考研数学所有知识点合集概率论-高数-线代

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1、1一一. 随机事件和概率1、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义随机事件和概率1、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有=11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）（2）古典概型（等可能概型）1 n21,=， 2 nPPPn1)()()(21=。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m=)()()(21mPPP+nm=基本事件总数所

2、包含的基本事件数A=2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式（3）条件概率和乘法公式定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概

3、率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 （4）全概公式（4）全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPi=，2niiBA1=， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=。 此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式（5）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足1 1B，2B， ，nB两两互不相容，)(BiP0，=i1，2，n，2 niiBA1=，0)(AP，则 =njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。 此公式即为贝叶斯公式。 )(iBP，（1=

4、i，2， ，n） ， 通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，n） ，通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果” ，而1B，2B，nB理解为“原因” ，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 3、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性3、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的） 。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件A、B相互独

5、立， 则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 （证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 （证明） 同时， 与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性（2）多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，考研数学所有知识点合集概率论-高数-线代12 P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 两两互斥互相互斥。 两两独立互相独立？ （3）伯努利试验 （3）伯努利试验 定义 我们作了n次试验，且满

6、足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的， 即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的， 即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp =1， 用)(kPn表 示n重 伯 努 利 试 验 中A出 现)0(nkk次的概率， 二. 随机变量及其分布 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率 二. 随机变量及其分布 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概

7、率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。 有时也用分布列的形式给出： ,|)(2121kkkpppxxxxXPX=。 显然分布律应满足下列条件： （1）0kp，, 2 , 1=k， （2）=11kkp。 （2）分布函数 （2）分布函数 对于非离散型随机变量，通常有0)(= xXP，不可能用分布率表达。 例如日光灯管的寿命X，0)(0=xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。 定义 定义 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 )()(xXPxF= 称为随机变量 X 的分布函数。 )()()(aFbFbX

8、aP= 可以得到 X 落入区间,(ba的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。 分布函数)(xF是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。 )(xF的图形是阶梯图形，,21xx是第一类间断点，随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。 分布函数具有如下性质： 1 , 1)(0xF +x； 2 )(xF是单调不减的函数，即21xx时，有 )(1xF)(2xF； 3 0)(lim)(=xFFx， 1)(lim)(=+xFFx； 4 )()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的； 5 )0()()(=xFxFxXP。 （3）连续型随机变量的

9、密度函数（3）连续型随机变量的密度函数 定义 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 =xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。)(xf的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。 由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。 所以， )()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP= 密度函数具有下面 4 个性质： 1 0)(xf。 2 +=1)(dxxf。 231)()(=+dxxfF的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于 1。 如果

10、一个函数)(xf满足 1、2，则它一定是某个随机变量的密度函数。 3 )(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf。 4 若)(xf在x处连续，则有)()(xfxF=。 dxxfdxxXxP)()(+ 它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 )(),(,独立性古典概型，五大公式，APAE )()()()(xXPxFxXX= 对于连续型随机变量X，虽然有0)(= xXP，但事件)(xX =并非是不可能事件 。 +=+=hxxdxxfhxXxPxXP)()()( 令0h，则右端为零，而概率0)(= xXP，故得0)(= xXP。

11、不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为1 的事件也不一定是必然事件。 2、常见分布 01 分布 2、常见分布 01 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 二项分布 在n重贝努里试验中， 设事件A发生的概率为p。 事件A发生 的 次 数 是 随 机 变 量 ， 设 为X， 则X可 能 取 值 为n, 2 , 1 , 0。 knkknnqpkPkXPC=)()(， 其中nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1=，2 , 1 , 0=k， 则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。 泊松分布为二项

12、分布的极限分布（np=，n） 。 超几何分布 超几何分布 ),min(,2 , 1 , 0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM= 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。 几何分布 几何分布 , 3 , 2 , 1,)(1=kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。 均匀分布 均匀分布 设随机变量X的值只落在a， b内， 其密度函数)(xf在a，b上为常数 k，即 =, 0,)(kxf 其他， 其中 k=ab1， 则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为 0， xa， ,abax axb axb 34

13、=xdxxfxF)()( 当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为 P(=，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。 X 的分布函数为 记住几个积分： , 10=+dxxex , 202=+dxexx )!1(01=+ndxexxn +=01 )(dxexx， )() 1(=+ 正态分布 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(=xexf， +为常数，则称随机变量X服从参数为、的 正 态 分 布 或 高 斯 （ Gauss ） 分 布 ， 记 为),(2NX。 )(xf具有如下性质： 1 )(xf的图形是关于=x对称的； 2 当=x时，21)(=f为最大值； 3

14、 )(xf以ox轴为渐近线。 特别当固定、改变时，)(xf的图形形状不变，只是集体沿ox轴平行移动，所以又称为位置参数。当固定、改变时，)(xf的图形形状要发生变化，随变大，)(xf图形的形状变得平坦，所以又称为形状参数。 若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt=222)(21)(。 。 参数0=、1=时的正态分布称为标准正态分布，记为) 1 , 0( NX，其密度函数记为 2221)(xex=，+x， 分布函数为 dtexxt2221)(。)(x是不可求积函数， 其函数值，已编制成表可供查用。 (x)和 (x)的性质如下： 1 (x)是偶函数，(x)(-x)； 2 当 x=0 时，

15、(x)21为最大值； 3 (-x)1-(x)且 (0)21。 如果X),(2N，则X) 1 , 0(N。 所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(x的计算，而)(x的值是可以通过查表得到的。 =b。 =)(xf,xe 0x, 0, 0x, =)(xF,1xe 0x, , 0 x0。 45若有某些)(ixg相等，则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。 （2）（2）X是连续型随机变量 是连续型随机变量 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。 三.二维随机变量及其分布 1、二维随机变量的基本概念 （1）二维连续型随

16、机向量联合分布密度及边缘分布 三.二维随机变量及其分布 1、二维随机变量的基本概念 （1）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX=， 如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(+yxyxf，使对任意一个其邻边 分 别 平 行 于 坐 标 轴 的 矩 形 区 域D ， 即D=(X,Y)|axb,cyyfxfYX分别为 X， Y 的边缘分布密度。 （3）常见的二维分布（3）常见的二维分布 均匀分布 均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 =其他, 0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布

17、，记为（X，Y）U（D） 。 正态分布 正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ,121),(2222121211221)(2)1 (212 + =yyxxeyxf 其中1| , 0, 0,2121，共 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）N（).,2221, 21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。 即 XN（).(),22, 2211NY （5）二维随机向量联合分布函数及其性质 （5）二维随机向量联合分布函数及其性质 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数 ,),(yYxXPyxF= 称为二维

18、随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件)(,)(| ),(2121yYxXx1时， 有 F （x2,y） F(x1,y);当 y2y1时， 有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(), 0(),(+=+=yxFyxFyxFyxF （4）. 1),(, 0),(),(),(=+=FxFyFF 2、随机变量的独立性 （1）连续型随机变量 2、随机变量的独立性 （1）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y) 联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x

19、)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 （2）二维正态分布 （2）二维正态分布 ,121),(2222121211221)(2)1 (212 + =yyxxeyxf =0 （3）随机变量函数的独立性 （3）随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。 四. 随机变量的数字特征 （1）一维随机变量及其函数的期望 四. 随机变量的数字特征 （1）一维随机变量及其函数的期望 设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P(kxX =)pk，k=1,2,n， =nkkkpxXE1)( 期望就是平均值。 设 X 是连续型随机变量，

20、其概率密度为 f(x)， +=dxxxfXE)()( 数学期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，=niniiiiiXECXCE11)()( （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 （5） Y=g(X) 离散：=nikkpxgYE1)()( 连续：+=dxxxfXE)()( +=dxxfxgYE)()()( （2）方差 （2）方差 D(X)=EX-E(X)2，方差 )()(XDX =，标准差 离散型随机变量 =kkkpXExXD2)()( 连续型随机变量 +=dxx

21、fXExXD)()()(2 方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)， 充分条件： X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （3）常见分布的数学期望和方差 （3）常见分布的数学期望和方差 分布名称符号 均值 方差 0-1分布), 1 (

22、pB p )1 (pp 二项分布),(pnB np )1 (pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 67超几何分布 ),(NMnH NnM 11NnNNMNnM均匀分布 ),(baU 2ba + 12)(2ab 指数分布 )(e 1 21 正态分布 ),(2N 2 01 分布 X 0 1 q p E(X)=p，D(X)=pq 二项分布 XB(n,p)，knkknnqpCkP=)(， （k=0,1,2n） E(X)=np，D(X)=npq 泊松分布 P() P(X=k)=! kexk，k=0,1,2 E(X)= ， D(X)= 超几何分布 nNknMNkMCCCkXP= )(

