初中教材知识点梳理

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1、备注：红色字体重点记忆备注：红色字体重点记忆人教版七年级上人教版七年级上第一章第一章 有理数有理数1.11.1 正数和负数正数和负数（一）正数：大于 0 的数叫正数，为了明确表达意义，正数前面加上符号“+”，这里的“+”通常省略；负数：小于 0 的数叫负数，在正数的前面加上符号“-”。（重点看教材例子）（二）0 既不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数。1.2.11.2.1 有理数有理数（一）有理数：整数和分数统称有理数。（二）有理数的分类：正整数正整数正有理数正分数整数零负整数有理数零有理数负整数正分数负有理数分数负分数负分数1.2.21.2.2 数轴数轴（一）数轴：

2、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。（二）画数轴的步骤：（1）画直线；（2）在直线上取一点作为原点；（3）确定正方向，并用箭头表示（4）根据需要选取适当单位长度。（三）一般的， 设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。1.2.31.2.3 相反数相反数（一） 相反数： 只有符号不同的两个数。 一般地 a 和-a 互为相反数， 0 的相反数还是 0。（二） 相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数。1.2.41.2.4 绝对值绝对值（一） 绝对值： 一般地， 数轴上表示

3、数 a 的点与远点的距离叫做数a 的绝对值， 记做1。（二）一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.即1.如果2.如果3.如果，那么，那么，那么；。4.有理数大小比较（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。（3）异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。1.31.3 有理数的加减法有理数的加减法（一）有理数的加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加

4、和为0；3.一个数同 0 相加，仍得这个数。（二）有理数加法的运算律1.加法的交换律：2.加法的结合律：；。（三） 有理数的减法法则： 减去一个数， 等于加上这个数的相反数。 即（四）引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：1.41.4有理数的乘除法有理数的乘除法（一）有理数的乘法法则：1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；2.任何数与 0 相乘都得 0。（二） 几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。（三）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于 0。（四）乘积是 1 的两个数互为倒数。（五）有理数乘法的运算律：1.乘法的交

5、换律：2.乘法的结合律：3.乘法的分配律：；。2（六）有理数的除法法则1.除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即。2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。（七）有理数加减乘除混合运算法则：先乘除，后加减。1.5.11.5.1 乘方乘方（一）乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，在叫做底数，n 叫做指数。（二）有理数乘方的法则：1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。2.正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。（三）有理数的混合运算顺序：（重点看教材例子）1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同

6、级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。中，1.5.21.5.2 科学计数法科学计数法科学记数法：把一个大于 10 的数记成是正整数），这种记数法叫科学记数法。的形式（其中 大于或等于 1 且小于 10，n1.5.31.5.3 近似数近似数近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数的精确到哪一位。第二章第二章 整式的加减整式的加减2.12.1 整式整式（一）单项式1.单项式： 式子中只含数或字母的积， 叫做单项式， 单独一个数或一个字母也是单项式。2.单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有

7、字母的指数的和叫做这个单项式的次数。（二）多项式1.多项式：几个单项式的和叫做多项式。 ，每个单项式叫做多项式的项， 不含字母的项叫常数项。2.多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。（三）整式单项式与多项式统称为整式。32.22.2 整式的加减整式的加减（一）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。（二）合并同类项：把多项式中的同类项合并成同一项，叫做合并同类项。（三）合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和， 且字母连同它的指数不变。（四）去括号法则：1.如果括号外面的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符

8、号相同；2.如果括号外面的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。（五）整式加减的运算法则：一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后在合并同类项。第三章第三章 一元一次方程一元一次方程3.13.1 从算式到方程从算式到方程3.1.13.1.1 一元一次方程一元一次方程（一）方程：含有未知数的等式叫方程。（二）一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。（三）解方程和方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。3.1.23.1.2 等式的性质等式的性质（一）等式两边加（或减）

9、同一个数（或式子），结果任相等。即如果。即如果，那么；如果，那么。，那么（二）等式的性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。3.23.2 解一元一次方程（一）合并同类项与移项解一元一次方程（一）合并同类项与移项移项：把等式一遍的某项变号后移到另一边，叫做移项。3.33.3 解一元一次方程（二）去括号与去分母解一元一次方程（二）去括号与去分母（一）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）。4（二）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等， 通过这些步骤可以使以x 为未知数的方程逐步向着x=a 的

