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1、 世界上有各种各样的振动，简谐振动是最世界上有各种各样的振动，简谐振动是最简单的振动。简单的振动。一、简谐振动的条件一、简谐振动的条件1. .在平衡位置附近来回振动。在平衡位置附近来回振动。2. .受回复力作用。受回复力作用。二、弹簧的振动二、弹簧的振动特点：特点：1. .弹簧质量不计。弹簧质量不计。第第1章章 振动振动1 简谐振动的描述简谐振动的描述2. .所有弹力都集中在弹簧上。所有弹力都集中在弹簧上。3. .质量集中于物体上。质量集中于物体上。4. .不计摩擦。不计摩擦。 建立坐标系，建立坐标系，o点选在点选在弹簧平衡位置处。弹簧平衡位置处。振动位移：振动位移：从从 o 点指向物体所在位
2、置的矢量。点指向物体所在位置的矢量。三、振动位移三、振动位移回复力：回复力：一维振动一维振动令令有有简谐振动微分方程简谐振动微分方程其中其中A为振幅，为振幅，为圆频率，为圆频率，为初相位。为初相位。圆频率圆频率只与弹簧振子性质有关。只与弹簧振子性质有关。单位：单位：rad/s解微分方程解微分方程四、振动速度四、振动速度五、振动加速度五、振动加速度速度与加速度也都速度与加速度也都是周期变化的。是周期变化的。六、振动曲线六、振动曲线一、振幅一、振幅A物体离开平衡位置的最大距离。物体离开平衡位置的最大距离。二、周期二、周期 T单位：单位：米，米，m物体完成一次全振动所用的时间。物体完成一次全振动所用
3、的时间。单位：单位：秒秒，s三、频率三、频率 1秒内物体完成全振动的次数秒内物体完成全振动的次数。单位：单位：赫兹赫兹，Hz2 简谐振动的振幅周期频率和相位简谐振动的振幅周期频率和相位四、相位与初相四、相位与初相由由相位相位初相初相五、振幅与初相的确定五、振幅与初相的确定初始条件初始条件 由由时时/有有时时2+(/)2有有1.圆频圆频率率一、弹簧一、弹簧2.周期周期3.频率频率 3 弹簧、单摆、复摆弹簧、单摆、复摆二、单摆二、单摆 质量集中于小球质量集中于小球上，不计悬线质量。上，不计悬线质量。取逆时针为取逆时针为 张角正张角正向，以悬点为轴，只向，以悬点为轴，只有有重力产生力矩重力产生力矩。
4、“ ”表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。当当时时令令谐振动微分方程谐振动微分方程周期周期频率频率与质量无关。与质量无关。圆频率圆频率三、复摆三、复摆 质量为质量为 m 的任意物体，绕的任意物体，绕 o 点作小点作小角度摆动，质心角度摆动，质心 c 到轴的距离为到轴的距离为 lc。重力矩重力矩“ ”表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。当当时时令令谐振动微分方程谐振动微分方程圆频率圆频率周期周期频率频率例：例：均匀细杆长为均匀细杆长为l、质量为质量为m，绕一端作绕一端作小角度摆动，求周期小角度摆动，求周期T。解：解：由由一、旋转矢量一、旋转矢量将物理模型转变成数学模型
5、。将物理模型转变成数学模型。矢量矢量 A 以角速度以角速度 逆时逆时针作匀速圆周运动，针作匀速圆周运动，研究端点研究端点 M 在在 x 轴上轴上投影点的运动，投影点的运动，初相初相 4旋转矢量旋转矢量1. M 点在点在 x 轴上投轴上投影点的运动影点的运动为简谐振动。为简谐振动。2. M 点的运动速度点的运动速度在在 x 轴上投影速度轴上投影速度3. M 点的加速度点的加速度在在x轴上投影加速度轴上投影加速度M点运动在点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。轴投影，为谐振动的运动方程。M点速度在点速度在x轴投影，为谐振动的速度。轴投影，为谐振动的速度。M点加速度在点加速度在x轴投影，为谐振动的加
6、速度。轴投影，为谐振动的加速度。结论：结论：二、物理模型与数学模型比较二、物理模型与数学模型比较A谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径半径初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度圆周运动周期圆周运动周期三三 、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相1.初始条初始条件件2.初始条初始条件件取取3.初始条初始条件件4.初始条初始条件件取取例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子 t = 0时时 质点过平衡位置且向正方向运动质点过平衡位置且向正方
7、向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的所用的最短时间最短时间解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为得得繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得一、谐振动的动能一、谐振动的动能 简谐振动过程即有动能又有势能，简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交替变化。交替变化。5 简谐振动的能量简谐振动的能量二、
