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1、微积分上复习微积分上复习2/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第一章第一章 函数函数1.函数概念函数概念函数的两要素：定义域函数的两要素：定义域Df和对应规则和对应规则f, 由由f (x) 求求 f(x)2.函数的基本性质函数的基本性质奇偶性、单调性、有界性与周期性奇偶性、单调性、有界性与周期性3.反函数的概念反函数的概念本义反函数、矫形反函数本义反函数、矫形反函数单调函数一定存单调函数一定存在反函数。在反函数。4.经济函数经济函数成本函数、收益函数、利润函数成本函数、收益函数、利润函数同步练习同步练习P1 一、一、4，12，93/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上
2、）（上）4/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）5/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）6/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）7/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）8/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）9/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第三章第三章 导数与微分导数与微分1.导数的概念和几何意义导数的概念和几何意义切线方程：切线方程：2.导数的计算导数的计算(1)求导公式及四则运算法则求导公式及四则运算法则注：定义式注：定义式求导：求导：分段函数分段点分段函数分段点某点是某点是否可导未知否
3、可导未知用公式求导太繁。用公式求导太繁。同步练习同步练习P6 一、一、6二、二、2，3，4同步练习同步练习P7 一、一、2310/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(2)复合函数复合函数求导求导链式法则链式法则(4)对数求导法对数求导法方程两边同时对方程两边同时对 x 求导求导, ,再解再解以以y为未知数为未知数的方程的方程. .(3)隐函数求导法隐函数求导法先方程两边取对数先方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数. .(5)高阶导数高阶导数只须逐阶求导只须逐阶求导:同步练习同步练习P6 一、一、13，33，35二、二、6，9，
4、1611/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(6)幂指函数求导法幂指函数求导法取自然对数化为隐函数再求导取自然对数化为隐函数再求导. .利用对数恒等式化为利用对数恒等式化为以以e为底的复合函数为底的复合函数, ,再求导再求导. .3.微分的概念及计算微分的概念及计算(1)微分公式及四则运算法则微分公式及四则运算法则(2)微分形式不变性微分形式不变性(3)微分的近似计算微分的近似计算同步练习同步练习P6 一、一、8，28，3112/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）4.连续、可导、可微的关系连续、可导、可微的关系5.边际与弹性边际与弹性6.分段函数的连续与可导
5、判断分段函数的连续与可导判断 边际成本边际成本边际收益边际收益表示销售第表示销售第(x +1)个产品所增加的收入近似值个产品所增加的收入近似值. .边际利润边际利润表示销售第表示销售第(x +1)个产品所增加的利润近似值个产品所增加的利润近似值. .表示生产第表示生产第(x +1)个产品所增加的成本近似值个产品所增加的成本近似值. .当价格为当价格为p 时，若提价时，若提价( (降价降价)1%)1%，则需求量将减少，则需求量将减少（增加）（增加）同步练习同步练习P7 一、一、27二、二、513/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数
6、的应用1.中值定理中值定理(1)罗尔定理罗尔定理(2)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(3)柯西中值定理柯西中值定理推论推论:14/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(4).中值定理及推论证明等式和不等式中值定理及推论证明等式和不等式等式的等式的 f(x)=A 证明证明含有含有 f( ) 等式的证明等式的证明证明含有某函数在两点的函数值之差证明含有某函数在两点的函数值之差 f(b) f(a)的不等式的不等式同步练习同步练习P10 一、一、1五、五、3，415/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）2.罗比塔法则罗比塔法则(1)罗比塔法则适用范围罗比塔法则适用范围
7、:(2)罗比塔法则技巧罗比塔法则技巧使用法则前，使用法则前，进行等价无穷小因子替换或用极限不进行等价无穷小因子替换或用极限不为零因子的极限值置换，为零因子的极限值置换，要尽可能简化极限表达式；要尽可能简化极限表达式；极限存在的极限存在的“项项”，先分离出去。，先分离出去。数列的极限要先转化为函数的极限，才能使用法则。数列的极限要先转化为函数的极限，才能使用法则。利用罗比塔法则求极限利用罗比塔法则求极限,使用前检查是否满足条件使用前检查是否满足条件,一定是对分子分母分别求导一定是对分子分母分别求导;可以连续使用可以连续使用.16/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）3.单调区间与