23、E(X)=NnM 几何分布 1)(=kpqkXP，k=0,1,2 E(X)=p1， D(X)=2pq 均匀分布 XUa,b，f(x)=ab1，a, b E(X)=2ba +， D(X)=12)(2ab 指数分布 f(x)= xe，(x0) E(X)=1， D(X)=21 正态分布 XN(,2)，222)(21)(=xexf E(X)= ， D(X)= 2 2、二维随机变量的数字特征 （1）协方差和相关系数 2、二维随机变量的数字特征 （1）协方差和相关系数 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X与 Y 的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即 ).()(11YEYX

24、EXEXY= 与记号XY相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为XX与YY。 协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y). 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称 )()(YDXDXY 为 X 与 Y 的相关系数，记作XY（有时可简记为） 。 |1，当|=1 时，称 X 与 Y 安全相关： 完全相关=时，负相关，当时，

25、正相关，当11 而当0=时，称 X 与 Y 不相关。 与相关系数有关的几个重要结论 （i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则0=XY；反之不真。 （ii） 若（X，Y）N（,222121） ，则 X与 Y 相互独立的充要条件是0=， 即 X 和 Y不相关。 （iii） 以下五个命题是等价的： 0=XY； cov(X,Y)=0; 78E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). （2）二维随机变量函数的期望 （2）二维随机变量函数的期望 = +为连续型。，为离散型；，),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpy

26、xGYXGEijijji （3）原点矩和中心矩 （3）原点矩和中心矩 对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的k 阶原点矩，记为 vk,即 uk=E(Xk), k=1,2, . 于是，我们有 =+. ,)(续型时为连当为离散型时，当XdxxpxXpxukiikik 对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k，即 ., 2 , 1,)(=kXEXEkk 于是，我们有 =+. ,)()()(续型时为连当为离散型时，当XdxxpXExXpXExukiikik 对于随机变量 X 与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为

27、 X与 Y 的k+l阶混合原点矩，记为klu，即 ).()(YEYXEXEukkl= 五. 大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 五. 大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 )(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。 2、大数定律 （1）切比雪夫大数定律 2、大数定律 （1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界） 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi）C(i=1,2,),

28、则对于任意的正数，有 . 1)(11lim11=niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为 . 11lim1=niinXnP 或者简写成： (). 1lim=XPn 切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当 n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。 （2）伯努利大数定律 （2）伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有 . 1lim=pnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A发生的

29、频率与概率有较大判别的可能性很小，即 . 0lim=pnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 （3）辛钦大数定律 （3）辛钦大数定律 （不要求存在方差） 设 X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数有 . 11lim1=niinXnP 893、中心极限定理 （1）列维林德伯格定理 3、中心极限定理 （1）列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2=kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn=1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 =xtnkknnndt

30、exnnXPxF.21lim)(lim212 或者简写成：) 1 , 0(/NnXn 此定理也称为独立同分布独立同分布的中心极限定理。 （2）棣莫弗拉普拉斯定理 （2）棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量 X1，Xn均为具有参数 n, p(0pnpn时，则 ekpPCkknkkn!)1 ( ).(n 其中 k=0，1，2，n，。 六. 数理统计的基本概念 1、总体、个体和样本 （1）总体与样本 六. 数理统计的基本概念 1、总体、个体和样本 （1）总体与样本 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体） ；而把总体中的每一个单元称为样品 （或个体） 。 在以后的讨

31、论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量） 。 （2）样本函数与统计量 （2）样本函数与统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称 = （nxxx,21） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。 2、统计量 （1）常用统计量 2、统计量 （1）常用统计量 样本均值 .11=niixnx 样本方差 =niixxnS122.)(11 （与概率论中的方差定义不同） 样本标准差 .)(1112=niixxnS 样本 k 阶原点矩 =nikikkxnM1., 2 , 1,1 样本 k 阶中心矩 =nikikkxxnM1., 3

32、, 2,)(1 （二阶中心矩=niiXXnS122)(1*与概率论中的方差定义相同） （2）统计量的期望和方差 （2）统计量的期望和方差 =)(XE，nXD2)(=， 91022)(=SE，221)*(nnSE=, 其中=niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。 3、三个抽样分布（2、t、F 分布） （1）2分布 3、三个抽样分布（2、t、F 分布） （1）2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立， 且服从标准正态分布标准正态分布，可以证明：它们的平方和 =niiXW12 的分布密度为 =. 0, 0, 0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W 服从自由度为 n

33、 的2分布，记为 W2(n)，其中 .2012dxexnxn+= 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 2 分布满足可加性：设 ),(2iinY 则 ).(2112kkiinnnYZ+= 注意注意两个结果：E(2)=n，D(2)=2n （2）t 分布 （2）t 分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且 ),(),1 , 0(2nYNX 可以证明：函数 nYXT/= 的概率密度为 2121221)(+=nntnnntf ).(+2) （3）F 分布 （3）F 分布 设)(),(2212nYnX，且 X 与 Y 独立，可以证明：21/nYnXF =的概率密

34、度函数为 +=+, 0,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1, n2). 正态分布=1， )()(1ntnt=， ),(1),(12211nnFnnF= 4、正态总体下统计量的分布和性质 4、正态总体下统计量的分布和性质 注意一个定理：X与2S独立。 （1）正态分布 （1）正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数 ).1 , 0(/Nnxudef （2）（2）t-t-分布分布 设nxxx,21为来自正态总体1011),(2

35、N的一个样本，则样本函数 ),1(/ntnSxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。 （3）（3）2 分布 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数 ),1() 1(222nSnwdef 其中) 1(2n表示自由度为 n-1 的2分布。 （4）F 分布（4）F 分布 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(2N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数 ),1, 1(/2122222121nnFSSFdef 其中 ,)(11211211=niixxnS ;)(11212222=niiyynS ) 1

36、, 1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F 分布。 七. 参数估计 1、点估计的两种方法 （1）矩法 七. 参数估计 1、点估计的两种方法 （1）矩法 所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。 设总体 X 的分布中包含有未知数m,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF显示它的 k 阶原点矩), 2 , 1)(mkXEvkk=中 也 包 含 了 未 知 参 数m,21， 即),(21mkkvv=。 又 设nxxx,21为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 =nikikxnv11 ).,

37、 2 , 1(mk= 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 =nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),( 由 上 面 的 m 个 方 程 中 ， 解 出 的 m 个 未 知 参 数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。 （2）最大似然法 （2）最大似然法 所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大。 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(21mxf，其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样

38、本，称 ),;(),(11122=nimimnxfL 为样本的似然函数，简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为),;(21mxpxXP=，则称 ),;(),;,(1111222=nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。 若 似 然 函 数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，则称m,21分别为1112m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。我们把使 Ln达到最大的m,21分别作为m,21的估计量的方法称为最大似然估计法。 由于 lnx 是一个递增函数， 所以 Ln与 lnLn同时达到最大值。我们称 miLiiin, 2 , 1, 0ln

39、= 为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出), 2 , 1)(,(21mixxxnii=为i的最大似然估计量。 容易看出，使得 Ln达到最大的i也可以使这组样本值出现的可能性最大。 2、估计量的评选标准 （1）无偏性 2、估计量的评选标准 （1）无偏性 设),(21nxxx=为求知参数的估计量。若 E （）=，则称 为的无偏估计量。 若总体 X 的均值 E（X）和方差 D（X）存在，则样本均值x和样本方差 S2分别为 E（X）和 D（X）的无偏估计，即 E（x）=E（X） ， E（S2）=D（X） 。 （2）有效性 （2）有效性 设),(2111nxxx=和),(2122nxxx=是

40、未知参数的两个无偏估计量。若21)(nnP 则称n为的一致估计量（或相合估计量） 。 3、区间估计 （1）置信区间和置信度 3、区间估计 （1）置信区间和置信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx=与),(2122nxxx=)(21， 使得区间,21以) 10(1aa axdxxdalnlog=()1, 0aa ()xx1ln= dxxxd1ln= ()aaaxxln=()1, 0aa adxadaxxln=()1, 0aa 153( )xxee= dxedexx= ()211arcsinxx= dxxxd211arcsi

41、n= ()211arccosxx= dxxxd211arccos= ()211arctanxx+= dxxxd211arctan+= ()211cotxxarc+= dxxxdarc211cot+= ()22221lnaxaxx+=+ ()dxaxaxxd22221ln+=+()22221lnaxaxx=+ ()dxaxaxxd22221ln=+ 2四则运算法则四则运算法则 ( )( )( )( )xgxfxgxf= ( )( )( ) ( )( ) ( )xgxfxgxfxgxf+= ( )( )( ) ( )( ) ( )( )xgxgxfxgxfxgxf2= ( )()0xg 3复合函数