10、形式转化， 这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等。3.43.4 实际问题与一元一次方程实际问题与一元一次方程（一）基本过程用一元一次方程解决实际问题的基本过程如本章开头所示。（二）常用公式1.行程问题：2.工程问题：3.比率问题：，；4.顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；5.商品价格问题：6.周长、面积、体积问题：, ,利润=售价-成本，,;，。第四章第四章 几何图形初步几何图形初步4.14.1 几何图形几何图形4.1.14.1.1 立体图形与平面图形立体图形与平面图形（一）立体图形：几何体的各部分不都在同一平面内的图形叫做几何图形。（二）平面图形：有

11、些几何图形的各部分都在同一平面内叫做平面图形。（三）展开图： 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。4.1.24.1.2 点、线、面、体点、线、面、体（一）体：几何体也简称为体。（二）面：包围体的是面。（三）线：面和面相交的地方形成线。（四）点：线和线相交的地方形成点。4.24.2 直线、射线、线段直线、射线、线段5（一） 事实： 经过两点有一条直线， 并且只有一条直线。 简单说成： 两点确定一条直线。（二）相交：当两条不同的直线有一个公共点时， 称这两条直线相交，这个公共点叫做交点。（三）中点：点 M 把线段 A

12、B 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫做线段 AB 的中点。（四）基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。（五）距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。4.34.3 角角4.3.14.3.1 角角（一）角的单位：度( )、分( )、秒( )。（二）单位换算：，。4.3.24.3.2 角的比较与运算角的比较与运算角的平分线：一般的，从一个顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。4.3.44.3.4 余角和补角余角和补角（一）余角：如果两个角的和等于 90（直角），就说这两个角互为余角，其中每一个角是另一个角的余角。（二）补角：

13、如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角（三）性质：同角（等角）的补角相等。同角（等角）的余角相等。第五章第五章 相交线与平行线相交线与平行线5.15.1 相交线相交线（一）相交线（一）相交线1.邻补角： 两条直线相交所构成的四个角中， 有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。也可以表述为两个角有一条公共边，另一条边互为反向延长线。2.对顶角： 一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线， 像这样的两个角互为对顶角。3.性质：对顶角相等。（二）垂线（二）垂线1.垂直：直线 与 的夹角为 90时，我们说 与 互相垂直，记作。2.垂线：两条直线相交所成

14、的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。63.几何语言：ABCD,AOC=90或者AOC =90AB CD4.垂线的画法：一靠、二过、三画一靠：把三角板的一条直角边靠在已知直线上；二过：让三角板的另一条直角边经过已知的点；三画：沿着直角边经过已知点画直线。5.性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（点在线外和点在线上两种情况）（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。6.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。7.同位角、 内错角、 同

15、旁内角 （两条直线被第三条直线所截，三线八角）（1）同位角：1 与5 像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。（F 型）（2）内错角：2 与6 像这样的一对角叫做内错角。（Z型）（3）同旁内角：2 与5 像这样的一对角叫做同旁内角。（U 型）5.25.2 平行线及其判定平行线及其判定（一）平行线（一）平行线1.平行线： 在同一平面内， 不相交的两条直线叫做平行线。 与 互相平行， 记作2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3.推论： 如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 即如果，那么。，（二）平行线的判定（二）平行线的判定1.两条直线被第三条直

16、线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行；2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行；3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。5.35.3 平行线的性质平行线的性质（一）平行线的性质（一）平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。72.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行， 同旁内角互补

17、。（二）命题、定理、证明（二）命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题是由题设和结论两部分组成， 命题常可以写成如果那么的形式。即如果+题设，那么+结论。2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 性质和定理都是真命题。3.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。4.定理：经过推理证实得到的命题叫做定理。5.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能做出正确判断，这个推理过程叫做证明。5.45.4 平移平移（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。（二） 对应点： 平移后得

