《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课件 新人教A版选修45》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课件 新人教A版选修45（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.基本不等式【自主预习自主预习】1.1.重要不等式重要不等式定理定理1:1:如果如果a,bRa,bR, ,那么那么a a2 2+b+b2 2_2ab,_2ab,当且仅当当且仅当_时时, ,等号成立等号成立. .a=ba=b2.2.基本不等式基本不等式(1)(1)定理定理2:2:如果如果a,ba,b0,0,那么那么_._.当且仅当当且仅当_时时, ,等号等号成立成立. .a=ba=b(2)(2)定理定理2 2的应用的应用: :对两个正实数对两个正实数x,yx,y, ,如果它们的和如果它们的和S S是定值是定值, ,则则当且仅当当且仅当_时时, ,它们的它们的积积P P取得最取得最_值值; ;如
2、果它们的积如果它们的积P P是定值是定值, ,则当且仅当则当且仅当_时时, ,它们的它们的和和S S取得最取得最_值值. .x=yx=y大大x=yx=y小小【即时小测【即时小测】1.1.已知已知x3,x3,则则x+ x+ 的最小值为的最小值为( () )A.2A.2B.4B.4C.5C.5D.7D.7【解析【解析】选选D.xD.x3,3,则则 当且仅当当且仅当x=5x=5时等号成立时等号成立. .2.2.设设x,yRx,yR+ +且且xy-(x+yxy-(x+y)=1,)=1,则则( () )A.x+y2( +1)A.x+y2( +1)B.xyB.xy +1 +1C.x+y( +1)C.x+y
3、( +1)2 2D.xy2( +1)D.xy2( +1)【解析【解析】选选A.A.因为因为xy-(x+y)xy-(x+y)xyxy- - 所以所以xyxy- 1,- 1,解得解得xy3+ .xy3+ .又又xy-(x+y) (x+y)xy-(x+y) (x+y)2 2-(x+y),-(x+y), (x+y) (x+y)2 2-(x+y)1,-(x+y)1,解得解得x+y2( +1).x+y2( +1).3.3.函数函数f(xf(x)= )= 的值域为的值域为_. .【解析【解析】f(xf(x)= )= 答案答案: : 【知识探究【知识探究】 探究点探究点基本不等式基本不等式1.1.在基本不等式
4、在基本不等式 中中, ,为什么要求为什么要求a0,b0?a0,b0?提示提示: :因为若因为若a0,b0a0,b0,b0.a0,b0.2.2.若若f(xf(x)=x+ ,)=x+ ,则则f(xf(x) )的最小值为的最小值为2 2吗吗? ?提示提示: :f(xf(x) )的最小值不是的最小值不是2,2,只有当只有当x0x0时时,f(x,f(x) )的最小的最小值才是值才是2.2.【归纳总结【归纳总结】1.1.理解基本不等式的两个关键点理解基本不等式的两个关键点一是定理成立的条件是一是定理成立的条件是a,ba,b都是正数都是正数; ;二是等号取得的二是等号取得的条件是当且仅当条件是当且仅当a=b
5、a=b时时. .2.2.利用利用 求最值的三个条件求最值的三个条件(1)(1)各项或各因式为正各项或各因式为正. .(2)(2)和或积为定值和或积为定值. .(3)(3)各项或各因式能取得相等的值各项或各因式能取得相等的值. .3.3.定理定理1 1与定理与定理2 2的不同点的不同点定理定理1 1的适用范围是的适用范围是a,bRa,bR; ;定理定理2 2的适用范围是的适用范围是a0,b0.a0,b0.4.4.两个不等式定理的常见变形两个不等式定理的常见变形(1)ab (2)ab (a0,b0).(1)ab (2)ab (a0,b0).(3) 2(ab0).(4) (3) 2(ab0).(4)
6、 (5)a+b (5)a+b 上述不等式中等号成立的充要条件均为上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.a=b.类型一类型一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【典例【典例】1.(20151.(2015湖南高考湖南高考) )若实数若实数a,ba,b满足满足 , ,则则abab的最小值为的最小值为( () )A. A. B.2B.2C.2 C.2 D.4D.42.2.已知已知x0,y0,x0,y0,且且x+2y+xy=30,x+2y+xy=30,求求x xy y的最大值的最大值. .【解题探究【解题探究】1.1.如何利用条件如何利用条件? ?提示提示: :根据根据 可得可得a0,b0,a0
7、,b0,然后借助基本不然后借助基本不等式等式 构造关于构造关于 的不等式的不等式. .2.2.如何利用如何利用“x+2y+xy=30x+2y+xy=30”这个条件这个条件? ?提示提示: :由由x+2y+xy=30,x+2y+xy=30,得得y= y= 【解析【解析】1.1.选选C.C.因为因为 , ,所以所以a0,b0,a0,b0,由由 所以所以abab2 (2 (当且仅当当且仅当b=2ab=2a时取等号时取等号),),所以所以abab的最小值为的最小值为2 .2 .2.2.由由x+2y+xy=30,x+2y+xy=30,得得y= (0x30),y= (0x0,y0x0,y0时时,x,x y