42、运算法则复合函数运算法则 设( )ufy =，( )xu=， 如果( )x在x处可导，( )uf在对应点u处可导，则复合函数( )xfy=在x处可导，且有 ( )( )xxfdxdududydxdy= 对应地( )( )( )dxxxfduufdy= 由于公式( )duufdy=不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4由参数方程确定函数的运算法则由参数方程确定函数的运算法则 设( )tx=，( )ty=确定函数( )xyy =， 其中( )t，( )t存在，且( )0 t，则 ( )( )ttdxdy= ( )()0 t 二阶导数( ) ( )( )( )( )3221

43、tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxyd = 5反函数求导法则反函数求导法则 设( )xfy =的反函数( )ygx =，两者皆可导，且( )0 xf 则 ( )( )( )ygfxfyg=11 ( )()0 xf 二阶导数( )( )( )dxdydxxfddyygdyg11= ( )( )( )( )33ygfygfxfxf = = ( )()0 xf 6隐函数运算法则隐函数运算法则 设( )xyy =是由方程()0,=yxF所确定，求y的方法如下： 把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变量， 用复合函数求导公式计算， 然后再解出y的表达式 （允许出现y变量）

44、7对数求导法则对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。 对数求导法主要用于： 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数( )( )xgxfy =常 用 的 一 种 方 法164( )( )xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8可微与可导的关系可微与可导的关系 ( )xf在0x处可微( )xf在0x处可导。 9求求n阶导数（阶导数（2n，正整数），正整数） 先求出,yy 总结出规律性，然后写出( )ny，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）xey = ( )xney= （2）()1, 0

45、=aaayx ( )()nxnaayln= （3）xysin= ( )+=2sinnxyn （4）xycos= ( )+=2cosnxyn (5) xyln= ( )()()nnnxny=!111 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式 ( ) ( )( )( )( )()( )=nkknkknnxvxuCxvxu0 其 中 ()!knknCkn=， ( )( )( )xuxu=0， ( )( )( )xvxv=0 假设( )xu和( )xv都是n阶可导。 微分中值定理微分中值定理 一罗尔定理一罗尔定理 设函数( )xf满足 （1）在闭区间ba,上连续； （2）在开区间()ba,内可导； （3）

46、( )( )bfaf= 则存在()ba,，使得( )0=f 二拉格朗日中值定理二拉格朗日中值定理 设函数( )xf满足 （1）在闭区间ba,上连续； （2）在开区间()ba,内可导； 则存在()ba,，使得 ( )( )( )fabafbf= 或写成( )( )( )()abfafbf= ()ba 有时也写成()()()xxxfxfxxf+=+000 ()10 这里0x相当a或b都可以，x可正可负。 推论1 若( )xf在()ba,内可导， 且( )0 xf， 则( )xf在()ba,内为常数。 推论 2若( )xf，( )xg在()ba,内皆可导，且( )( )xgxf，则在()ba,内(

47、)( )cxgxf+=，其中c为一个常数。 三柯西中值定理（数学四不要）三柯西中值定理（数学四不要） 设函数( )xf和( )xg满足： （1）在闭区间,ba上皆连续； （2）在开区间()ba,内皆可导；且( )0 xg 则存在()ba,使得 ( )( )( )( )( )( )gfagbgafbf= ()ba （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形( )xxg=时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 ） 四泰勒定理（泰勒公式） （数学一和数学二）四泰勒定理（泰勒公式） （数学一和数学二） 定理 1 （皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设( )xf在0x处有n阶导数，则有公式 ( )(

48、)()()()()( )()()( )xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+ +=00200000! 2! 1 175 ()0xx 其中( )()nnxxxR00= ()0xx 称为皮亚诺余项。 ( )()=0lim00nnxxxxxR 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同 情 形 取 适 当 的n， 所 以 对 常 用 的 初 等 函 数 如()xxxex+1ln,cos,sin,和()x+1（为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。 定理 2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式） 设( )xf在包含0x的区间()ba,内有1+n阶导数，在ba,上有n阶连续导数，则对bax,，有公式

49、 ( )()()()()()( )()()( )xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+ +=00200000! 2! 1 其中( )()( )()()101!1+=nnnxxnfxR， （在0x与x之间） 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以0x为中心的n阶泰勒公式。当00=x时，也称为n阶麦克劳林公式。 如果( )0lim=xRnn，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用：导数的应用： 一基本知识一基本知识 1定义定义 设函数( )xf在()ba,内有定义，0x是()ba,内的某一点，则 如果点0x存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点()0xxx，总有(

50、 )()0xfxf，则称()0xf为函数( )xf的一个极小值，称0x为函数( )xf的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2必要条件（可导情形）必要条件（可导情形） 设函数( )xf在0x处可导，且0x为( )xf的一个极值点，则()00= xf。 我们称x满足()00= xf的0x为( )xf的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3第一充分条件第一充分条件 设( )xf在0x处连续，在 xf，而在()+00,xx内的任一点x处，有( )0 xf，则()0xf为极大值，0x为极大

51、值点； 2 如果在()00,xx内的任一点x处，有( )0 xf，则()0xf为极小值，0x为极小值点； 3 如果在()00,xx内与()+00,xx内的任一点x处，( )xf 的符号相同，那么()0xf不是极值，0x不是极值点。 4第二充分条件第二充分条件 设函数( )xf在0x处有二阶导数，且()00= xf，()00 xf，则 当()00 xf时，()0xf为极小值，0x为极小值点。 186 二函数的最大值和最小值二函数的最大值和最小值 1求函数求函数( )xf在在ba,上的最大值和最小值的方法上的最大值和最小值的方法 首先，求出( )xf在()ba,内所有驻点和不可导点kxx,1，其次

52、计算( )()( )( )bfafxfxfk,1。 最后，比较( )()( )( )bfafxfxfk,1， 其中最大者就是( )xf在ba,上的最大值M； 其中最小者就是( )xf在ba,上的最小值m。 2最大（小）值的应用问题最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三凹凸性与拐点三凹凸性与拐点 1凹凸的定义凹凸的定义 设( )xf在区间I上连续， 若对任意不同的两点21,xx，恒有 ( )()( )()+21212121212212xfxfxxfxfxfxxf 则称( )xf在I上是凸（凹）的。 在几何上，曲线( )

53、xfy =上任意两点的割线在曲线下（上）面，则( )xfy =是凸（凹）的。 如果曲线( )xfy =有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则( )xfy =是凸（凹）的。 2拐点的定义拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3凹凸性的判别和拐点的求法凹凸性的判别和拐点的求法 设函数( )xf在()ba,内具有二阶导数( )xf ， 如果在()ba,内的每一点x，恒有( )0 xf，则曲线( )xfy =在()ba,内是凹的； 如果在()ba,内的每一点x，恒有( )0aa Cedxexx+= 4+=Cxxdxsincos 5+=Cxxdxcossin 6Cxdxxxdx+=t

54、ancos1sec22 7Cxdxxxdx+=cotsin1csc22 8Cxxdxx+=secsectan 9Cxxdxx+=csccsccot 10Cxxdx+=coslntan 11Cxxdx+=sinlncot 12Cxxxdx+=tanseclnsec 13Cxxxdx+=cotcsclncsc 14+=Caxxadxarcsin22 ()0a 15Caxaxadx+=+arctan122 ()0a 16Cxaxaaxadx+=ln2122 ()0a 17Caxxaxdx+=2222ln ()0a 二换元积分法和分部积分法二换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法（凑微分法）第一换元

55、积分法（凑微分法） 设( )( )CuFduuf+=，又( )x可导，则 ( )( )( )( )( )( )duufxuxdxfdxxxf=令 ( )( )CxFCuF+=+= 这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式： （1）()() ()+=+baxdbaxfadxbaxf1 ()0a （2）()() ()+=+baxdbaxfnadxxbaxfnnnn11 ()0, 0na （3）()() ()xdxfxdxxflnlnln= （4）=xdxfxdxxf1112 （5）()() ()=xdxfxdxxf2 （6）()() ()=xx

56、xxadafadxaafln1 ()1, 0aa ( )( ) ( )=xxxxedefdxeef （7）()() ()=xdxfxdxxfsinsincossin （8）()() ()=xdxfxdxxfcoscossincos （9）()() ()=xdxfxdxxftantansectan2 （10）()() ()=xdxfxdxxfcotcotcsccot2 （11）()() ()=xdxfxdxxxfsecsectansecsec （12）()() ()=xdxfxdxxxfcsccsccotcsccsc （13）()() ()=xdxfdxxxfarcsinarcsin1arcsi