18、到的新图形中每一点， 都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。（三）平移特点：1.平移不改变图形的形状和大小；2.对应点连线平行且相等。人教版七年级下人教版七年级下第六章第六章 实数实数6.16.1 平方根平方根（一）算术平方根：如果一个正数 的平方等于 ，即，那么这个正数 叫做 a 的算术平方根。 的算术平方根记为 ， 叫做被开方数，a0.（二）规定：0 的算术平方根是 0。（三）平方根： 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根。如果叫做 a 的平方根。注意-3 是 9 的平方根；9 的平方根是 3 和-3。（四）开平方：求一个数 的平方根的运算，叫做

19、开平方。（五）被开方数越大，对应的算术平方根也越大。（六）正数有两个平方根，他们互为相反数；0 的平方根是 0，负数没有平方根。（七）算数平方根是他本身的数是0，1。平方根是他本身的数是0。6.26.2 立方根立方根（一）立方根：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根。（二）开立方：求一个数 的立方根的运算，叫做开立方。8（三）表示方法：一个数 的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号 ”，其中 是被开方数，3 是根指数。（四）立方根是他本身的数是-1，0，1。6.36.3 实数实数（一）无理数：无限不循环小数又叫无理数。无理数分为三类：（1）开方开不尽的数，如3,7（2

20、）含有的数（3）具有一定规律的无限不循环小数，0.1001001（二）实数：有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应。（三）分类：或（四）性质：1.数 a 的相反数是-a。2.一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。即设 表示一个实数，则有：第七章第七章 平面直角坐标系平面直角坐标系7.17.1 平面直角坐标系平面直角坐标系（一）有序数对（一）有序数对有序数对：有顺序的两个数a 与 b 组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）。（二）平面直角坐标系（二）平面直角坐标系1.平面直角坐标系： 在平面内， 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐

21、标系。2.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x 轴或横轴；竖直的数轴称为y 轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。3.坐标：对于平面内任一点 P，过 P 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在 x 轴，y 轴上，对应的数 a,b 分别叫点 P 的横坐标和纵坐标。4.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分， 右上部分叫第一象限， 按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 5.已知点到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值，到y 轴的距离为横坐标的绝对值。96.AB 与 x 轴平行，那么 A,B 两点的纵坐标相同，AB 与 y 轴平行，那么 A,B 两点的横坐

22、标相同。7.27.2 坐标方法的简单应用坐标方法的简单应用（一）用坐标表示地理位置（一）用坐标表示地理位置利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：1.建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；2.根据具体问题确定单位长度；3.在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。（二）用坐标表示平移（二）用坐标表示平移一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加 （或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）

23、平移a 个单位长度。第八章第八章 二元一次方程组二元一次方程组8.18.1 二元一次方程组二元一次方程组（一）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次。二元一次方程的一般形式是。（二） 二元一次方程组： 把两个二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组。（三）二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。一般地，二元一次方程的解有无数个。（四）二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。8.28.2 消元解二元一次方程组消元解二元一次方程组（一）消元：将未知数的个

24、数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。（二）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来， 再代入另一个方程， 实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解， 这种方法叫做代入消元法， 简称代入法。（三）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时， 将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。二元一次方程组消元一元一次方程8.38.3 实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组解应用题过程：审、设、列、解、验、答108.48.4 三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法（一）三元一次方程组： 方程组含有三个未知数， 每个方

25、程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。（二）解方程组思路：。第九章第九章 不等式与不等式组不等式与不等式组9.19.1 不等式不等式（一）不等式及其解集（一）不等式及其解集1.不等式：用符号“”“”“ ”“”表示大小关系的式子叫做不等式。2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程叫做解不等式。（二）不等式的性质（二）不等式的性质1.不等式的两边都加上 （或减去） 同一个数 （或式子） ， 不等号的方向不变。 即如果那么；2.不等式的两边都乘

26、以 （或除以） 同一个正数， 不等号的方向不变。 即如果，那么；，3.不等式的两边都乘以 （或除以） 同一个负数， 不等号的方向改变。 即如果那么。9.29.2 一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式， 只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。9.39.3 一元一次不等式组一元一次不等式组（一）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。（二）解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组（三）解一元一次不等式组时， 一般先求出其中各不等式的解集

