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1、第五章第五章 参数估计参数估计5.1 点估计点估计5.2 点估计量优劣的评价标准点估计量优劣的评价标准5.3 区间估计区间估计5.1 点估计点估计5.1.1 矩估计矩估计5.1.2 最大似然估计最大似然估计5.1.1 矩估计矩估计总体矩总体矩样本矩样本矩原点矩原点矩中心矩中心矩矩估计法矩估计法是用相应的样本矩来估计总体矩，用样本矩的函数来估计总体矩的相应函数的一种估计方法 例例5.1是从正态总体 中抽取的样本，试估计 解析：解析：总体的一阶原点矩总体的一阶原点矩 样本均值样本均值即样本的一阶原点矩即样本的一阶原点矩 总体的二阶中心矩总体的二阶中心矩 样本的二阶中心矩样本的二阶中心矩 不论总体服
2、从什么分布，只要其均值不论总体服从什么分布，只要其均值 和方差和方差 存在存在 都有都有 5.1.1 矩估计矩估计例例5.2 设总体设总体 是取自总体的样本，是取自总体的样本， 求参数求参数 的矩估的矩估计。解：解：因为因为由矩估计由矩估计即即解得解得矩估计量矩估计量 矩估计值矩估计值 5.1.1 矩估计矩估计例例5.3 设总体设总体 是取自总体的样本，是取自总体的样本， 求参数求参数 的矩估的矩估计。解：解：因为因为由矩估计由矩估计即即解得解得5.1.1 矩估计矩估计5.1.1 矩估计矩估计练习练习 设总体的概率密度为设总体的概率密度为 求参数求参数 的矩估的矩估计。其中其中 是未知参是未知
3、参数，数， 是取自总体的样本，是取自总体的样本， 5.1.2 最大似然估计最大似然估计引例引例1个黑球个黑球99个白球个白球1个白球个白球99个黑球个黑球甲甲箱箱子子乙乙箱箱子子随机抽取一箱随机抽取一箱任取一球为白球任取一球为白球估计此白球来自哪个箱子估计此白球来自哪个箱子?=A分析：分析：若取出的是甲箱子，则若取出的是甲箱子，则A的概率为的概率为0.99若取出的是乙箱子，则若取出的是乙箱子，则A的概率为的概率为0.01现现A已经发生了，则白球已经发生了，则白球最像最像取自甲箱子，取自甲箱子，从而推断白球来自于甲箱子。从而推断白球来自于甲箱子。最大似然最大似然5.1.2 最大似然估计最大似然估
4、计一、一、 最大似然估计的基本思想最大似然估计的基本思想在一次试验中，若事件在一次试验中，若事件A发生了，则我们有理由认为发生了，则我们有理由认为该事件发生的概率较大。该事件发生的概率较大。若样本若样本 的观测值为的观测值为 则我们有理由认为该样本取到则我们有理由认为该样本取到 的概率较大。的概率较大。从而可选取总体中适当的参数，使取到该样本值的概从而可选取总体中适当的参数，使取到该样本值的概率达到最大率达到最大 5.1.2 最大似然估计最大似然估计例例5.4 设总体的分布律为设总体的分布律为 321来自总体来自总体 样本本观测值为 用最大似然估计的思想来估计参数用最大似然估计的思想来估计参数
5、 解：解：样本独立性样本独立性样本与总体同分布样本与总体同分布记记最大似然函数最大似然函数 取自然对数取自然对数 求导，并令导数为零求导，并令导数为零解得解得 5.1.2 最大似然估计最大似然估计二、二、 最大似然估计的基本步骤最大似然估计的基本步骤1 1写出似然函数写出似然函数 2 2取自然对数取自然对数 3 3求求导并令并令导数等于数等于0 0，即，即4 4求出求出驻点，得到参数点，得到参数 的最大似然估计值和估计量。的最大似然估计值和估计量。 离散型总体：总体分布律离散型总体：总体分布律 连续型总体：总体概率密度连续型总体：总体概率密度 5.1.2 最大似然估计最大似然估计例例5.5 总
6、体总体 其密度函数为其密度函数为为样本观测值，为样本观测值，求求 的最大似然估计。的最大似然估计。 解：解：似然函数似然函数 取对数得取对数得求导，并令其为零求导，并令其为零 解得解得 5.1.2 最大似然估计最大似然估计练习练习 设总体的概率密度为设总体的概率密度为 求参数求参数 的最大似然估的最大似然估计。其中其中 是未知参是未知参数，数， 是取自总体的样本，是取自总体的样本， 5.1.2 最大似然估计最大似然估计例例5.6 总体总体 其密度函数为其密度函数为为样本观测值，为样本观测值，求求 的最大似然估计。的最大似然估计。 解：解：似然函数似然函数 取对数得取对数得求导求导 单减单减 即
7、即 的最小值为最大似然估计值的最小值为最大似然估计值 将观测值按大小排序将观测值按大小排序所以所以5.2 点估计量优劣的评价标准点估计量优劣的评价标准估计量的评价一般有三个标准：估计量的评价一般有三个标准：无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性5.2.1 无偏性无偏性定义：定义： 设统计量设统计量是总体中未知参数是总体中未知参数 的估计量，若的估计量，若 ，则称，则称 为为 的无偏估计量；的无偏估计量； 否则称为有偏估计量。否则称为有偏估计量。 例例5.7为取自总体的样本，下列都是总体均值的估计量，为取自总体的样本，下列都是总体均值的估计量， 哪个为无偏估计量？哪个为无偏估计量？为无偏估计量为无
