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1、第二节第二节 留数定理留数定理R4.2.1 4.2.1 留数定义及留数基本定理留数定义及留数基本定理设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则存在则存在 R0,内内Laurent在在.使得使得f (z)在在内解析内解析.级数为级数为在在 内取分段光滑正向简单曲线内取分段光滑正向简单曲线C , 00.曲线曲线C包含包含z0在其内部在其内部. 考虑积分考虑积分 根据根据 , 积分与曲线积分与曲线C的选取无关的选取无关 即即定义定义 设设z0是是f (z)的孤立奇点的孤立奇点, C是在是在z0的充分的充分小邻域内包含小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单曲线，在其内部的分段光滑正向简单曲线，积分
2、积分 称为称为f (z)在在z0点的点的留数留数(Residue), 记做记做 函数函数 f (z)在孤立奇点在孤立奇点z0点的留数即是其在点点的留数即是其在点 z0的去心领域内的去心领域内Laurent级数级数-1次幂项的系数次幂项的系数. 留数定理留数定理 设函数设函数f (z)在区域在区域D内除有限内除有限个孤立奇点个孤立奇点外处处解析外处处解析, C是是D内内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单闭曲线闭曲线, 则则 根据留数定理根据留数定理, 函数在闭曲线函数在闭曲线f (z)上的积分可上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算归结为函
3、数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题问题. 证明分别以证明分别以 为为 中心中心, 作半径充分小的正向圆周作半径充分小的正向圆周 .C1C2Cn使得它们中的每个使得它们中的每个都在其余的外部都在其余的外部, 而都在而都在C的内部的内部. 根据根据 , 再由留数的定义再由留数的定义, 即得即得第三节第三节 留数的计算留数的计算(1) 如果如果为为的可去奇点的可去奇点, 则则如果如果 为为 的的1阶极点阶极点, 那么那么法则法则1 1成成Laurent级数级数, 求求(3) 如果如果为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则(2) 如果如果为为的本性奇点的本性奇点, 展开展开则需将则需
4、将)(zf留数的计算方法留数的计算方法证明由于证明由于z0是是 f (z)的的1阶极点，所以在阶极点，所以在z0的的 某个去心邻域内的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为级数展开式为 故故所以所以 例例1求求 和和 在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数. 由于由于 z=0是是g(z)的的1阶极点，于是阶极点，于是易知易知z=1和和z=2都是都是 f (z)的的1阶极点，故阶极点，故 法则法则2 2设设及及在在都解析都解析. 如果如果那么那么为为f (z)的的1阶极点阶极点, 并且并且证明证明 由条件易知由条件易知z0是是f (z)的的1阶极点阶极点. 于是于是例例2求求 在孤立奇点处的留
5、数在孤立奇点处的留数.处解析，且处解析，且 所以所以 是是 f (z)的的1阶极点，并且阶极点，并且 显然显然 和和 都在都在 如果如果 为为 的的 阶极点阶极点, 取正整数取正整数 法则法则3 3证明证明 由于由于z0是是 f (z)的的m阶极点，所以在阶极点，所以在z0的的 某个去心邻域内的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为级数展开式为 那么那么因此因此对上式求对上式求阶导数阶导数, 得得 +(含有含有 正幂的项正幂的项),所以所以于是于是例例3求求 在在z= -1处的留数处的留数. 解解 显然显然z= -1是是f (z)的的n阶极点，所以阶极点，所以 如果如果z0是是f (z)的
6、的m阶极点，有时在阶极点，有时在 中取中取nm来计算更为方便来计算更为方便.例例4求求 在在z=0处的留数处的留数. 根据根据 可知可知, z=0是是f (z)的的3阶极点阶极点, 在在 法则法则3中取中取n=5, 则则 如果在法则如果在法则3中取中取n=3, 那么计算就要麻烦得多那么计算就要麻烦得多.例例5 计算积分计算积分 其中其中C是是 的正向的正向. 的的1阶极点，并且都在阶极点，并且都在C的内部的内部. 所以所以 根据留数定理和法则根据留数定理和法则2, 显然显然 是函数是函数极点极点z=3在在 的外部的外部. 分别是分别是f (z)的的3阶和阶和1阶极点阶极点, 都在都在 的内部的
7、内部. 而而 例例6 计算算积分分其中其中C是是 的正向的正向. 记记 显然显然z=0和和z=1于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理例例7 求求 在在z=0处的留数，并求处的留数，并求 其中其中C是是 的正向的正向. 解解 易见易见z=0是函数是函数f (z)的本性奇点，并且的本性奇点，并且 因此因此于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理小结小结u留数定理u留数的计算法则Karl Weierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德国数学家德国数学家. 曾在波恩大学学曾在波恩大学学习法律习法律, 1838年转学数学年转学数学. 后来成后来成为中学教师为中学教师, 不仅教数学、物理不仅教数学、物理, 还教写作和体育还教写作和体育, 在这期间刻苦进行数学研究在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任年到柏林大学任教教, 1864年成为教授年成为教授.Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位是将严格的论证引入分析学的一位大师大师, 他发现了处处不可微的连续函数他发现了处处不可微的连续函数, 与其他一与其他一些些数学家一起共同结束了分析学的混乱局面数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.