57、n2 （14）()() ()=xdxfdxxxfarccosarccos1arccos2 （15）()() ()=+xdxfdxxxfarctanarctan1arctan2 （16）()() ()=+xarcdxarcfdxxxarcfcotcot1cot2 208（17）=+xdxfdxxxf1arctan1arctan11arctan2 （18）()()()()+=+22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf ()0a （19）()()()()+=+22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf ()0a （20）( )( )( )Cxfdxxfxf+=l

58、n ( )()0xf 2第二换元积分法第二换元积分法 设( )tx=可导，且( )0t，若( )( )( )CtGdtttf+=， 则( )( )( )( )( )( )CxGCtGdtttftxdxxf+=+=1令 其中( )xt1=为( )tx=的反函数。 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是x与nbax +或x与ndcxbax+或由xe构成的代数式的根式，例如baex+等。 只要令根式( )txgn=，解出( )tx=已经不再有根式，那么就作这种变量替换( )tx=即可。 第二类：被积函数含有()0 2+ACBxA

59、x，如果仍令tCBxAx=+2解出( )tx=仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0A时先化为()220lxxA，0A时，先化为()()202xxlA然后再作下列三种三角替换之一： 根式的形式 所作替换 三角形示意图 （求反函数用） 22xa taxsin= 22xa+ taxtan= 22ax taxsec= 3分部积分法分部积分法 设( )xu，( )xv均有连续的导数，则 ( )( )( ) ( )( )( )=xduxvxvxuxdvxu 或( ) ( )( ) ( )( ) ( )=dxxvxuxvxudxxvxu 使用分部积分法时被积函数中谁看作( )xu谁看作( )x

60、v有一定规律。 （1）( )axnexP，( )axxPnsin，( )axxPncos情形，( )xPn为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，每次均取axe，axsin，axcos为( )xv；多项式部分为( )xu。 （2）( )xxPnln，( )xxPnarcsin，( )xxPnarctan情形，( )xPn为n次多项式取( )xPn为( )xv，而xln，xarcsin，xarctan为( )xu，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （3）bxeaxsin，bxeaxcos情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。 （4） 比较复杂的被积函数使用分部积

61、分法，要用凑微219分法，使尽量多的因子和dx凑成 一定积分的概念与性质一定积分的概念与性质 1定积分的性质定积分的性质 （1）( )( )=baabdxxfdxxf （2）( )0=aadxxf （3）( )( )( )( )+=+bababadxxfkdxxfkdxxfkxfk22112211 （4）( )( )( )+=bccabadxxfdxxfdxxf（c也可以在ba,之外） （5）设ba，( )( )xgxf()bxa，则 ( )( )babadxxgdxxf （6）设ba，( )Mxfm()bxa，则 ()( )()abMdxxfabmba （7）设ba=qp，特征方程有两个不同

62、的实根1，2 2715 则方程的通解为xxeCeCy2121+= （2）当042=qp，特征方程有二重根21= 则方程的通解为()xexCCy121+= （3）当042=qp，特征方程有共轭复根i， 则方程的通解为()xCxCeyx sin cos21+= 2n阶常系数齐次线性方程 ( )()()012211=+ypypypypynnnnn 其中()nipi, 2 , 1=为常数。 相应的特征方程 0 12211=+nnnnnpppp 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 （1）若特征方程有n个不同的实根n, 21 则方程通解 xnxxneCeCeCy+=2121 （2）若0为特征方程的k

63、重实根()nk 则方程通解中含有 ()xkkexCxCC0121+ （ 3 ）若i为 特 征 方 程 的k重 共 轭 复 根()nk 2 则方程通解中含有 ()()xxDxDDxxCxCCekkkkx sin cos121121+ 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 四二阶常系数非齐次线性方程四二阶常系数非齐次线性方程 方程：( )xfqyypy=+ 其中qp,为常数 通解：( )( )xyCxyCyy2211+= 其中( )( )xyCxyC221

64、1+为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。 所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？ 我们根据( )xf的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数， 然后代入方程确定这些系数就得到特解y，常见的( )xf的形式和相对应地y的形式如下： 1( )( )xPxfn=，其中( )xPn为n次多项式 （1）若0不是特征根，则令( )nnnnnaxaxaxaxRy+=1110 其中()niai, 2 , 1 , 0=为待定系数。 （2）若0是特征方程的单根，则令( )xxRyn= （3）若0是特征方程的重根，则令( )xRxyn2= 2( )( )xnexPxf=其中

65、( )xPn为n次多项式，为实常数 （1）若不是特征根，则令( )xnexRy= （2）若是特征方程单根，则令( )xnexxRy= （3）若是特征方程的重根，则令( )xnexRxy2= 3( )( )xexPxfxn sin= 或 ( )( )xexPxfxn cos= 其中( )xPn为n次多项式，,皆为实常数 （ 1 ） 若i不 是 特 征 根 ， 则 令( )( )xxTxxReynnx sin cos+= 其中( )nnnnnaxaxaxaxR+=1110 ()niai, 1 , 0=为待定系数 ( )nnnnnbxbxbxbxT+=1110 ()nibi, 1 , 0=为待定系数

66、 2816 （2）若i是特征根，则令( )( )xxTxxRxeynnx sin cos+= 五欧拉方程（数学一）五欧拉方程（数学一） ( )()01111=+ypyxpyxpyxnnnnnn，其中()nipi, 2 , 1=为常数称为n阶欧拉方程。令tex =代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。 注意下面变换公式： dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt1=， dtdydxdyx=， dtdyedtydedtdyedtdedxdydtddxdtdxydtttt222222= =dtdydtydx2221， dtdydtyddxydx=222

67、22 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 三向量的运算三向量的运算 321321,aaakajaiaa=+= 321321,bbbkbjbibb=+= 321321,ccckcjcicc=+= 1加法。332211,babababa+=+ 减法。332211,babababa= 2数乘。321,aaa=（是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。 3数量积。=bababa,cos 332211bababa+= 其中ba,为向量ba,间夹角 ba为数量也称点乘。 0ba表示向量a在向量b上的投影，即 ajbabPr0= 4向量积ba也称为叉乘。 =bababa,sin ba的方向按

68、右手法则垂直于ba,所在平面，且 321321bbbaaakjiba= ba是向量，abba=。ba等于以ba,为邻边的平行四边形的面积。 5混合积：定义()()cbacba=,，坐标公式()321321321,cccbbbaaacba= 几何意义()cba,表示以cba,为棱的平行大面体的体积。 四两向量间的关系四两向量间的关系 设321321,bbbbaaaa= 关系 向量表示 向量坐标表示 ba,间夹角( ) baba=cos 232221232221332211cosbbbaaabababa+= a与b垂直 0=ba 0332211=+bbbaba2917 a与b平行 0=ba 332

69、211bababa= 二平面及其方程二平面及其方程 1法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成n。法向量pnm,的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2点法式方程 已知平面过()000,zyxM点，其法向量CBAn,=，则平面的方程为 ()()()0000=+zzCyyBxxA 或()00=rrn 其中zyxrzyxr,0000= 3一般式方程 0=+DCzByAx 其中CBA,不全为零。zyx,前的系数表示的法线方向数，CBAn,=是的法向量。 特别情形： 0=+CzByAx，表示通过原点的平面。 0

70、=+DByAx，平行于z轴的平面。 0=+ DAx，平行yOz平面的平面。 0=x表示yOz平面。 4三点式方程 设()111,zyxA，()222,zyxB，()333,zyxC三点不在一条直线上，则通过CBA,的平面方程为 0131313121212111=zzyyxxzzyyxxzzyyxx 5平面束 设直线L的一般式方程为=+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA， 则通过L的所有平面方程为()()02222211111=+DzCyBxAkDzCyBxAk，其中()()0 , 0,21kk。 6有关平面的问题 两平面为 0:11111=+DzCyBxA 0:22222=+

71、DzCyBxA 1与2间 夹角( ) 222222212121212121cosCBACBACCBBAA+= 垂直条件 0212121=+CCBBAA 平行条件 =21212121DDCCBBAA 重合条件 21212121DDCCBBAA= 设平面的方程为0=+DCzByAx，而点()111,zyxM为平面外的一点，则M到平面的距离d： 222111CBADCzByAxd+= 三直线及其方程三直线及其方程 1方向向量、方向数 与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。 2直线的标准方程（对称式方程） 。 nzzmyylxx000= 其中()000,zyx为直线上

72、的点，nml,为直线的方向数。 3参数式方程 3018 +=+=+=ntzzmtyyltxx000 tnmls,=为参变量。 4两点式 设()111,zyxA，()222,zyxB为不同的两点，则通过A和B的直线方程为 121121121zzzzyyyyxxxx= 5一般式方程（作为两平面的交线） ： =+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA，方向向量 222111,CBACBAS= 6有关直线的问题 两直线为 1111111:nzzmyylxxL= 2222222:nzzmyylxxL= 1L与2L间夹角( ) 222222212121212121cosnmlnmlnnmml