8、偏估计量.5.2.1 无偏性无偏性例例5.8为取自总体的样本，总体期望为取自总体的样本，总体期望 和方差和方差 存在，存在， 证明：证明： （1）样本均值）样本均值 是是 的无偏估计量；的无偏估计量； （2 2）修正样本方差）修正样本方差 是是 的无偏估计量。的无偏估计量。 证明证明：（：（1） 由于样本与总体同分布，所以由于样本与总体同分布，所以 所以样本均值所以样本均值 是是 的无偏估计量；的无偏估计量； 5.2.1 无偏性无偏性（2） 所以样本方差所以样本方差 是是 的无偏估计量。的无偏估计量。 5.2.1 无偏性无偏性 练习练习为取自总体的样本，总体期望为取自总体的样本，总体期望 和方
9、差和方差 存在，存在， 问：问： 是否为是否为 的无偏估计量？的无偏估计量？5.2.2 有效性有效性定义：定义：都是总体中未知参数都是总体中未知参数 的无偏估计量，若的无偏估计量，若 设统计量设统计量 和和 则称则称 是比是比 有效的估计量。有效的估计量。 例例5.9为取自总体的样本，下列都是总体均值的估计量，为取自总体的样本，下列都是总体均值的估计量， 哪个估计量更有效？哪个估计量更有效？为无偏估计量为无偏估计量.是比是比 更有效的估计量更有效的估计量.5.2.3 一致性一致性定义：定义：的估计量，如果对于任意给定的的估计量，如果对于任意给定的 ，均有，均有则称则称 是参数是参数 的一致估计
10、量。的一致估计量。 设统计量设统计量是总体中未知参数是总体中未知参数 若总体的数学期望若总体的数学期望 和方差和方差 都存在，则由切比雪夫大数定律有都存在，则由切比雪夫大数定律有 这说明样本均值这说明样本均值 是总体均值是总体均值 的一致估计量。的一致估计量。5. 3 区间估计区间估计5.3.1 置信区间和置信度置信区间和置信度5.3.2 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计二、两个正态总体参数的区间估计二、两个正态总体参数的区间估计5. 3.1 置信区间和置信度置信区间和置信度定义定义 设设 为总体分布中的未知参数，为总体分
11、布中的未知参数，是取自总体的样本，对给定的数是取自总体的样本，对给定的数 ，若存在，若存在 ，满足，满足则称随机区间则称随机区间 为为置信区间置信区间，称，称 为为置信度置信度 。注意：注意： 1.由样本观测值由样本观测值 得到的得到的 ，称为置信区间的一个实现。，称为置信区间的一个实现。2.置信度置信度 是随机区间是随机区间 包含未知参数包含未知参数 的概率。的概率。 3.置信度越大，区间长度越大，估计精度越低。置信度越大，区间长度越大，估计精度越低。5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计一、单个正态总体未知参数的区间估计一、单个正态总体未知参数的区间估计设总体设总
12、体 ， 是取自是取自总体的样本，总体的样本， 和和 分别是样本均值和样本方差。分别是样本均值和样本方差。 1总体方差总体方差 已知时已知时 的置信区间的置信区间 xy标准化标准化置信区间置信区间5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计例例5.9 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验已知这批材料的抗断强度验已知这批材料的抗断强度 ，现从，现从中抽取容量为中抽取容量为9的样本，测得观测值并计算得的样本，测得观测值并计算得 ，试计算总体均值，试计算总体均值 的的0.95的置信区间。的置信区间。解：解： 总体方差总体方差 已知，
13、且已知，且 置信下限：置信下限： 置信上限：置信上限： 所以总体均值所以总体均值 的的0.95的置信区间为的置信区间为 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计2总体方差总体方差 未知时未知时 的置信区间的置信区间 xy置信区间置信区间当总体方差当总体方差 未知时，用未知时，用 代替代替 ，构造统计量，构造统计量5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计例例5.10 为考察某地区寿险投保者的年龄，从该地区寿险投保人中为考察某地区寿险投保者的年龄，从该地区寿险投保人中随机抽取了容量为随机抽取了容量为16的样本，测得年龄如下：的样本，测得年龄如下： 3
14、5，40，45，39，28，35，40，37，42，29，44，38，34，43，36，41设投保人的年龄服从正态分布设投保人的年龄服从正态分布 ，试求总体均值，试求总体均值 的的0.95的置信区间的置信区间 。解：解： 总体方差总体方差 未知，且未知，且 置信下限：置信下限： 置信上限：置信上限： 所以总体均值所以总体均值 的的0.95的置信区间为的置信区间为 查表可得查表可得 计算样本数据可得计算样本数据可得 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计3总体方差总体方差 的置信区间的置信区间 xy置信区间置信区间样本方差样本方差 是是 的无偏估计量的无偏估计量5.3.
