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1、13.2直接证明与间接证明基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习1.直接证明直接证明(1)综合法定义：从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.知识梳理已知条件思维过程：由因导果.(2)分析法定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.思维过程：执果索因.问题的结论2.间接证明间接证明反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).这个过程包括下面3个步骤：(1)反设假
2、设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()考点自测1.(2016扬州质检)已知点An(n，an)为函
3、数y 图象上的点，Bn(n，bn)为函数yx图象上的点，其中nN*，设cnanbn，则cn与cn1的大小关系为_.答案解析cn1cn由条件得则cn随n的增大而减小，cn1cn.2.(2016北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列结论正确的是_.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；乙盒中红球不多于丙盒中红球；乙盒中黑球与丙盒中红球一样多.答案解析3.要证a2b21a2b20只要证明_(填正
4、确的序号).2ab1a2b20；答案解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案解析a0，b0且ab5.(2016盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，xn，有 f( )，已知函数ysin x在区间(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值为_.答案解析题题型分型分类类深度剖析深度剖析题型一综合法的应用题型一综合法的应用例例1(2016宿迁模拟)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac ；由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2
5、c22ab2bc2ca1.证明证明(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.思维升华跟踪训练跟踪训练1 对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；证明取x1x20，则x1x201，f(00)f(0)f(0)
6、，f(0)0.又对任意的x0,1，总有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x) (x0,1)是不是理想函数解答题型二分析法的应用题型二分析法的应用证明证明(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证思维升华请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明解答题型三反证法的应用
7、题型三反证法的应用命题点命题点1证明否定性命题证明否定性命题(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；解答(2)设bn (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列证明命题点命题点2证明存在性问题证明存在性问题例例4若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x) 是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由解答命题点命题点3证明唯一性命题证明唯一性命题例例5已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，方程f(x)x0有实数根；函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0
8、，且0x0.(1)证明： 是函数f(x)的一个零点；证明f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，(2)试用反证法证明 c.证明典典例例(14分)直线ykxm(m0)与椭圆W： y21相交于A、C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形反证法在证明题中的应用思想与方法思想与方法系列系列25思想方法指导规范解答课时课时作作业业1.(2017泰州月考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根
9、”时，要做的假设是_答案解析因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”方程x2axb0没有实根123456789101112132.(2016江苏质量监测 )对累乘运算 有如下定义： =a1a2an，则下列命题中的真命题是_答案解析12345678910111213答案解析都大于2 至少有一个大于2至少有一个不小于2 至少有一个不大于2当且仅当xyz时等号成立所以三个数中至少有一个不小于2，正确12345678910111213答案解析P2Q2，PQ.P1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出“
10、a，b中至少有一个大于1”的条件是_.答案解析12345678910111213答案解析ABC123456789101112137.(2016全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.1和3答案解析123456789101112138.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少答案解析存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.若二次函数f(x)0在区
11、间1,1内恒成立，12345678910111213证明1234567891011121310.设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f(x )为偶函数.证明由函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，可知f(x1)f(x).1234567891011121311.(2016苏州模拟)已知函数f(x)ax (a1).(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；证明12345678910111213(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根.证明假设存在x01，0 1，故方程f(x)0没有负数根.1234567891011121312.(2015陕西)设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nN，n2.证明12345678910111213(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明.解答12345678910111213*13. (2015课标全国)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：证明12345678910111213证明12345678910111213