27、， 在求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。（四）解不等式组口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无解可找。第十章第十章 数据的收集、整理与描述数据的收集、整理与描述1110.110.1 统计调查统计调查（一）全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。（二）抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。（三）个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。（四）样本：被抽取的所有个体组成一个样本。（五）样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。（六）简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到， 像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。（七

28、） 归纳： 全面调查和抽样调查是收集数据的两种方法。 全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。10.210.2 直方图直方图1.频数：一般地，我们称落在各个小组内的数据个数为该组的频数。2.频率：频数与数据总数的比为频率。3.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组， 分成组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。（一）基本概念（一）基本概念（二）直方图与条形图（二）直方图与条形图相同之处：条形图与直方图都是

29、在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形。不同之处：直方图组距是相等的，而条形图不一定。直方图各矩形间无空隙，而条形图则有空隙。直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反映这点。扇形统计图：圆心角的度数 = 百分比 360人教版八年级上人教版八年级上第十一章第十一章 三角形三角形11.111.1 三角形三角形二、知识梳理二、知识梳理（一）三角形的边（一）三角形的边1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.分类：123.三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.即两边之差第三边0 时，a-p 的值一定是正的; 当 a0时，直线 y=kx

30、经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，当 k0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时， y 随 x 的增大而减小。b. 0k 0b = 0b 0(1)(2)(3)(1)(2)(3)b. 0k 0b = 0b 0(1)(2)(3)(1)(2)(3)3.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法（三）一次函数与方程、不等式（三）一次函数与方程、不等式方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来。解决问题是，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。19.319.3 课题学习课题学习 选择方案选择方案解决含有多个变量的问题时， 可以分析这些变量之间的关系， 从中选取一个取值能

31、够影响其他变量的值的变量作为自变量， 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数， 以此作为解决问题的数学模型。第二十章第二十章 数据的分析数据的分析20.120.1 数据的集中趋势数据的集中趋势（一）平均数（看教材例子）（一）平均数（看教材例子）加 权 平 均 数 ： 一 般 地 ， 若n个 数叫做这n个数的加权平均数。的 权 分 别 是， 则（二）中位数和众数（二）中位数和众数1.中位数：将一组数据按照由小到大 （或由大到小）的顺序排列， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数； 如果数据的个数是偶数， 则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。232.众数：一组

32、数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。20.220.2 数据的波动程度数据的波动程度（一）方差：。（二）方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。20.320.3 体质健康测试中的数据分析体质健康测试中的数据分析基本步骤：（一）收集数据：1.确定样本；2.确定抽取样本的方法。（二）整理数据。（三）描述数据。（四）分析数据。（五）撰写调查报告。（六）交流。人教版九年级上人教版九年级上第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程21.121.1 一元二次方程一元二次方程（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方

33、程，叫做一元二次方程。（二） 一元二次方程的一般形式： 一般地， 任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理，都能化成如下形式。 这种形式叫做一元二次方程的一般形式。 其中是二次项， 是二次项系数；是一次项， 是一次项系数； 是常数项。（三） 一元二次方程的根： 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。（四）判断方程是否为一元二次方程，需要化简后判断。21.221.2 解一元二次方程解一元二次方程（一）配方法（一）配方法1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)=

34、 p的形式，那么就有：224（1）当（2）当（3）当时，方程有两个不等的实数根：时，方程有两个相等的实数根：时，因为对任意实数 ，都有；，所以方程无实数根。用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移：移项，将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边；二化：二次项系数化为 1，左右两边同时除以二次项系数；三配：配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方；四开：开平方求根。（二）公式法（二）公式法1.判别式：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即。2.当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。3.当时,方程的实数根可写为的形式，这个式子

35、叫做一元二次方程的求根公式。 解一个具体的一元二次方程时， 八个系数直接带入求根公式的方法叫做公式法。用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化成一般形式。并写出a，b，c 的值。(2)求出b24ac的值(3)代入求根公式。(4)写出方程的解x1,x2（三）因式分解法（三）因式分解法先因式分解， 使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式， 再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边化为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一