8、谐振动的势能二、谐振动的势能Ek 最大时，最大时， Ep最小，最小， Ek 、Ep交替变化。周期均为交替变化。周期均为机械能守恒，谐振过机械能守恒，谐振过程保守力作功。程保守力作功。谐振能量与振幅的平方成正比。谐振能量与振幅的平方成正比。三、谐振动的能量三、谐振动的能量一、两同方向、同频率、一、两同方向、同频率、有恒定相位差的谐振动合成有恒定相位差的谐振动合成 质点同时参与两个振动，只研究两个同质点同时参与两个振动，只研究两个同方向同频率的振动合成。方向同频率的振动合成。振动合成振动合成分振动分振动6 同方向谐振动的合成同方向谐振动的合成1.利用旋转矢量法求合振动利用旋转矢量法求合振动合成后仍
9、为谐振动，合成后仍为谐振动，角速度不变。角速度不变。1.当当时时, 合振动振幅最大。合振动振幅最大。若若二二. .注意几点注意几点2.当当时时, 合振动振幅最小。合振动振幅最小。若若例：例：两同方向、同频率谐振动合成，两同方向、同频率谐振动合成，求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：解：合成后合成后 不变，不变，合振动方程合振动方程三、两同方向、不同频率谐振动合成三、两同方向、不同频率谐振动合成 这种振动的合成一般比较复杂，这里这种振动的合成一般比较复杂，这里只讨论只讨论两谐振动的频率两谐振动的频率1、2比较大；比较大；两谐振动的频率相差比较小。两谐振动的频率相差比较小。 振动合成后，振幅出
10、现时而加强，时振动合成后，振幅出现时而加强，时而减弱的现象而减弱的现象-“拍拍”。本章小结本章小结本章小结本章小结与习题课与习题课与习题课与习题课一、谐振动的基本规律一、谐振动的基本规律1.受力特征：物体受回复力作用受力特征：物体受回复力作用2.运动规律：运动规律：二、描写谐振动的几个物理量二、描写谐振动的几个物理量1.振幅振幅2.初相初相3.圆频圆频率率弹簧弹簧单摆单摆4.周期周期弹簧弹簧单摆单摆5.频率频率弹簧弹簧单摆单摆三、旋转矢量三、旋转矢量用数学模型代替物理模型。用数学模型代替物理模型。四、谐振动系统的能量四、谐振动系统的能量1.动动能能2.势势能能3.机械能机械能五、谐振动合成五、
11、谐振动合成1.两同方向同频率谐振动合成两同方向同频率谐振动合成振动合成振动合成分振动分振动当当时时当当时时1.一质点做谐振动，其振动方程为一质点做谐振动，其振动方程为: x =6.010-2cos(t /3 -/4)，(SI)（1）振幅、周期、频率及初相各为多少？振幅、周期、频率及初相各为多少？（2）当当 x 值为多大时，系统的势能为总能值为多大时，系统的势能为总能量的一半？量的一半？（3）质点从平衡位置移动到此位置所需最质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？短时间为多少？解：解：（2）势能势能总能总能由题意，由题意，（3）从平衡位置运动到）从平衡位置运动到的最短时间为的最短时间为 T
12、 / 8。2.一轻弹簧的劲度系数为一轻弹簧的劲度系数为 200Nm-1，现将，现将质量为质量为 4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端，的物体悬挂在该弹簧的下端，使其在平衡位置下方使其在平衡位置下方 0.1m 处由静止开始运处由静止开始运动，若由此时刻开始计时，求：动，若由此时刻开始计时，求：（1）物体的振动方程（自选坐标系）；）物体的振动方程（自选坐标系）；（2）物体在平衡位置上方）物体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对时弹簧对物体的拉力；物体的拉力；（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。解解
13、:（1）选平衡位置为原点选平衡位置为原点, x轴指向下方轴指向下方（如如图所示图所示） t=0时：时：由以上两式由以上两式振动方程振动方程（SI）（2）物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方 5cm时，弹簧对时，弹簧对物体的拉力物体的拉力（3）设t1时刻物体在平衡位置，此时时刻物体在平衡位置，此时 x =0，或或因此时物体向上运动因此时物体向上运动再设再设t2时刻物体在平衡位置上方时刻物体在平衡位置上方 5 cm 处，处，此时此时 x =- 5 cm即即即：即：3.一质点在一质点在 x 轴上作谐振动，选取该质点轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过向右运动通过 A 点时作为计时起点点时作为计时起点
14、 ( t=0 )，经过经过 2 秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过 B 点，再经点，再经过过 2 秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过 B 点，若已知该点，若已知该质点在质点在 A、B 两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且AB=10 cm。求。求:(1)质点的振动方程质点的振动方程；(2)质点质点 A 在点处的速率。在点处的速率。解：解：由旋转矢量图由旋转矢量图和和 vA = vB 可知可知 T / 2 = 4s(1) 以以AB的中点为坐标原点的中点为坐标原点, x 轴指向右方轴指向右方.t=0时时,t=2s时时, 由上两式可解得由上两式可解得t=0时时,(SI)(SI)因为在因为在A点质点的速点质点的速度大于零度大于零,所以所以或或运动方程运动方程
