《24[1]22__直线和圆的位置关系(34)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24[1]22__直线和圆的位置关系(34)（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、淘沙中学：白国仁问题问题1、经过平面上一个已知点，作已知、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？圆的切线会有怎样的情形？OOOP PPA问题问题2、经过、经过 O外一点外一点P，如何作已知，如何作已知 O的的切线？切线？过过 O外一点外一点P作作 O的切线的切线OPABO作法作法:1.连接连接OP.2.以以OP为直径作圆为直径作圆,设设此圆交此圆交 O于点于点A、B.3.连接连接PA、PB.则直线则直线PA、PB为所求为所求.通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称
2、对称一、一、切线长定义切线长定义 从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点间的线段长叫做间的线段长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长.OPAB切线切线与与切线长切线长的区的区别与联系：别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线，不可以度量。切线是一条与圆相切的直线，不可以度量。（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段长，间的线段长，可以度量。可以度量。 若从若从OO外的一点外的一点P P引两条切线引两条切线PAPA，PBPB，切点，切点分别是分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP
3、，你能发现什么结，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。论？并证明你所发现的结论。APO。BPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HLRtAOPRtBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点可以引圆的两条切从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线
4、平线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角分两条切线的夹角. 二、切线长定理二、切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法opAB PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点PAPB，APOBPO如图，若连接如图，若连接AB，则，则OP与与AB有什么关系？有什么关系？ PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点PAPB，APOBPOOPAB，且，且OP平分平分ABCD从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平
5、分切点所成的弦；平分切点所的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。成的弧。AD与与BD相等吗？相等吗？APO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你你又能得出什么新的结论又能得出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点, , PA = PB , APO=BPO. 又又PC=PCPC=PC. . PCA PCB , AC=BC.AC=BC.C一、判断一、判断（1 1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）（2 2）从圆外一点引圆的两条
6、切线，它们的长相等。）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。练习练习(1)(1)如图如图PAPA、PBPB切圆于切圆于A A、B B两点，两点， 连结连结POPO，则，则 度。度。PBOA二、填空二、填空25（1）如图，）如图，PA、PB、DE分别切分别切O于于A、B、C，DE分别交分别交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到O的的切线长为切线长为8CM，则，则 PDE的周长为（的周长为（ ）AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEAP三、选择三、选择例1已知已知，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D
7、、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCAOCB ACPBCP.(3) 设设 OA = x cm , 则则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
8、 解得解得 x = 3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm. ABCDEO21例2如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，B90，O是是AB上一点，以上一点，以O为圆心，为圆心，OB为半径的圆交为半径的圆交AB于点于点E，交，交AC与点与点D。求证：。求证：DEOC证明：连接证明：连接，为，为 的半径的半径是是 的切线的切线C是是 的切线，是切点的切线，是切点，是是 的直径的直径，即，即POABc例例3：如图，：如图，P为为 O 外一点，外一点，PA、PB分别切分别切 O于于A、B两两点，点，OP交交 O于于C，若，若PA6，PC2 ，求，求 O的半径的半径OA及两切线
9、及两切线PA、PB的夹角。的夹角。解：解：连接连接OA、AC，则，则OAAP在在RtAOP中，设中，设OAx则则OP x2OA2PA2OP2即即 x262（x2 ）2解得解得x2 ，即，即OAOC2 OP4 在在Rt AOP中，中，OP2OAAPO30 PA、PB是是O的切线的切线APB2 APO60O的半径为的半径为2 ，两切，两切线的夹角为线的夹角为60例例4、 已知四边形已知四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA分别与分别与 O相切于相切于E、F、G、H.求证：求证：AB+CD=AD+BC。 DABCOGHEF证明证明:AB、BC、CD、DA都与都与 O相切相切,E、F、G、H是切
10、点是切点.AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.即即 AB+CD=AD+BC.结论结论:圆外切四边形的对边和相等圆外切四边形的对边和相等. 例例5.如图所示如图所示PA、PB分别切圆分别切圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的的切线分别相交于切线分别相交于C、D， 已知已知PA=7cm.(1)求求PCD的周长的周长(2) 如果如果P=46,求求COD的度数的度数.C OPBDAE解解:(1)连接连接OA、OB、OE,PA、PB分别是分别是 O的切线的切线,A、B、E为切点为切点.PCD的周长的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB
11、=PA+PB=7+7=14(cm) .DA=DE,CB=CE,DC=DE+CE=DA+CB.OAPA,OBPB,OEDC.C OPBDAE(2)PA、PB分别是分别是 O的切线的切线,DA=DE,ADO=EDO. 在四边形在四边形APBO中中,AOB=180P=134DA、DE 为为 O的切线的切线,PAO=PBO=90.又又DO=DO，AODEOD，AOD=EOD.同理同理 BOC=EOC.DOC =DOE+COE=思考：当切点思考：当切点F在弧在弧AB上运动时，问上运动时，问PED的周长、的周长、DOE的度数是否发生变化，请说的度数是否发生变化，请说明理由。明理由。FOEDPBA知识拓展知
12、识拓展 已知：如图已知：如图,PA、PB是是 O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A、B，Q为为 O上一点，过上一点，过Q点作点作 O的切线，交的切线，交PA、PB于于E、F点，已知点，已知PA=12cm，P=70,求：求：PEF的周长和的周长和EOF的大小。的大小。EAQPFBO思考思考 如图如图如图如图, ,一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮一张三角形的铁皮, ,如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下如何在它上面截下一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料一块圆形的用料, ,并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽可能大呢并且使圆的面积尽
13、可能大呢? ?ID内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义内切圆和内心的定义: :与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, ,叫叫叫叫做做做做三角形的内心三角形的内心.三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫三角形的
14、内切圆的圆心叫做三角形的做三角形的内心内心三角形的三角形的内心内心是三角形三是三角形三条条角平分线角平分线的交点，它到的交点，它到三角形三角形三边三边的距离相等。的距离相等。数学探究数学探究DEFo外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个顶点的距离。角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。AABBC
15、C1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4. 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。BDEFOCA例例1 1、如图，、如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, r, ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则O
