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1、定积分定义定积分定义第第6章章 定积分定积分2024/7/242微积分定积分二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义2024/7/249微积分定积分被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和2024/7/2410微积分定积分注意：注意：2024/7/2411微积分定积分定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理2024/7/2412微积分定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义2024/7/2413微积分定积分例例 利用定义计算定积分利用定义计算定积
2、分解解f(x) 在在0,1上连续，上连续，故故 存在存在将将0,1n等分等分, 分点分点(i1,2,n)取取(i1,2,n)思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分解答解答原式原式或或15对定积分的对定积分的补充规定补充规定:五、定积分的基本性质五、定积分的基本性质2024/7/2416微积分定积分证证性质性质2 2性质性质1 12024/7/2417微积分定积分证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质3 32024/7/2418微积分定积分补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例
3、例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质4 4abc2024/7/2419微积分定积分证证性质性质5 5注：若注：若f(x) x2024/7/2421微积分定积分证证注注:(1)此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围性质性质6 6(2)若若mf(x)M ，或：，或：mf(x)M且等号仅在一些且等号仅在一些孤立点成立，则孤立点成立，则2024/7/2422微积分定积分解解2024/7/2423微积分定积分证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公
4、式积分中值公式2024/7/2424微积分定积分使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：注注: 称称 为函数为函数f(x)在在a,b上的上的 平均值平均值.25微积分定积分思考思考k(ba)02024/7/2426微积分定积分五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：1.分割分割 2.近似近似 3.求和求和 4.取极限取极限2024/7/2427微积分定积分作业：P2081(4)(6)(7)2(2)(3)(4)2024/7/2428微积分定积分 曲边梯形的面积曲边梯形的面积(1)分割分割-任意任意n份份yaf
5、 (x)b2024/7/2429微积分定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积(2)近似近似yf (x)ab2024/7/2430微积分定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积(3)求和求和yf (x)ab2024/7/2431微积分定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积(4)取极限取极限yf (x)ab2024/7/2432微积分定积分小小 结结曲边梯形的面积曲边梯形的面积(1)分割分割(2)近似近似 (以直代曲以直代曲)(3)求和求和(4)取极限取极限yf (x)ab变速直线运动变速直线运动 的距离的距离 (1)分割分割(2)近似近似(以不变代变以不变代变)(3)求和求和(4)取极限取极限ab分析问题的共同点：1 1）问题的结果决定于一个函数及其自变量的）问题的结果决定于一个函数及其自变量的变化区间；变化区间；2 2）解决问题（）解决问题（“变变”与与“不变不变”、“曲曲”与与“直直”）的方法均通过）的方法均通过分割整体分割整体为局部，在局为局部，在局部进行部进行近似替代近似替代，再，再求和求和，以求得整体的近似，以求得整体的近似值，最后，在无限细分的值，最后，在无限细分的极限过程极限过程中求得整体中求得整体的精确值。的精确值。2024/7/2435微积分定积分下 课2024/7/2436微积分定积分