8、+(2y)y+(2y) x x的最小值为的最小值为_._.【解题指南【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法最值的基本方法. .【解析【解析】x0,y0x0,y0时时,x,xy+(2y)y+(2y)x= x= 所以所求的最小值为所以所求的最小值为 . .答案答案: : 2.2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利为确保巴西世界杯总决赛的顺利进行进行, ,组委会决定在位于里约热内卢组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区矩形观众候场区, ,总面积为总面积为72m72m2 2( (如图所示如图
9、所示),),要求矩形要求矩形场地的一面利用体育场的外墙场地的一面利用体育场的外墙, ,其余三面用铁栏杆围其余三面用铁栏杆围, ,并且要在体育馆外墙对面留一个长度为并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m2m的入口的入口. .现已现已知铁栏杆的租用费用为知铁栏杆的租用费用为100100元元/m./m.设该矩形区域的长为设该矩形区域的长为x(x(单位单位:m),:m),租用铁栏杆的总费用为租用铁栏杆的总费用为y(y(单位单位: :元元).).(1)(1)将将y y表示为表示为x x的函数的函数. .(2)(2)试确定试确定x,x,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最
10、小, ,并求出最小费用并求出最小费用. .【解析【解析】(1)(1)依题意有依题意有:y=:y= 其中其中x2.x2.(2)(2)由基本不等式可得由基本不等式可得:y= :y= 当且仅当当且仅当 =x,=x,即即x=12x=12时取时取“= =”. .综上综上: :当当x=12x=12时时, ,租用此区域所用铁栏杆所需费用最租用此区域所用铁栏杆所需费用最小小, ,最小费用为最小费用为22002200元元. .【补偿训练【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间间. .一面可利用原有的墙一面可利用原有的墙, ,其他各面其他各面( (不包括上盖和地面不包括上
11、盖和地面) )用钢筋网围成用钢筋网围成. .(1)(1)现有现有36m36m长的材料长的材料, ,每间虎笼的长、宽各设计为多少每间虎笼的长、宽各设计为多少时时, ,可使每间虎笼面积最大可使每间虎笼面积最大? ?(2)(2)若使每间虎笼面积为若使每间虎笼面积为24m24m2 2, ,则每间虎笼的长、宽各则每间虎笼的长、宽各设计为多少时设计为多少时, ,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? ?【解题指南【解题指南】设每间虎笼长设每间虎笼长xmxm, ,宽宽ymym, ,则问题则问题(1)(1)是在是在4x+6y=364x+6y=36的前提下求的前提下求xyxy的最大值
12、的最大值; ;而问题而问题(2)(2)则是在则是在xyxy=24=24的前提下求的前提下求4x+6y4x+6y的最小值的最小值, ,使用基本不等式解决使用基本不等式解决. .【解析【解析】设每间虎笼长为设每间虎笼长为xmxm, ,宽为宽为ymym, ,(1)(1)由条件得由条件得4x+6y=36,4x+6y=36,即即2x+3y=18.2x+3y=18.设每间虎笼面积为设每间虎笼面积为S,S,则则S=xyS=xy. .方法一方法一: :由于由于2x+3y 2x+3y 所以所以2 18,2 18,得得xyxy , ,即即S ,S ,当且仅当当且仅当2x=3y2x=3y时时, ,等号成立等号成立.
13、 .由由 故每间虎笼长为故每间虎笼长为4.5m,4.5m,宽为宽为3m3m时时, ,可使面积最大可使面积最大. .方法二方法二: :由由2x+3y=18,2x+3y=18,得得x=9- y.x=9- y.因为因为x0,x0,所以所以0y6,0y6,S=xyS=xy= = 因为因为0y6,0y0,6-y0,所以所以S S 当且仅当当且仅当6-y=y,6-y=y,即即y=3y=3时时, ,等号成立等号成立, ,此时此时x=4.5.x=4.5.故每间虎笼长为故每间虎笼长为4.5m,4.5m,宽为宽为3m3m时时, ,可使面积最大可使面积最大. .(2)(2)由条件知由条件知S=xyS=xy=24.=
14、24.设钢筋网总长为设钢筋网总长为l, ,则则l=4x+6y.=4x+6y.方法一方法一: :因为因为2x+3y 2x+3y 所以所以l=4x+6y=2(2x+3y)48,=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当当且仅当2x=3y2x=3y时时, ,等号成立等号成立. .由由 故每间虎笼长故每间虎笼长6m,6m,宽宽4m4m时时, ,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小. .方法二方法二: :由由xy=24,xy=24,得得x= x= 所以所以l=4x+6y= =4x+6y= 当且仅当当且仅当 =y,=y,即即y=4(y=-4y=4(y=-4舍去舍去) )时时, ,等号成立等号成立, ,此
15、时此时x=6.x=6.故每间虎笼长故每间虎笼长6m,6m,宽宽4m4m时时, ,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小. .类型二类型二利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式【典例【典例】已知已知a0,b0,c0,a0,b0,c0,且且a+b+ca+b+c=1,=1,证明证明: :(1)a(1)a2 2+b+b2 2+c+c2 2 . .(2) (2) 【解题探究【解题探究】典例中如何建立典例中如何建立a a2 2与与a a的不等关系的不等关系? ?提示提示: :由由 可建立可建立a a2 2与与a a的不等关系的不等关系. .【证明【证明】(1)(1)由由 相加得相加得:a:a2 2