73、 l+= 垂直条件 0212121=+nnmmll 平行条件 212121nnmmll= 四平面与直线相互关系四平面与直线相互关系 平面的方程为： 0=+DCzByAx 直线L的方程为： nzzmyylxx000= L与间 夹 角（） 222222sinnmlCBACnBmAl+= L与垂直条件 CnBmAl= L与平行条件 0=+CnBmAl L与重合条件 0=+CnBmAl L上有一点在上 多元函数微分学多元函数微分学 多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分 四方向导数与梯度（数学一）四方向导数与梯度（数学一） 1平面情形平面情形 ()yxz,=在 平 面 上 过 点()000,

74、yxP沿 方 向()cos,cos=l的方向导数 ()()()tyxftytxfyxlft0000000,cos,coslim,+= ()yxfz,=在点()000,yxP处的梯度为 ()()()=yyxfxyxfyxgradf000000, 而方向导数与梯度的关系为 ()()lyxgradfyxlf=0000, ()()()lyxgradflyxgradf,cos,0000= 多元函数微分法多元函数微分法 一复合函数微分法锁链公式一复合函数微分法锁链公式 模型 1()vufz,=，()yxuu,=，()yxvv,= 3119 xvvzxuuzxz+=；yvvzyuuzyz+= 模型 2()z

75、yxfu,=，()yxzz,= += +=yzffyuxzffxuzyzx 模型 3()zyxfu,=，( )xyy =，( )xzz = ( )( )xzfxyffdxduzyx + += 模型 4()vufw,=，()zyxuu,=，()zyxvv,= +=+= + =zvfzufzwyvfyufywxvfxufxwvuvuvu 还有其它模型可以类似处理 二隐函数微分法二隐函数微分法 设()0,=zyxF （1）确定()yxzz,=则zxFFxz=；zyFFyz= （2）确定()zyxx,=则xyFFyx=；xzFFzx= （3）确定 ()xzyy,=则yzFFzy=；yxFFxy= 多元

76、函数的极值和最值多元函数的极值和最值 一求一求()yxfz,=的极值的极值 第 一 步 ()()=0,0,yxfyxfyx 求 出 驻 点()kkyx,()lk, 2 , 1= 第二步 令()()()2,kkxykkyykkxxkyxfyxfyxf = 若0k 则()kkyxf,是极值 进一步 若()0, kkxxyxf 则()kkyxf,为极小值 若()0, kkxxyxf 则()kkyxf,为极大值 二求多元二求多元()2n函数条件极值的拉格朗日乘子法函数条件极值的拉格朗日乘子法 求()nxxfu,1=的极值 约束条件()()=0, 0,111nmnxxxx()nm 作()()()nmii

77、inmnxxxxfxxFF,11111=+= 3220 ()()=0, 0,0 011111nmnxxxxFxxFFFmn 求出( )( )()()lkxxknk, 2 , 1,1=是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种方法的关键是解方程组的有关技巧。 多元函数积分学多元函数积分学 二在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题二在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型I：设有界闭区域()( )( )xyxbxayxD21,= 其中( )x1，( )x2在ba,上连续，()yxf,在D上连续。 则()()=DDdxdyyxfdyxf, ()

78、( )( )=baxxdyyxfdx21, 模型II：设有界闭区域()( )( )yxydycyxD21,= 其中( )y1，( )y2在dc,上连续，()yxf,在D上连续。 则()()=DDdxdyyxfdyxf, ()( )( )=dcyydxyxfdy21, 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二重积分化为累次积分从而进行计算， 对于比较复杂的区域D，如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求， 那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求， 利用二重积分性质， 把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，

79、而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中， 两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段， 具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分， 求出它的积分区域D， 然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。 三在极坐标系中化二重积分为累次积分三在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分， 也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。 模型：设有界闭区域()( )( )21,=D 其中( )1，( )2在,上连续，()()sin,cos,fyxf=在D上连续，则 ()()=DDddfd

80、yxf sin,cos, ()( )( )=21 sin,cosdfd 模型I：设有界闭区域()( )( )21,20,=D 其中( )( )21,在2 , 0上连续，3321()()sin,cos,fyxf=在D上连续，则 ()()=DDddfdyxf sin,cos, ()( )( )=20 sin,cos21dfd 模型II：设有界闭区域()( )=0 ,D 其中( )在,上连续，()()sin,cos,fyxf=在D上连续，则 ()()=DDddfdyxf sin,cos, ()( )=0 sin,cosdfd 模型III：设有界闭区域()( )=0 ,20,D 其中( )在2 , 0

81、上连续，()()sin,cos,fyxf=在D上连续，则 ()()ddfdyxfDD sin,cos,= ()( )=200 sin,cosdfd 四二重积分在几何上的应用四二重积分在几何上的应用 1空间物体的体积空间物体的体积 ()()dyxfyxfVD=,12 其 中D为 闭 曲 面S在xy平 面 上 投 影 区 域()yxfz,2=为上半曲面，()yxfz,1=为下半曲面。 2空间曲面的面积空间曲面的面积 +=DdyzxzA221 其中D为曲面S在xy平面上投影，曲面S的方程()yxzz,= 三重积分三重积分 二三重积分的计算方法二三重积分的计算方法 1直角坐标系中三重积分化为累次积分直

82、角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设是空间的有界闭区域， ()()() ()Dyxyxzzyxzzyx=,21 其 中D是xy平 面 上 的 有 界 闭 区 域 ，()()yxzyxz,21在D上连续，函数()zyxf,在上连续，则 ()()()()=yxzyxzDdzzyxfdxdydvzyxf,21, （2）设()()( )zDyxzzyx=, 其中( )zD为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则 ()()( )=zDdxdyzyxfdzdvzyxf, 2柱坐标系中三重积分的计算柱坐标系中三重积分的计算 ()()=dzddzfdxdydzzyxf ,sin,cos, 相当于把()yx,化

83、为极坐标(),而z保持不变。 3422 3球坐标系中三重积分的计算球坐标系中三重积分的计算 =cossinsincossinzyx2000 ()dxdydzzyxf, ()=dddf sincos,sinsin,cossin2 然后再根据把三重积分化为关于,的累次积分。 曲线积分曲线积分 一第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）一第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 空间情形：空间一条逐段光滑曲线L上定义函数()zyxf,， 把 曲 线L任 意 分 割 为n段 ，nSSS,21在()nkSk1上 任 取 一 点()kkks,，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆存在并且相等。 ()=nkkkkkSs

84、f10,lim （ 这 里kS又 表 示 第k段 曲 线 的 弧 长 ，knkS=1max） 则称此极限值为()zyxf,在曲线L上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以 ()LdSzyxf, 如果曲线L是封闭曲线，也记以()LdSzyxf, 2参数计算公式参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间曲线L的参数方程( )txx =，( )tyy =，( )tzz =，() t 则()( ) ( ) ( )( )( )( )+=dttztytxtztytxfdSzyxfL222, （假设()zyxf,和( )tx，( )ty，( )tz皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行

85、计算。 二第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）二第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线ABL=，函数()zyxP,，()zyxQ,，()zyxR,在L上皆有定义，把L任 意 分 成n段 ，nSSS,21， 在()nkSk1上起点坐标为()111,kkkzyx， 终点坐标()kkkzyx,（ 按L的 定 向 决 定 起 点 和 终 点 ） 令1=kkkxxx，1=kkkyyy，1=kkkzzz，()nk 1再在kS上任意一点()kkks,考虑极限 ()()()=+nkkkkkkkkkkkkkzsRysQxsP10,lim 其中仍是n段弧长中最大值， 如果对任意

86、分割， 任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为()zyxP,，()zyxQ,和()zyxR,对空间曲线L的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以 ()()()+LdzzyxRdyzyxQdxzyxP, 它的向量形式为 LdSF 其中 ()()()zyxRzyxQzyxPF,= dzdydxdS,= 如果L是空间封闭曲线也要说明L的定向，在空间不能简单地说逆时针方向或顺时针方针， 必须用其他方式3523加以说明。 2参数计算公式参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间有向曲线L的参数方程( )txx =，( )tyy =，( )tzz =，起点A对应参数为，终点B对

87、应参数为（注意：现在和的大小不一定）如果()zyxP,，()zyxQ,，()zyxR,皆连续，又( )tx，( )ty，( )tz也都连续，则 ()()()=+ABLdzzyxRdyzyxQdxzyxP, ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )+=dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP, 这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。 三两类曲线积分之间的关系三两类曲线积分之间的关系 1平面情形平面情形 设ABL=平面上一个逐段

