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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第三十讲第三十讲第三十讲第三十讲 一元微积分的应用一元微积分的应用一元微积分的应用一元微积分的应用( ( ( (六六六六) ) ) ) 微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：n
2、了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程特征根特征根一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程形如形如的的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即即特征方程特征方程特征方程特征方程二阶常系数齐线性微分方
3、程二阶常系数齐线性微分方程的的特征方程为特征方程为是是方程方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为的通解为二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程的的特征方程为特征方程为由由求根公式求根公式由刘维尔公式求另一个解：由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为的通解为二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程的的特征方程为特征方程为3) 特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：是是方程方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉
4、公式去掉表达式中虚数单位利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式：欧拉公式：由由线性方程解的性质：线性方程解的性质：均为方程均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：的解，且它们是线性无关的：故当特征方程有一对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征方程特特 征征 根根通通 解解 形形 式式 例解解 例解解 例解解故故所求特解为所求特解为 例解解此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧簧
5、运动的规律（设其弹性系数为运动的规律（设其弹性系数为 k ）。）。 例解解此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧簧运动的规律（设其弹性系数为运动的规律（设其弹性系数为 k ）。）。取取 x 轴如如图所示。轴如如图所示。由由力学的虎克定理，有力学的虎克定理，有（ 恢复力与运动方向相反恢复力与运动方向相反 ）由由牛顿第二定律，得牛顿第二定律，得它能正确描述它能正确描述我们的问题吗我们的问题吗？ 记记拉长后，突然放手的时刻为拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：我们要找的规律是下列初值问
6、题的解：从而，所求运动规律为从而，所求运动规律为简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动二、二、n 阶常系数齐线性微分方程阶常系数齐线性微分方程形如形如的的方程，称为方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，阶常系数齐线性微分方程，n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 对对 应应 项项 例解解 例解解在在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程试求此试求此方程的通解。方程的通解。三、二阶常系数非齐线性微分方程三、二阶常系数非齐线性微分方程形如形如的的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，方程，称为二阶常
7、系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为它对应的齐方程为我们只讨论函数我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，的几种简单情形下，(2) 的特解。的特解。常系数非齐线性微分方程算子解法常系数非齐线性微分方程算子解法参考书：参考书：常微分方程讲义常微分方程讲义王柔王柔怀怀 伍卓群伍卓群 编编人民教育出版社人民教育出版社方程方程 (2) 对应的齐方程对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根 你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？假设方程假
8、设方程有有下列形式的特解：下列形式的特解：则则代入方程代入方程 (2) ，得，得即即方程方程 (3) 的系数与方程的系数与方程 (2) 的特征根有关。的特征根有关。由由方程方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有及多项式求导的特点可知，应有方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解:由由多项式求导的特点可知，应有多项式求导的特点可知，应有方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解:由由多项式求导的特点可知，应有多项式求导的特点可知，应有方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解:定理定理定理定理 1 1当当二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解
9、：它有下列形式的特解：其中：其中： 例解解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为将它将它代入原方程，得代入原方程，得比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 例解解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为将它将它代入原方程，得代入原方程，得请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算上式即上式即故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，
10、原方程的通解为 例解解对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为 你有什么想法没有？你有什么想法没有？你有什么想法没有？你有什么想法没有？欧拉公式：欧拉公式：性质性质性质性质 4 4的的一个特解。一个特解。 例解解代入上述方程，得代入上述方程，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为 例解解代入上述方程，得代入上述方程，得比较系数，得比较系数，得从而，原方程有一特解为从而，原方程有一特解为故故 例解解由由上面两个例题立即可得上面两个例题立即可得 例解解对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得将它代入此方程中，得从而，原
11、方程有一特解为从而，原方程有一特解为故原方程的通解为故原方程的通解为我想，我想， 你一定会做这种推广工作。你一定会做这种推广工作。四、欧拉方程四、欧拉方程形如形如的的方程，称为方程，称为 n 阶阶欧拉方程，其中欧拉方程，其中关于变量关于变量 t 的常系数线性微分方程的常系数线性微分方程 。引入算子记号：引入算子记号：由由数学归纳法可以证明：数学归纳法可以证明： 例解解这是三阶欧拉方程，这是三阶欧拉方程，作作代数运算后，得代数运算后，得即即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且方程方程 (1) 对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为为方程为方程 (1) 特解形式，代入方程特解形式，代入方程 (1) 中，得中，得从而从而故原故原欧拉方程的通解为欧拉方程的通解为