16、+b+b2 2+c+c2 2+ + 当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时取等号时取等号. .所以所以a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 . .(2)(2)由由a0,b0,c0,a0,b0,c0,所以所以 相加得相加得: : 所以所以 当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 时取等号时取等号. .【方法技巧【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧利用基本不等式证明不等式的方法与技巧(1)(1)方法方法: :用基本不等式证明不等式时用基本不等式证明不等式时, ,应首先依据不等应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形式两边式子的结构特点进行恒等变形, ,使之具备基本
17、不使之具备基本不等式的结构和条件等式的结构和条件, ,然后合理地选择基本不等式或其变然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明形形式进行证明. .(2)(2)技巧技巧: :对含条件的不等式的证明问题对含条件的不等式的证明问题, ,要将条件与结要将条件与结论结合起来论结合起来, ,寻找出变形的思路寻找出变形的思路, ,构造出基本不等式构造出基本不等式, ,切切忌两次使用基本不等式用传递性证明忌两次使用基本不等式用传递性证明, ,有时等号不能同有时等号不能同时取到时取到. .【变式训练【变式训练】1.1.已知已知a,ba,b都是正数都是正数, ,且且a+ba+b=1.=1.求证求证: : 【证明
18、【证明】 当且仅当当且仅当 即即a=ba=b时时, ,等号成立等号成立. .故故 2.2.已知已知a,b,ca,b,c都是正数都是正数, ,且且a+b+ca+b+c=1.=1.求证求证: : 【证明【证明】因为因为a,b,ca,b,c都是正数都是正数, ,且且a+b+ca+b+c=1.=1.当且仅当当且仅当 即即a=b=ca=b=c时时, ,等号成立等号成立. .所以所以 拓展类型拓展类型利用基本不等式比较大小利用基本不等式比较大小【典例【典例】若若ab1,P=ab1,P=(lga+lgb),R=lg(lga+lgb),R=lg , ,试比较试比较P,Q,RP,Q,R的大小关系的大小关系. .
19、【解析【解析】因为因为ab1,ab1,所以所以lgalga0,lgb0, 0,lgb0, 所以所以P= P= 又又Q= (lga+lgb)=lgQ= (lga+lgb)=lg , ,而而 所以所以 即即QR,QR,所以所以PQR.PQ0,b0.a0,b0.(2)(2)若问题中一端出现若问题中一端出现“和式和式”, ,而另一端出现而另一端出现“积式积式”, ,这便是应用基本不等式的这便是应用基本不等式的“题眼题眼”, ,不妨运用基本不妨运用基本不等式试试看不等式试试看. .【变式训练【变式训练】1.1.已知已知f(x)=lgx,a,bRf(x)=lgx,a,bR+ +, , 判断判断P,G,QP
20、,G,Q的大小关系的大小关系. .【解析【解析】因为因为a0,b0,a0,b0,所以所以 当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号. .又函数又函数f(x)=lgxf(x)=lgx是增函数是增函数, ,所以所以PGQ.PGQ.2.2.已知已知abc,abc,比较比较 的大小关系的大小关系. .【解题指南【解题指南】将将 表示成表示成 , ,用基本用基本不等式比较大小不等式比较大小. .【解析【解析】因为因为abc,abc,所以所以a-b0,b-c0,a-b0,b-c0,所以所以 当且仅当当且仅当a-b=b-ca-b=b-c即即2b=a+c2b=a+c时取等号时取等号. .自我纠错自我纠错正
21、确运用基本不等式正确运用基本不等式【典例【典例】给出下面三个推导过程给出下面三个推导过程: :(1)(1)因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),所以所以 (2)(2)因为因为x,y(0,+),x,y(0,+),所以所以lgx+lgylgx+lgy (3)(3)因为因为aR,a0,aR,a0,所以所以 其中正确的推导过程的序号其中正确的推导过程的序号为为_._.【失误案例【失误案例】分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. .提示提示: :错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件, ,忽视了忽视了
22、(2)(3)(2)(3)中的变量可能为负值而致误中的变量可能为负值而致误. .正确解答过正确解答过程如下程如下: :【解析【解析】从基本不等式成立的条件考虑从基本不等式成立的条件考虑. .(1)(1)因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),所以所以 (0,+),(0,+),符合基符合基本不等式的条件本不等式的条件, ,故故(1)(1)的推导过程正确的推导过程正确. .(2)(2)虽然虽然x,y(0,+),x,y(0,+),但当但当x(0,1)x(0,1)时时,lgx,lgx是负数是负数, ,当当y(0,1)y(0,1)时时,lgy,lgy是负数是负数, ,所以所以(2)(2)的推导过程是错误的推导过程是错误的的. .(3)(3)因为因为aRaR, ,不符合基本不等式的条件不符合基本不等式的条件, ,所以所以 是错误的是错误的. .答案答案: :(1)(1)