15、2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计例例5.11 为考察某地区寿险投保者的年龄，从该地区寿险投保人中为考察某地区寿险投保者的年龄，从该地区寿险投保人中随机抽取了容量为随机抽取了容量为16的样本，测得年龄如下：的样本，测得年龄如下： 35，40，45，39，28，35，40，37，42，29，44，38，34，43，36，41设投保人的年龄服从正态分布设投保人的年龄服从正态分布 ，试求总体均值，试求总体均值 的的0.95的置信区间的置信区间 。解：解： 置信下限：置信下限： 置信上限：置信上限： 所以总体均值所以总体均值 的的0.95的置信区间为的置信区间为 查表可得查表可得
16、 计算样本数据可得计算样本数据可得 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计二、两个正态总体未知参数的区间估计二、两个正态总体未知参数的区间估计设总体设总体 ， 是取自是取自总体的样本，总体的样本， 和和 分别是样本均值和样本方差。分别是样本均值和样本方差。 设总体设总体 ， 是取自是取自总体的样本，总体的样本， 和和 分别是样本均值和样本方差。分别是样本均值和样本方差。 且两样本相互独立且两样本相互独立5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计1方差方差 和和 已知时已知时 的置信区间的置信区间 xy5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体
17、未知参数的区间估计 的置信区间置信度为的置信区间置信度为 的置信区间为的置信区间为 例例5.12 设来自总体设来自总体 的一样本容量为的一样本容量为15的样本，其的样本，其；来自总体；来自总体 的一样本容量为的一样本容量为20的样本，其的样本，其 ；且；且两样本相互独立。试求两样本相互独立。试求 的的90%的置信区间。的置信区间。解：解： 置信下限：置信下限： 置信上限：置信上限： 所以所以 的的0.90的置信区间为的置信区间为 查表可得查表可得 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计 置信区间的意义：置信区间的意义： （1）若）若 的置信区间的下限大于零，则在相的置
18、信区间的下限大于零，则在相应的置信度下认为应的置信度下认为 ； （2）若）若 的置信区间的上限小于零，则在相的置信区间的上限小于零，则在相应的置信度下认为应的置信度下认为 ； （3）若）若 的置信区间内含有零点，则在相应的置信区间内含有零点，则在相应的置信度下认为的置信度下认为 和和 没有显著差异即没有显著差异即 。 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计2方差方差 未知时未知时 的置信区间的置信区间 xy置信区间置信区间 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计解：解： 置信下限：置信下限： 置信上限：置信上限： 查表可得查表可得 例例5.1
19、3 甲乙两种稻种分别播种在甲乙两种稻种分别播种在10块试验田中，每块试验田甲、块试验田中，每块试验田甲、乙稻种各种一半假设两稻种产量均服从正态分布，且方差相等乙稻种各种一半假设两稻种产量均服从正态分布，且方差相等收获后收获后10块试验田的产量如下（单位：块试验田的产量如下（单位：kg）甲：甲：140137136140145148140135144141乙：乙：135118115140128131130115131125求出两稻种产量的均值差求出两稻种产量的均值差 的置信度为的置信度为0.95的置信区间。的置信区间。 计算得计算得5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计3
20、方差比方差比 的置信区间的置信区间 xy置信区间为置信区间为 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计解：解： 置信下限：置信下限： 置信上限：置信上限： 查表可得查表可得 例例5.14 甲乙两种稻种分别播种在甲乙两种稻种分别播种在10块试验田中，每块试验田甲、块试验田中，每块试验田甲、乙稻种各种一半假设两稻种产量均服从正态分布，且方差相等乙稻种各种一半假设两稻种产量均服从正态分布，且方差相等收获后收获后10块试验田的产量如下（单位：块试验田的产量如下（单位：kg）甲：甲：140137136140145148140135144141乙：乙：135118115140128131130115131125求出两稻种产量的均值差求出两稻种产量的均值差 的置信度为的置信度为0.99的置信区间。的置信区间。 5.3.2 正态总体未知参数的区间估计正态总体未知参数的区间估计 置信区间的意义：置信区间的意义： （1）若）若 的置信区间的下限大于的置信区间的下限大于1，则在相应的，则在相应的置信度下认为置信度下认为 ； （2）若）若 的置信区间的上限小于的置信区间的上限小于1，则在相应的，则在相应的置信度下认为置信度下认为 ； （3）若）若 的置信区间内含有的置信区间内含有1，则在相应的置信度，则在相应的置信度下认为下认为 和和 没有显著差异即没有显著差异即 。