8、极值单调区间与极值(1)写出函数的定义域；写出函数的定义域；(2)求驻点求驻点y =0和和y 不存在的点；不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y的符的符号，判定函数的单调性号，判定函数的单调性 ，确定极值点。，确定极值点。4.凹凸区间与拐点凹凸区间与拐点(1)写出函数的定义域；写出函数的定义域；(2)求求y =0和和y 不存在的点；不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y “ 的的符号，判定区间内的凹凸符号，判定区间内的凹凸 ，确定拐点。，确定拐点。17/58微积分
9、微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）5.最值与应用题最值与应用题 (1)所有驻点和不可导点的函数值与区间两端点函数值比较所有驻点和不可导点的函数值与区间两端点函数值比较, 可得最值可得最值;(2)实际问题中的最值：一般是唯一的极值转化为实际问题实际问题中的最值：一般是唯一的极值转化为实际问题的最值（注意极值的判定方法）；的最值（注意极值的判定方法）；(3)利用最值证明不等式：要证利用最值证明不等式：要证f(x) A或或( f(x) A ),只只需证明需证明A 是是f(x) 的最值。的最值。6.渐近线渐近线(1)水平渐近线水平渐近线(2)铅垂渐近线铅垂渐近线同步练习同步练习P12 四、四、
10、718/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）(3)斜渐近线斜渐近线7.微分法作图微分法作图(三点一线作图法三点一线作图法)同步练习同步练习P10一、一、8，13二、二、3四、四、88.泰勒中值定理与泰勒公式泰勒中值定理与泰勒公式麦克劳林公式麦克劳林公式19/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第五章第五章 不定积分不定积分1.1.原函数与不定积分的概念：原函数与不定积分的概念： F(x)是是f(x) 在在I上上的一个原函数的一个原函数. .函数函数f(x)在在I上连续，或最多有有限个有限间断点，上连续，或最多有有限个有限间断点， f(x) 在在I上原函数存在，即
11、上原函数存在，即f(x) 在在I上可积。上可积。不定积分是所有原函数的集合。不定积分是所有原函数的集合。20/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）2.2.不定积分的性质：不定积分的性质：不定积分的线性性质：不定积分的线性性质：不定积分与求导互逆运算的性质：不定积分与求导互逆运算的性质：21/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）按方法分有按方法分有 3.3.不定积分的计算：不定积分的计算：第一换元法（凑微分）第一换元法（凑微分） 22/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）第二换元法第二换元法分部积分公式分部积分公式23/58微积分微积分微积分微积分
12、（上）（上）（上）（上）按被积函数分有按被积函数分有 有理函数积分，重点是真分式的积分。有理函数积分，重点是真分式的积分。真分式先化为部分分式之和，再积分。真分式先化为部分分式之和，再积分。真分式分解法：待定系数法（比较系数法、赋值法）真分式分解法：待定系数法（比较系数法、赋值法） 恒等变形法（配项法）恒等变形法（配项法）真分式的积分：真分式的积分：24/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）25/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）26/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）27/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）积分计算的关键积
13、分计算的关键: : 如何根据被积函数的类别以及表如何根据被积函数的类别以及表达式的特征，迅速地选择恰当的积分方法。达式的特征，迅速地选择恰当的积分方法。 4.4.不定积分的应用不定积分的应用已知切线，求原函数的曲线；已知切线，求原函数的曲线；已知边际函数求成本、收益、利润函数。已知边际函数求成本、收益、利润函数。28/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）一一. . 填空（每题填空（每题 2 2分，共分，共2020分）分） 29/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）一一. . 填空（每题填空（每题 2 2分，共分，共2020分）分） 30/58微积分微积分微积分微
14、积分（上）（上）（上）（上）二二. . 单项选择（每题单项选择（每题2 2分，共分，共1 10 0分）分）31/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）二二. . 单项选择（每题单项选择（每题2 2分，共分，共1 10 0分）分）32/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题（每题三、计算题（每题7 7分，共分，共4949分）分）33/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题（每题三、计算题（每题7 7分，共分，共4949分）分）解：解：34/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）35/58微积分微积分微积分微积分（上）（上
15、）（上）（上）解：解：解：解：36/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）解：解：解：解：37/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）令令38/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、应用题（每题四、应用题（每题8 8分，共分，共1616分）分）解：解：列表讨论列表讨论: :拐点拐点39/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）2.已知某企业某商品的需求函数为已知某企业某商品的需求函数为 ，求，求（1 1）求）求P=6P=6时，若价格上涨时，若价格上涨2%2%，总收入如何变化？，总收入如何变化？（2 2）价格为多少时，总收入最大？）价格为