88、光滑有定向的曲线，()yxP,，()yxQ,在L上连续，则 ()()()()+=+ABABdsyxQyxPdyyxQdxyxPcos,cos, 其中cos，cos为曲线弧在点()yx,处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。 2空间情形空间情形 设ABL=为空间一条逐段光滑有定向的曲线，()zyxP,，()zyxQ,，()zyxR,在L上连续，则 ()()()+ABdzzyxRdyzyxQdxzyxP, ()()()dszyxRzyxQzyxPAB+=cos,cos,cos, 其中cos，cos，cos为曲线弧AB上点()zyx,处沿定向A到B方向的切线的方向余弦。 四格林公式四格林公式 关于平面

89、区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理， 它的结论就是格林公式。 定理 1 （单连通区域情形） 设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围成的单连通区域。当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数()yxP,，()yxQ,在D上有连续的一阶偏导数，则有 +=LDQdyPdxdxdyyPxQ 定理 2 （多连通区域情形） 设xy平面上有界闭区域D是()1+n连通区域 （也即有n个 “洞” ） ， 它的边界nCCCL10=， 其中0C的定向为逆时针方向，nCC,1定向皆为顺时针方向，仍符合沿L的正定向移动时区域D在它的左边这个原则。 函数()yxP,，()y

90、xQ,在D上有连续的一阶偏导数，则 3624 +=LDQdyPdxdxdyyPxQ =+=01CnkCkQdyPdxQdyPdx 五平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件五平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价条件 设()()yxQyxPF,的分量()yxP,，()yxQ,在单连通区域D内有一阶连续偏导数， 则下面几条彼此等价。 1对D内任意一条逐段光滑闭曲线L，都有0=+LQdyPdx 2任意ABL=在D内，则+ABQdyPdx只依赖于起点A和终点B，与曲线ABL=的取法无关，称为曲线积分与路径无关。 3()()()yxdudyyxQdxyxP,=+成立。 4D内处处有yPxQ=成立

91、。 5向量场()()yxQyxPF,是有势场，即存在二元函数()yxV,，具有gradVF=，()yxV,称为势函数，具有xVP=，yVQ=。 曲面积分曲面积分 一第一类曲面积分（对面积的曲面积分）一第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 1定义定义 设S为分块光滑曲面，()zyxf,在S上有定义，把曲面S任意分成n块小曲面nSSS,21，在)1 (nkSk上任取一点()kkks,， 把小曲面kS的面积也记以kS，而表示各小块曲面直径的最大值。 如果对任意分割和任意取点， 下列极限皆存在且相等 ()knkkkkSsf=10,lim 则称这极限值为()zyxf,在曲面S上的第一类曲面积分，也称对面积

92、的曲面积分，记以 ()SdSzyxf, 2基本计算公式基本计算公式 设曲面S的方程() ()Dyxyxzz=,，()yxz,在D上有连续偏导数。 ()zyxf,在S上连续，则 ()()+=DSdxdyyzxzyxzyxfdSzyxf221, 这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。 二第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）二第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 1定义定义 设S为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，()zyxP,，()zyxQ,，()zyxR,皆在S上有定义，把曲面S任意分成n个小曲面nSSS,21，而()nkSk1在yz平面上投影的面积记以()yzkS， 在zx平面上投影的面积

93、记以()zxkS，在xy平面上投影的面积记以()xykS，又在()nkSk1上任取一点()kkks,，令是各小块曲面直径的最大值，考虑极限 ()()()()()()=+nkxykkkkzxkkkkyzkkkkSsRSsQSsP10,lim 如果对任意分割， 任意取点， 极限值都存在并且相等，则这个极限限称为()zyxP,，()zyxQ,，()zyxR,在有向曲面S上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面3725积分，记以 ()()()+SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP, 如果令RQPF,=，dxdydzdxdydzdS,= 则向量形式为 SdSF 2基本计算公式基本计算公式 如

94、果曲面S的方程()yxzz,=，()xyDyx, ()yxz,在xyD上连续，()zyxR,在S上连续，则 ()()=xyDSdxdyyxzyxRdxdyzyxR, 若曲面S指定一侧的法向量与z轴正向成锐角取正号， 成钝角取负号。 这样把这部分曲面积分化为xy平面上的二重积分。 类 似地，曲面S的 方 程 表 示 为()zyxx,=，()yzDzy,，则 ()()=YZDSdydzzyzyxPdydzzyxP, 曲面S指定一侧的法向量与x轴正向成锐角取正号 ， 成 钝角 取 负 号， 如 果 曲面S的 方 程 表 示 为()xzyy,=，()zxDxz,，则 ()()=ZXDSdzdxzxzy

95、xQdzdxzyxQ, 曲面S指定一侧的法向量与y轴成锐角取正号，成钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行计算，但是当RQP,有些为0只剩下一项或二项时，也有可能用基本公式进行计算。 三两类曲面积分之间的关系三两类曲面积分之间的关系 +=+SSdSRQPRdxdyQdzdxPdydzcoscoscos其中cos,cos,cos为曲面S在点()zyx,处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。 令RQPF,=， cos,cos,cos0=n =+SSdSnFRdxdyQdzdxPdydz0 四高斯公式四高斯公式 定理 1 （单连通区域）

96、设是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，()()()zyxRzyxQzyxP,在上有连续的一阶偏导数，则 +=+SRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP （外侧） +=SdSRQPcoscoscos 其中cos,cos,cos为S在点()zyx,处的法向量的方向余弦。 定理 2 （多连通区域） 设是()1+n连通区域，外面边界曲面0S为外侧，每一个“洞”的边界曲面()nkSk1为内侧，彼此不重叠，都在0S的内部。这些曲面都是分块光滑的，是有界闭区域，()()()zyxRzyxQzyxP,在上有连续的一阶偏导数，则 +=+0SRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP （外侧）

97、=+nkSKRdxdyQdzdxPdydz1 （内侧） 五斯托克斯公式五斯托克斯公式 定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数()()()zyxRzyxQzyxP,在包含S的一个空间区域3826内有连续的一阶偏导数，则有 =+SLRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx +=SdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR 也可用第一类曲面积分 =+SLdSRQPzyxRdzQdyPdxcoscoscos 六散度与旋度六散度与旋度 讨论中有三个概念很重要， 就是梯度、 散度和旋度。前面我们已经讨论过梯

98、度： 设 ()zyxuu,=算=zyx, uzuyuxugradu=,称为u的梯度。 1散度散度 设()()()()zyxRzyxQzyxPF, = 散度FzRyQxPdivF=+=称为F的散度 高斯公式可写成 =SdSnFdivFdv0 （外侧） ()cos,cos,cos0=n 2旋度旋度 设 ()()()()zyxRzyxQzyxPF,= 旋度 RQPzyxkjiFrotF= kyPxQjxRzPizQyR+= 称为F的旋度。 斯托克斯公式可写成 ()=SLdSnrotFdrF0 其中()dzdydxdr,=, ()cos,cos,cos0=n 无穷级数无穷级数 常数项级数常数项级数 1

99、基本性质基本性质 （1）如果=1nnu和=1nnv皆收敛，ba,为常数，则 ()=+1nnnbvau收敛，且等于=+11nnnnvbua （2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。 发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数=1nnu收敛的必要条件是0lim=nnu。 （ 注 ： 引 言 中 提 到 的 级 数()=+111nn， 具 有1) 1(lim+nn不存在， 因此收敛级数的必要条件不满足， 故()=+111nn发散。 调和级数=

100、11nn满足01lim=nn， 但=11nn却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件0lim=nnu，而=1nnu收敛性尚不能确定。 ） 2两类重要的级数两类重要的级数 3927 （1）等比级数（几何级数） =0nnar()0a 当1p时， =11npn收敛； 当1p时， =11npn发散。 （注：1p时， =11npn的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知61212=nn。 ） 二正项级数敛散性的判别法二正项级数敛散性的判别法 若), 3 , 2 , 1(0=nun则=1nnu称为正项级数，这时 (), 3 , 2 , 11=+nSSnn 所以 nS是单调增加数列， 它是否收敛就只取决于nS

101、是否有上界。 因此=1nnu收敛nS有上界，这是正项级数比较判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。 1比较判别法比较判别法 设0c，当Nn 时，0nnucv皆成立。 如果=1nnv收敛，则=1nnu收敛； 如果=1nnu发散，则=1nnv发散。 2比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式 设0nu，0nv，(), 3 , 2 , 1=n 若Avunnn=lim （1）当+nu，而=+nnnuu1lim （1）当1（包括+=）时，则=1nnu发散。 （3）当1=时，此判别法无效。 （注： 如果nnnuu1lim+不存在时， 此判别法也无法用。 ） 4根值判别法（柯西）根值判别法（柯西）