36、次方程，他们的解就是一元二次方程的解。（四）一元二次方程的根与系数的关系（四）一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系：一元二次方程中，。21.321.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（一）常见题型（一）常见题型1.平均增长率问题：2.几何图形面积问题253.传播问题4.销售利润问题：利润率 =利润100% =售价-进价100%进价进价5.握手问题第二十二章第二十二章 二次函数二次函数22.122.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质（一）二次函数（重点看例子）（一）二次函数（重点看例子）二次函数：一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中， 是自变量，分别是函数解析式的

37、二次项系数、一次项系数和常数项。（二）二次函数（二）二次函数的图像和性质的图像和性质二次函数的性质：抛物线的对称轴是 y 轴，顶点是原点。 当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物线，越大，抛物线的开口越小。（三）二次函数（三）二次函数二次函数不同，把抛物线的图像和性质的图像和性质的性质：抛物线与向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线26形状相同，位置。平移的方向、 距离要根据的值来决定。 特点如下： （1） 当开口向下。（2）对称轴是。（3）顶点是。时， 开口向上； 当时，（四）二次函数（四）二次函数的图像和性质的图像和性质1.二

38、次函数的解析式三种形式：（1）一般式；（2）顶点式（3）交点式2、二次函数图像与性质：（1）对称轴：（2）顶点坐标：；，。；（3）与 y 轴交点坐标（0，c） ；（4）增减性：当时，对称轴左边，y 随 增大而减小；对称轴右边， 随 增大而增大；当时，对称轴左边， 随 增大而增大；对称轴右边， 随 增大而减小。3、二次函数图象画法： （1）开口方向 （2）对称轴 （3）顶点 （4）与 轴交点 （5）与 y 轴交点4、图象平移步骤： （1）配方：，确定顶点； （2）对 轴 左加右减；对 轴上加下减。5、二次函数的对称性：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为其对应的纵坐标相等那么对称轴6

39、、 根据图像判断。的符号： （1） 决定开口方向 ； （2） a,b 可以用左同右异判断 （对称轴在 y 轴左边，a，b 符号相同，对称轴在y 轴右边，a，b 符号相反） ； （3）c 是由抛物线与 y 轴的交点决定的。22.222.2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系： 抛物线与 轴交点的横坐标是一元二次方程的根；抛物线，当时，抛物线便转化为一元二次方程。时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 轴有两个交点；时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 轴有一个交点；时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与 轴没有交点。22.322

40、.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数常见题型：1.利用二次函数求图形面积的最值问题 2.利用二次函数求最大利润问题 3.利用二次函数解决抛物线形的建筑问题27第二十三章第二十三章 旋转旋转23.123.1 图形的旋转图形的旋转旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，叫做图形的旋转。 点 0 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。23.223.2 中心对称中心对称（一）中心对称（一）中心对称中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180后能与另一个图形重合，那么我们就说，这

41、两个图形成中心对称。 这个点叫做对称中心， 这两个图形在旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。中心对称的性质：1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。2.中心对称的两个图形是全等图形。（二）中心对称图形（二）中心对称图形1.中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。2.中心对称图形的性质：（1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形。（三）关于原点对称的点的坐标（三）关于原点对称的点的坐标性质：两个点关于原点对

42、称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为 P（-x，-y）。23.323.3 课题学习课题学习 图案设计图案设计第二十四章第二十四章 圆圆24.124.1 圆的有关性质圆的有关性质（知识点简单读一遍，有个印象）（知识点简单读一遍，有个印象）（一）圆（一）圆1.圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 所形成的的图形叫做圆。其固定的端点O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。也可以说成到定点的距离等于定长的点的集合。28圆的表示方法：以 O 为圆心的圆，记作O,读作圆 O。2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧。大于半圆的弧称为优弧

43、，小于半圆的弧称为劣弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（二）垂直于弦的直径（二）垂直于弦的直径1.对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。4.对于一个圆和一条直线， 如果具备下列五个条件中任意两个， 那么可以推出其他是三个：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分

44、弦所对的优弧。（知二推三）（三）弧、弦、圆心角（三）弧、弦、圆心角1.圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。3.圆心角推论：（1） 在同圆或等圆中， 如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦相等；（2） 在同圆或等圆中， 如果两条弦相等， 那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧相等。（四）圆周角（四）圆周角1.圆周角：顶点在圆上，且它的两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半。3.圆周角推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相

