的频带也越宽。所以一阶系统的时间常数，原则上越小越好。系统的时间常数，原则上越小越好。 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性 二阶系统二阶系统当当=0.7=0.7左右左右时，在时，在 0 00.580.580 0的频的频率范围内，幅频特性率范围内，幅频特性 A(A() )的变化不超过的变化不超过 5 5，同时相，同时相频特性频特性() )也接近于直线，即相位失真也很小。也接近于直线，即相位失真也很小。 系统任一环节的波形失真，必然会引起整个系统最终输出波形失真。原则上在信号频带内都应使每个环节基本上满足不失真测试的要求。 传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的

61、特性负载效应负载效应 实实际际测测试试工工作作中中，测测试试系系统统和和被被测测对对象象会会产产生生相相互互作作用用。测测试试装装置置构构成成被被测测对对象象的的负负载载。彼彼此此间间存存在在能能量量交交换换和和相相互互影影响响，以以致致系系统统的的传传递递函函数数不不再再是是各各组成环节传递函数的叠加或连乘。组成环节传递函数的叠加或连乘。 例：电阻传感器测量电路例：电阻传感器测量电路传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性未接入电压表测量电路时，电阻未接入电压表测量电路时，电阻R2上的压降为：上的压降为： U0=ER2/(R2R1) 接入电压表测量电路时，电阻接入电压表测量电路时，电阻

62、R2上的压降为：上的压降为： U1=ER2Rm/R1(Rm+R2)+RmR2令令R1=100K，R2=150K，Rm=150K，E=150V,得得:U0=90V，U1=64.3V，两者误差达两者误差达28.6%。若若Rm=1M，得，得:U1=84.9V，两者误差为两者误差为5.76%。负载效应对测负载效应对测量结果的影响量结果的影响是很大的是很大的传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性减小负载效应的措施：减小负载效应的措施：1.提高后续环节(负载)的输入阻抗。 2.在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗，低输出阻抗的放大器，以便一方面减小从前一环节吸取的能量，另一方面在承受后一环节（

63、负载）后有能减小电压输出的变化，从而减轻总的负载效应。 3.使用反馈等测量原理，使后面环节几乎不从前面环节吸取能量。 总之，在组成测量系统时，要充分考虑各组成环节之总之，在组成测量系统时，要充分考虑各组成环节之间连接时的负载效应，尽可能的减小负载效应的影响。间连接时的负载效应，尽可能的减小负载效应的影响。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性测试系统的抗干扰测试系统的抗干扰 测测试试过过程程中中，除除待待测测量量信信号号外外，各各种种不不可可见见的的、随随机机的的信信号号可可能能出出现现在在测测试试系系统统中中。这这些些信信号号与与有有用用信号叠加在一起，严重扭曲测量结果。信号叠加在一

64、起，严重扭曲测量结果。 测试系统的干扰来源：测试系统的干扰来源：机械振动或冲击会对测试系统机械振动或冲击会对测试系统( (尤其是传感器尤其是传感器) )产生产生严重的干扰；严重的干扰；光线会对测量装置中的半导体元件产生干扰；光线会对测量装置中的半导体元件产生干扰；温度的变化会导致电路参数和工作点的变化，产生温度的变化会导致电路参数和工作点的变化，产生干扰；干扰；电磁的干扰等等。电磁的干扰等等。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性干扰信号传输途径：干扰信号传输途径：测试系统测试系统信信道道干干扰扰电电磁磁干干扰扰电电源源干干扰扰传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性抗干扰措施包

65、括：抗干扰措施包括：良好的屏蔽、正确的接地去除大部分的电磁波干扰。使用交流稳压器、隔离稳压器减小供电电源波动的影响。信道干扰是测试装置内部的干扰，可以在设计时选用低噪声的元器件，印刷电路板设计时元件合理排放等方式来增强信道的抗干扰性。传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性本章小结：本章小结： 1.1.测试系统的概念（测试系统的概念（测试系统的基本要求测试系统的基本要求） 2.2.测试系统的静态特性（测试系统的静态特性（特性指标的定义特性指标的定义）3.3.测试系统的动态特性（测试系统的动态特性（重点重点特性评定特性评定）4.4.系统不失真测试的条件系统不失真测试的条件传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性习题讲解习题讲解P82（5）解：解：利用线性系统叠加性、频率保持性可求得稳态响应利用线性系统叠加性、频率保持性可求得稳态响应y(t)一阶系统的频响函数为一阶系统的频响函数为幅频特性幅频特性相频特性相频特性稳态响应为稳态响应为一阶系统一阶系统传感器与测试技术机电学院第3章 测试系统的特性习题与思考题：习题与思考题： P812、 4 、 6 、 9