102、 设0nu，而=nnnulim （1）当1（包括+=）时，则=1nnu发散。 （3）当1=时，此判别法无效。 事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在1=情形都无能为力，数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作要求。 三交错级数及其莱布尼兹判别法三交错级数及其莱布尼兹判别法 1交错级数概念交错级数概念 若0nu，()=+111nnnu称为交错级数。 2莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 设交错级数()=+111nnnu满足： （1）(), 3 , 2 , 11=+nuunn （2）0lim=nnu 则()=+111

103、nnnu收敛， 且()11110uunnnp时，()=+111npnn是绝对收敛的。 （2）当10 p时，()=+111npnn是条件收敛的。 （3）当0p时, ()=+111npnn是发散的。 幂级数幂级数 一函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）一函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1函数项级数概念函数项级数概念 设( )xun(), 3 , 2 , 1=n皆 定 义 在 区 间I上 ， 则( )xunn=1称为区间I上的函数项级数 2收敛域收敛域 设I 0x，如果常数项级数()01xunn=收敛，则称0x是函数项级数( )=1nnxu的收敛点， 如果()=10nnxu发散，则称0x是

104、( )=1nnxu的发散点。 函数项级数( )=1nnxu的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。 所有发散点构成的集合称为发散域。 3和函数和函数 在( )=1nnxu的收敛域的每一点都有和，它与x有关，4129因此 ( )( )=1nnxuxS， x收敛域 称)(xS为函数项级数( )=1nnxu的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。 二幂级数及其收敛域二幂级数及其收敛域 1幂级数概念幂级数概念 ()=10nnnxxa称 为)(0xx 的 幂 级 数 ，), 2 , 1 , 0(=nan称为幂级数的系数，是常数。 当00=x时，=0nnnxa称为x的幂级数。 一般讨论=0nnnxa有关问

105、题，作平移替换就可以得出有关()=00nnnxxa的有关结论。 2幂级数的收敛域幂级数的收敛域 幂级数=0nnnxa的收敛域分三种情形 （1） 收敛域为),(+， 亦即=0nnnxa对每一个x皆收敛。我们称它的收敛半径+=R。 （2） 收敛域仅为原点， 除原点外幂级数=0nnnxa皆发散，我们称它的收敛半径0=R。 （3）收敛域为),(RR或RR,(或),RR或RR,中 的 一 种 ， 我 们 称 它 的 收 敛 半 径 为R)0(+ R。 所以求幂级数的收敛半径R非常重要， （1） ， （2）两种情形的收敛域就确定的。而) 3(的情形，还需讨论R两点上的敛散性。 如果laannn=+1lim

106、（包括+）或lannn=lim（包括+） 则收敛半径lR1=（若+=l， 则0=R； 若0=l，则+=R） 如果上述两极限不成立， 那么就要用其它方法求收敛半径，后面有所讨论。 三幂级数的性质三幂级数的性质 1四则运算四则运算 设)(0xfxannn=，1Rx ；( )=0nnnxgxb，2Rx 则()( )( )=0nnnnxgxfxba，()21,minRRx ()( )=+=00000)(nnnknknnnnnnnxgxfxbababaxbxa ()21,minRRx R，( )=0nnnxaxS为和函数，则有下列重要性质 （1）( )xS在()RR,内可导，且有逐项求导公式 ( )()

107、=0110nnnnnnnnnxnaxaxaxS 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出( )xS在4230()RR,内有任意阶导数，公式为 ( )( )()()knknkxknnnxS=+=11 ，Rx (), 3 , 2 , 1=k （2）( )xS在()RR,内有逐项积分公式 ( )=+=+=010001nnnnxnnxxnadttadttS 且这个幂级数的收敛半径也不变 （3）若( )=0nnnxSxa 在()RRx=成立。则有下列性质： （i）( )=0limnnnRxRaxS成立()( )()=+成立0limnnnRxRaxS （ii）( )=+=0101nnnRRnadxxS成立(

108、)()+=+成立0011RnnnRnadxxS （iii）=11nnnxna在()RRx=不一定收敛 也即( )RSRnannn=11不一定成立，()()RS+ 如果=0nnnxa在()RRx=发散， 那么逐项求导后的级数=11nnnxna在()RRx=一定发散， 而逐项积分后的级数=+011nnnxna在()RRx=有可能收敛。 四幂级数求和函数的基本方法四幂级数求和函数的基本方法 1把已知函数的幂级数展开式（把已知函数的幂级数展开式（8.3 将讨论）反过来用将讨论）反过来用 下列基本公式应熟背 （1）xxnn=110，1x （2）xnnenx=0!，+x （3）()()xnxnnnsin!

109、 121120=+=，+x （4）()()xnxnnncos! 2120=，+x （5）()()xnxnnn+=+=1ln1110，()11x （6）()()()xxnnnn+=+=1!1111，()11x（为实常数） 2用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式 3用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解 五利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和（强化班再讨论）五利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和（强化班再讨论） 将函数展开成幂级数将函数展开成幂级

110、数 一泰勒级数与麦克劳林级数的概念一泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1基本概念基本概念 设函数( )xf在点0x的某一领域0xx内具有任意阶导数，则级数( )()()=000!nnnxxnxf称为函数( )xf在0x处的泰勒级数。 （注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于( )xf都不知道）特别地，当00=x，则级数 ( )( )nnnxnf=0!0称为( )xf的麦克劳林级数。 4331 2函数展成幂级数的条件函数展成幂级数的条件 设( )xf在Rxx0内有任意阶导数，它的泰勒公式 ( )()()()()()( )()()( )xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+ +=00200000

111、! 2 其中( )xRn为n阶余项，它的拉格朗日型为 ( )()()()()() 10 ! 110001+=+nnnxxnxxxfxR 则( )( )()()=000!nnnxxnxfxf， Rxx0 的充要条件为( )0lim=xRnn Rxx0 而且( )xf在0x处幂级数展开式是唯一的。 特别地，00=x时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件。 二函数展成幂级数的方法二函数展成幂级数的方法 1套公式套公式 ( )()=00nnnxxaxf， Rxx0 ( )()!0nxfann= (), 2 , 1 , 0=n 例=0!1nnxxne， +x ()()=+=012! 121sinnnn

112、nxx， +x ()()()=+=+1!1111nnxnnx，1x， （为实常数） 2逐项求导逐项求导 例：()()()=02! 21sincosnnnnxxx，+x ()=11021111nnnnnxxxx，1x 3变量替换法变量替换法 例：=002.!1!12nnnntxxntnee，+x ()()()=+00222211111nnnnnxxxx，1x 4逐项积分法逐项积分法 例：()() =+=+xnnxdttdttx000111ln ()=+=0111nnnnx ()11x 由此可得 ()=+=0112lnnnn ()() =+=+=xnnnnnxnxdttdttx0001220212

113、111arctan ()11x 由此可得 ()41arctan1210=+=nnn 441第一讲第一讲 基本知识基本知识 二矩阵和向量二矩阵和向量 1线性运算与转置线性运算与转置 ABBA+=+ ()()CBACBA+=+ ()cBcABAc+=+ ()dAcAAdc+=+ ()()AcddAc= 00=ccA或0=A。 向量组的线性组合 s,21， ssccc+2211。 转置 A的转置TA（或A） ()AATT= ()TTTBABA= ()()TTAccA=。 3n阶矩阵阶矩阵 n行、n列的矩阵。 对角线，其上元素的行标、列标相等,2211aa 对角矩阵*000*000* 数量矩阵E330

114、0030003= 单位矩阵IE或100010001 上（下）三角矩阵*00*0* 对称矩阵AAT=。 反对称矩阵AAT=。 三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 初等变换分初等列变换初等行变换 三类初等行变换 交换两行的上下位置 BA 用非零常数c乘某一行。 把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵 34120100000320001521002014 如果有零行，则都在下面。 各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格单调上升。 或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。 台角：各非零行第一个非0元素所在位置。 简单阶梯形矩阵： 3台角位置的元

115、素都为台角位置的元素都为 1 4台角正上方的元素都为台角正上方的元素都为 0。 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。 如果A是一个n阶矩阵 A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵，反之不一定，如 100010100是上三角，但非阶梯形 四线性方程组的矩阵消元法四线性方程组的矩阵消元法 用同解变换化简方程再求解 三种同解变换： 交换两个方程的上下位置。 用一个非0数c乘某一个方程。 把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。 452 矩阵消元法： 写出增广矩阵()A，用初等行变换化()A为阶梯形矩阵()B。 用()B判别解的情况。 i）如果()B最下

