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1、定积分及其应用定积分及其应用 (3) (3)第一节第一节 定定积分的概念分的概念abxyo二、定积分的定义二、定积分的定义 定义定义 设函数设函数 f (x) 在在a, b上有界上有界, 在在a, b中任意插中任意插入若干个分点入若干个分点 a = x0 x1 x2 xn-1 xn = b, 把区把区间间a, b分成分成 n 个小区间个小区间 x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn, 各个小区间的长度依次为各个小区间的长度依次为 在每个小区间在每个小区间xi-1, xi上任取一点上任取一点 i , 作函数值作函数值 f ( i) 与小区间长度的乘积与小区间长度的乘积 f ( i)
2、 xi (i = 1, 2, , n), 并求和并求和 记记 = maxx1, x2, , xn , 定积分定积分(简称积分简称积分), 记做记做 其中其中 f ( x ) 叫做叫做被积函数被积函数, f ( x ) dx 叫做叫做被积表达式被积表达式, x 叫做叫做积分变量积分变量, a 叫做叫做积分下限积分下限, b 叫做叫做积分上限积分上限, a , b 叫做叫做积分区间积分区间. 怎么分怎么分, 也不论对点怎么取也不论对点怎么取, 只要当只要当 0 时时, 和和 sn 的的如果不论对区间如果不论对区间a, b极限总存在极限总存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在区间在
3、区间a, b上的上的通常称为通常称为 f (x) 的积分和的积分和. f ( x ) 在在 a , b 上定积分存在上定积分存在, 就说就说 f ( x ) 在区间在区间 a , b 上可积上可积. 前面所讨论的两个实际问题中前面所讨论的两个实际问题中, 曲边梯形的面积曲边梯形的面积可表示为可表示为变速直线运动的路程可表示为变速直线运动的路程可表示为 定积分是一个数值定积分是一个数值(如面积、路程如面积、路程), 定积分只与定积分只与被积函数被积函数 f (x) 及积分区间及积分区间a, b有关有关, 而与积分变量而与积分变量的记号无关的记号无关, 如如 如果如果下面给出两个定积分存在的充分条
4、件下面给出两个定积分存在的充分条件. 定理定理1 设设 f ( x ) 在区间在区间 a , b 上连续上连续, 则则 f ( x ) 在在 a , b 上可积上可积. 定理定理2 如果函数如果函数 f ( x ) 在区间在区间 a , b 上最多有有上最多有有限个第一类间断点限个第一类间断点, 则则 f ( x ) 在在 a , b 上可积上可积. 若若在区间在区间a, b上上 f (x) 连续、连续、非负非负, 则定积分则定积分 在几何上表示由曲线在几何上表示由曲线 y = f (x), 若若在区间在区间a, b上上 f (x) 连续连续, 正非正非, 由曲线由曲线 y = f (x),
5、直直线线x = a, x = b与与 x 轴所围成的曲边梯形位于轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方轴的下方, 则定积分则定积分若若在区间在区间a, b上连续函数上连续函数 f (x) 既取得正值又取得负值既取得正值又取得负值, 函数函数 f (x) 的图形某些部分在的图形某些部分在 x 轴的上方轴的上方, 而其他部分而其他部分在几何上表示上述面积的负值在几何上表示上述面积的负值; 在在 x 轴的下方轴的下方, 图形面积减去图形面积减去 x 轴下方图形面积所得的差轴下方图形面积所得的差, 见下页图见下页图. 表示表示 x 轴上方轴上方直线直线 x = a, x = b 与与 x 轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积;三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义:此时定积分此时定积分 Oyy = f (x)abx+-例例1. 利用定义计算定积分解解: 将 0,1 n 等分, 分点为取结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17