16、DAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc 三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算1、求一般三角形内切圆的半径ABCEDFO例例2、如图，、如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O为为RtABC的内切圆的内切圆. 求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD= AD= x x , BE= , BE= y y ,CE ,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三
17、边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO例例3、如图，、如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O为为RtABC的内切圆的内切圆. （1）求）求RtABC的内切
18、圆的半径的内切圆的半径 . （2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD= AD= x x , BE= , BE= y y ,CE ,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEB
19、C，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4, 4, ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的切点的切点分别为分别为B B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四则四边形边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r
20、r的取值范围为的取值范围为0 0r3r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。例例4 4：已知：已知：ABCABC是是OO外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D，E E，F F。若。若BCBC14 cm 14 cm ，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。 ABCDEFxxyyOzz解解:设设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得解得: :X=4Y=9Z=5例例1 A
21、BCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于 点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm， 求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长. .解解:设设设设AF=x(cm), BD=y(cm),CEAF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm)z(cm) AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). O O与与与与ABCABC的三边都相切的
22、三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9基础题：基础题：1. 1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆, ,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2. 2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm, 则此三角形的周长是则此三角形
23、的周长是则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3. 3. OO是边长为是边长为是边长为是边长为2cm2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCDABCD的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆,EF,EF切切切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEFBEF的周长是的周长是的周长是的周长是_._.EF HG正方形正方形正方形正方形22cm22cm2cm2cm知识拓展知识拓展拓展一：拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.
24、直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部知识拓展知识拓展3.RtABC中中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半则内切圆的半径是径是_.14.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是_.22cm22cm1.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小小 结：结：EA
25、PO。BCDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.切线长定理的应用切线长定理的应用.我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的
26、直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个知识小结知识小结 直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部
27、三角形内部作业布置：作业布置：课堂作业：课堂作业： P101 习题习题24.2 第第 5、12、15题题课后作业：课后作业： 练习册练习册520相应内容相应内容下课了下课了! ! 切线长定理如图：过O外一点P有两条直线PA、PB与O相切.ABPO在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点间的线段的长，叫做切线长切线长.切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.例1已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系
28、；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.AOCDPBE解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCAOCB , ACPBCP.(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 RtOAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以，半径 OA 的长为 3 cm. 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的
29、长叫做的线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。oop1.连结连结OP2.以以OP为直径作为直径作 O， 与与 O交于交于A、B两点。两点。AB即直线即直线PA、PB为为 O的切线的切线 如图，已知如图，已知 O外一点外一点P，你能用尺规过点，你能用尺规过点P作作 O的切线吗？的切线吗？通过作图你能发现什么呢？通过作图你能发现什么呢？1.过圆外一点作圆的切线可以作两条过圆外一点
30、作圆的切线可以作两条2.点点A和点和点B关于直线关于直线OP对称对称经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，的长，叫做这点到圆的切线长。叫做这点到圆的切线长。切线长是切线长是一条线段一条线段opAB如图，如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点。如果连结为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的，图中的PA与与PB，APO与与BPO有什么关系？有什么关系？ PA、PB是是 O的切线，的切线， A、B为切点为切点OAPA，OBPB又又OAOB，OPOPRtAOP RtBOPPAPB，APOBPO切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以
31、引圆的两条切线，切线长相等，从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。APO。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点, , PA = PB , APO=BPO. PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线, , OP垂直平分垂直平分AB.例例2、如图，过半径为
32、、如图，过半径为6cm的的 O外一点外一点P作圆作圆的切线的切线PA、PB，连结，连结PO交交 O于于F，过，过F作作 O切线分别交切线分别交PA、PB于于D、E，如果，如果PO10cm， 求求PED的周长。的周长。FOEDPBA例例1.PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C.BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系.OAPA，OB PB，AB OP .（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形.ABP , AOB .（5）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径OA.（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角.OAC=OBC=APC=BPC.