116、面的非零行为()d0 , 0 ，则无解，否则有解。 ii）如果有解，记是()B的非零行数，则 n= 时唯一解。 n时无穷多解。 iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉()B的零行，得()00 B，它是()cnn+矩阵，0B是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 =nnnnbbbbB 11221100000*000*00*0* 则0 nnbiinnbb01 1都不为0。 于 是 把()00B化 出 的 简 单 阶 梯 形 矩 阵 应 为nccc21100000000100001 其方程为=, ,2211nncxcxcx 即()nccc,21就是解。 第二讲第二讲 行列式行列式 一形式与意义一形

117、式与意义 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 A 是n阶矩阵，A表示相应的行列式。 二定义（完全展开式）二定义（完全展开式） bcaddcba= 一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的值： 是! n项的代数和 每一项是n个元素的乘积，它们共有! n项 nnjjjaaa2121 其中njjj21是n, 2 , 1的一个全排列。 nnjjaa11前面乘的应为 ()()njjj211 ()njjj21的逆序数 n, 2 , 1 ()()=nnnjjjnjjjjjjaaa212121211 463 ()()()nnnnbbbbbb21211211*0

118、*00000= ()()()212112=nnCnnn 三计算（化零降阶法）三计算（化零降阶法） 余子式和代数余子式 称ijM为ija的余子式。 ()ijjiijMA+=1 定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列） ，各元素与各自代数余子式乘积之和。 nnAaAaAaD2222222121+= 四行列式的其它性质四行列式的其它性质 1转置值不变AAT= 2用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘c AccAn= 3行列式和求某一行（列）分解 ,2121+=+ ()321,=A，3 阶矩阵 ()321,=B BABA+ ()332211,+=+ BA 332211,+=+ BA 332213322

119、1,+= 4第一类初等变换使值变号 5如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。 6一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。 7BABABA=00 8范德蒙行列 ，则s,21一定相关。 0=Ax的方程个数， 则t,1一定线性相关。 记()sA,1=，()tB,1=，则存在ts矩阵C，使得 ACB =。 0=Cx有s个方程，t个未知数，ts | 唯一解()( )nAA=| 无穷多解()( )nAA=| 方程个数m： ()( )mAmA,| 当( )mA =时，()mA=|，有解 当nm 时，( )nA ，不会是唯一解 对于齐次

120、线性方程组0=Ax， 只有零解( )nA =（即A列满秩） （有非零解( )nA 的特征值检查。 推论：如果A有n个不同的特征值，则A一定可对角化。对角化的实现（可逆矩阵U的构造） ： 对每个特征值i，求出()0=xAEi的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，n,1。令()nU,21=，则 =nAUU000000000000211，其中i为i的特征值。 第七讲第七讲 二次型（实二次型）二次型（实二次型） 一基本概念一基本概念 1二次型及其矩阵二次型及其矩阵 二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如 ()32312123222132156423,xxxxxxxxxxxxf+

121、=是一个三元二次型，它的每一项都是二次，或是一个变量的平方，称为平方项或是两个不同变量的乘积，称为交叉项。 一个n元二次型的一般形式为 ()jijiijniiiinxxaxaxxxfnxxxf。 例如，标准二次型()222221121,nnnxdxdxdxxxf+=正定0id，ni, 1= （必要性“” ，取11=x，02=xxx，此时()00 , 0 , 11= df同样可证每个0id） 实对称矩阵正定即二次型AxxT正定，也就是：当0x时，0AxxT。 6219 例 如 实 对 角 矩 阵n 00000000 0000 21正 定0 i，ni, 1= 2性质与判别性质与判别 可逆线性变换替

122、换保持正定性。 ()nxxxf,21变为()nyyyg,21， 则它们同时正定或同时不正定。 BA，则A，B同时正定，同时不正定。 例如ACCBT=。如果A正定，则对每个0x ()0=ACxCxACxCxBxxTTTT （C可逆，0x，0Cx！ ） 我们给出关于正定的以下性质。 A正定EA 存在实可逆矩阵C，CCAT=。 A的正惯性指数n=。 A的特征值全大于0。 A的每个顺序主子式全大于0。 设A是一个n阶矩阵，记rA是A的西北角的r阶小方阵，称rA为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式） 。 判断A正定的三种方法： 顺序主子式法。 特征值法。 定义法。 附录一附录一 内积，正交矩阵，实对

123、称矩阵的对角化内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化 以下谈到的向量，矩阵都是在实数的范围中心，而向量的分量都是实数，矩阵的元素也都是实数。 一向量的内积一向量的内积 1定义定义 两个n维实向量,的内积是一个数，记作(),，规定为它们对应分量乘积之和。 设=nnbbbaaa2121,，则 ()nnbababa+=2211, T= 2性质性质 对称性：()(),= 双线性性质：()() (),2121+=+ ()() ()2121,+=+ ()()()ccc,= 正交性：()0,，且()00,= ()=niia12, 3长度与正交 3长度与正交 向量的长度()=niia12, 00= cc= 单位向

124、量：长度为1的向量 001，010，22022， 若0，则是单位向量，称为的单位化。 11= 两个向量,如果内积为 0：()0,=，称它们是6320正交的。 如果n维向量组s,21两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。 二正交矩阵二正交矩阵 一个实n阶矩阵A如果满足EAAT=，就称为正交矩阵。 1=AAT 定理 A是正交矩阵A的行向量组是单位正交向量组。 A的列向量组是单位正交向量组。 证：设()naA,21=，则 ()()()()=21221212121,nnnTAA 于是nTEAA,21=是单位正交向量组。 三施密特正交化方法三施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改

125、造为与之等价的单位正交向量组的方法。 c=12 设321,线性无关 正交化：令11= ()()1112122,= （设122k=，()()()111212,k= 当()()1112,=k时，12,正交。 ） ()()()()222321113133,= 单位化：令111=，222=，333= 则321,是与321,等价的单位正交向量组。 四实对称矩阵的对角化 四实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵，则 A的每个特征值都是实数。 对每个特征值，重数()AErn=。即A可以对角化。 属于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩阵Q，使得AQQ1是对角矩阵。 对每个特征值，找()0=x

126、AE的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 附录二附录二 向量空间向量空间 1n维向量空间及其子空间维向量空间及其子空间 记为nR由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。 设V是nR的一个子集，如果它满足 （1）当21,都属于V时，21+也属于V。 （2） 对V的每个元素和任何实数c，c也在V中。 则称V为nR的一个子空间。 例如n元齐次方程组0=AX的全部解构成nR的一个子空间，称为0=AX的解空间。 但是非齐次方程组=AX的全部解则不构成nR的子空间。 对于nR中的一组元素s,21，记它们的全部线性组合的集合为 ()任意i

127、sssccccL+=221121,， 它6421也是nR的一个子空间。 2基，维数，坐标基，维数，坐标 设V是nR的一个非0子空间（即它含有非0元素） ，称V的秩为其维数，记作Vdim。 称V的排了次序的极大无关组为V的基。 例如0=AX的解空间的维数为( )Arn ， 它的每个有序的基础解系构成基。 又 如()()ssrL,dim2121=，s,21的每个有序的极大无关组构成基。 设k,21是V的一个基，则V的每个元素都可以用k,21唯一线性表示： kkccc+=2211 称其中的系数()kccc,21为关于基k,21的坐标，它是一个k维向量。 坐标有线性性质： （1）两个向量和的坐标等于它

128、们的坐标的和： 如果向量和关于基k,21的坐标分别为()kccc,21和()kddd,21， 则+关 于 基k,21的坐标为 ()() ()kkkkdddcccdcdcdc,21212211+=+ （2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如 果 向 量关 于 基k,21的 坐 标 为()kccc,21， 则c关 于 基k,21的 坐 标 为()()kkcccccccccc,2121=。 坐标的意义：设V中的一个向量组t,21关于基k,21的 坐 标 依 次 为t,21， 则t,21和t,21有相同的线性关系。 于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。 3过渡矩阵，坐标变

129、换公式过渡矩阵，坐标变换公式 设k,21和k,21都是V的一个基，并设1在k,21中的坐标为()kiiiccc,21，构造矩阵 =kkkkkkcccccccccC212222111211， 称C为k,21到k,21的过渡矩阵。 ()()Ckk,2121=。 如 果V中 向 量在 其k,21和k,21中的坐标分别为 ()Tkxxxx,21=和()Tkyyyy,21=，则 ()xk,21= ()k,21=()Cyyk,21= 于是关系式： Cyx= 称为坐标变换公式。 4规范正交基规范正交基 如果V的一基k,21是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设的 坐 标 为()kccc,21，的 坐 标 为()kddd,21， 则()kkdcdcdc+=2211, 两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 65