45、等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。4.圆内接多边形： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。5.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。24.224.2 点和圆、直线和圆的位置关系点和圆、直线和圆的位置关系（一）点和圆的位置关系（一）点和圆的位置关系1.圆和点的位置关系： 以点P与圆O的为例 （设O 的半径为r， 点P到圆心的距离OP=d） ，则有：（1）点 P 在圆外dr；（2）点 P 在圆上dr；（3）点 P 在圆内dr。2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。3.外接圆： 过三角形的三个

46、顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。29三角形外心的位置： 锐角三角形的外心在三角形内部； 直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。反证法： 假设命题的结论不成立， 由此经过推理得出矛盾， 有矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。用反证法证明命题的步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）有矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题结论正确。（二）直线和圆的位置关系（二）直线和圆的位置关系1.直线与圆有 3 种位置关系：以直线l与圆 O 的为例（设O 的半径为 r，圆心到直

47、线的距离为 d），则有：（1）直线l与O 相交 d r，直线和圆有两个公共点；（2） 直线l与O 相切 d = r，直线和圆只有一个公共点， 就说这条直线和圆相切，这个点叫做切点。（3）直线 l 与O 相离 d r，直线和圆没有公共点。2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。4.切线长：经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间线段的长， 叫做这点到圆的切线长。5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。6.内切圆： 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切

48、圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，称为三角形的内心。7.两圆之间有 5 种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 两圆的半径分别为 R 和 r， 且 Rr， 圆心距为 P： 外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 R-rPR+r；内切 P=R-r；内含 PR-r。24.324.3 正多边形和圆正多边形和圆正多边形的中心、半径、中心角、边心距：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一对边所对的圆心角叫做正

49、多边形的中心角。中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。24.424.4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积（一）扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。（二）扇形弧长：。30nR21=lR。（三）扇形面积：s =3602（四）圆锥:是由一个底面和一个侧面围成的几何体。圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。1s侧=2rl =rl2（五） 圆锥侧面积：（六）圆锥的全面积：s全= s侧+ s底=rl +r2第二十五章第二十五章 概率初步概率初步25.125.1 随机事件与概率随机事件与概率（一）随机事件（

50、一）随机事件 1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；3.必然事件和不可能事件统称为确定事件。4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。（二）概率（二）概率1.概率：把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为 P(A)。2.一般地，如果在一次试验中， 有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等， 事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率3.， 特别地， 当A为必然事件时，。； 当A为不可能事件时，。25.225.2 用列举法求概率用列举法

51、求概率（一）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个， 且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。（二）列举法常用的表现形式有：（重点看教材的例子）1.直接列举法：适用于涉及的对象比较单一且出现的等可能结果较少的情况。2.列表法：当一次设计两个因素时， 且可能出现的结果较多时， 为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。3.画树状图法：当一次试验涉及 3 个因素或 3 个以上的因素时，列表法就不方便了， 为不重不遗漏地列出所有可能的结果，通常用画树状图法。3125.325.3 用频率估计概率用频率估计概率（一）适用条件：当试验的所有结

52、果不是有限个， 或者各种可能结果发生的可能性不相等时常用频率估计概率。（二）归纳：利用多次重复试验， 通过统计试验结果估计概率的方法叫做用频率估计概率。当试验的次数 n 足够大，频率越接近真实值。（三）注意：概率是针对大量重复试验而言的， 大量重复试验反应的规律并非在每一次试验中都发生。人教版九年级下人教版九年级下第二十六章第二十六章 反比例函数反比例函数（一）反比例函数（一）反比例函数k形如 yx（k 为常数，k0）的函数称为反比例函数。其，y = kx，1y = k他形式1x（二）反比例函数的图象和性质（二）反比例函数的图象和性质1.作函数图象的一般步骤，列表、描点、连线。（1）自变量不能