16、多少时，总收入最大？ (1)需求弹性需求弹性:解：解：收入的价格弹性收入的价格弹性:价格上涨价格上涨2%，即，即:40/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）P=6时，若价格上涨时，若价格上涨2%，总收入将增加，总收入将增加1.34%(2)41/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）五、证明题（五、证明题（5 5分）分）证明证明:满足罗尔定理的所有条件满足罗尔定理的所有条件,完完42/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）一一. . 填空（每题填空（每题 3 3分，共分，共1515分）分） 43/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）二二
17、. . 单项选择（每题单项选择（每题3 3分，共分，共1 15 5分）分）44/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）45/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题( (一一) )（每题（每题5 5分，共分，共1515分）分）46/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题( (一一) )（每题（每题5 5分，共分，共1515分）分）47/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）三、计算题三、计算题( (一一) )（每题（每题5 5分，共分，共1515分）分）48/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（
18、上）（上）三、计算题三、计算题( (一一) )（每题（每题5 5分，共分，共1515分）分）49/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题( (二二) )（每题（每题7 7分，共分，共3535分）分）50/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题( (二二) )（每题（每题7 7分，共分，共3535分）分）切线方程为切线方程为:51/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题( (二二) )（每题（每题7 7分，共分，共3535分）分）对方程两边求导对方程两边求导:对对(1)式两边求导式两边求导:52
19、/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题( (二二) )（每题（每题7 7分，共分，共3535分）分）53/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题( (二二) )（每题（每题7 7分，共分，共3535分）分）取对数取对数:求导求导:得唯一驻点得唯一驻点:对对(1)式求导式求导:54/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）四、计算题四、计算题( (二二) )（每题（每题7 7分，共分，共3535分）分）55/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）五、应用题（每题五、应用题（每题8 8分，共分，共161
20、6分）分）56/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）列表讨论列表讨论: :极小极小拐点拐点拐点拐点57/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）五、应用题（每题五、应用题（每题8 8分，共分，共1616分）分）2.设某商品销售单价为设某商品销售单价为5元元,生产中可变成本为每单位生产中可变成本为每单位3.75元元,又因产量与广告费又因产量与广告费A之间的关系为之间的关系为 ,且生产的产品经广告宣传后全部销售且生产的产品经广告宣传后全部销售,求产品利润最求产品利润最大时的最优广告投入大时的最优广告投入A.成本成本:收益收益:利润利润:58/58微积分微积分微积分微积分
21、（上）（上）（上）（上）利润利润:59/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）六、证明题（六、证明题（4 4分）分）证明证明:满足罗尔定理的所有条件满足罗尔定理的所有条件,完完60/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）61/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）62/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）63/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）64/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）65/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）66/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）67/58微积分微积分微积分微积分（上）（上）（上）（上）