53、取 0，应多取一些互为相反数的数，这样计算比较简单。（2）列表描点时要多取部分数值，多描部分点，以便于连线和表达图象的趋势.（3）连线时不能连成折线。（4）曲线它不能与 x 轴 y 轴相交。（5）所连曲线没有端点。y =2. 比较函数44y = x和x图象，它们有什么相同点和不同点？相同点:形状：图像分别都是由两支曲线组成。与坐标轴的关系：都不与坐标轴相交.对称：两个函数图像自身都是轴对称图形,它们各有两条对称轴；两个函数图像自身都是中心对称图形,对称中心是坐标原点.不同点:32y =位置：四象限内。44y = x两支曲线分别位于第一、三象限内，x两支曲线分别位于第二、y =图象变化趋势：44

54、y = x每一支曲线 y 都随 x 的增大而增大，x每一支曲线 y 都随x 的增大而减小。3.反比例函数的图象： 反比例函数的图象属于双曲线。 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x。对称中心是：原点。4.反比例函数的性质：（1）当 k0 时双曲线的两支分别位于第一、 第三象限，在每个象限内y 值随 x 值的增大而减小；（2） 当 k0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而增大。5.与坐标轴的关系： 当 x 的绝对值无限增大或接近于零时， 反比例函数图像的两个分支都无限接近两坐标轴，但永远不能与两轴相交6.

55、|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。（三）实际问题与反比例函数（三）实际问题与反比例函数1.体积与边长问题2.杠杆问题古希腊科学家阿基米德发现的 “杠杆定理”，其本质体现的是力与力臂两个量的反比例关系。第二十七章第二十七章 相似相似（一）（一） 图形的相似图形的相似1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。2.相似多边形：两个变数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。3.相似多边形的性质：相似多边形对应角相等,对应边的比相等。3.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。（二）相似三角形的判定（二）相

56、似三角形的判定1. 用相似符号“”表示两个三角形相似，书写时应把对应顶点写在对应位置上。2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 互为相似形的三角形叫做相似三角形 。3.相似比： 如果两个三角形相似， 那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比(或相似系数)， 这里， 必须注意的是顺序问题和对应问题。例如：ABCDEF，那么是ABC 与DEF 的相似比，而是指DEF 与ABC的相似比，而这两相似比互为倒数。由此可说明全等三角形是相似三角形当相似比等于l时约特殊情况。334.平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行

57、线所截， 所得的对应线段成比例。 结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例。5.判定相似三角形的定理：（所有判定定理重点看推导证明过程*）（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边成比例的两个三角形相似；（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角分别相等的两个三角形相似。（三）相似三角形的性质（三）相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；2.相似三角形对应线段的比等于相似比；3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。（四）相似三角形应用举例

58、（四）相似三角形应用举例利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。“相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。（五）（五） 位似位似位似图形： 对应顶点的连线相交于一点的两个相似图形叫做位似图形。 这点叫做位似中心。位似变换中对应点的坐标的变化规律： 在平面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k。第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数（一）锐角三角函数（一）锐角三角函数1.RtABC 中，A的对边(1)A 的对边与斜边的比值是A 的正弦，记作 sinA斜边A的邻边(2)A 的邻边与

59、斜边的比值是A 的余弦，记作 cosA斜边A的对边(3)A 的对边与邻边的比值是A 的正切，记作 tanAA的邻边2.特殊值的三角函数：a a303045456060sinasina1 12 22 22 23 32 2cosacosa3 32 22 22 21 12 2tanatana3 33 31 13 3（二）解直角三角形及其应用（二）解直角三角形及其应用34解直角三角形：由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程， 叫做解直角三角形。应用举例归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）。2.根据问题中

60、的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形。3.得到数学问题的答案。4.得到实际问题的答案。第二十九章第二十九章 投影与视图投影与视图（一）投影（一）投影1.投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。2.平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。3.中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。4.正投影：垂直于投影面产生的投影叫做正投影。5.归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个免得正投影与这个面的形状、大小完全相同。（二）三视图（二）三视图1.视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。2.三视图： 对一个物体在三个投影面内进行正投影， 在正面内得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图； 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图； 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图。3.三视图特点：主视图与俯视图的长对正； 主视图与左视图的高平齐； 左视图与俯视图的宽相等。35