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1、近世代数近世代数第一章第一章 基本概念基本概念2 运算律、同态同构运算律、同态同构7/24/2024 一、运算律一、运算律定义定义1 设设满足满足结合律结合律.是集合是集合M的代数运算，若的代数运算，若都有都有，则称，则称 例例1 整数集中的加法适合整数集中的加法适合结合律。合律。例例2 整数集中的减法不适合整数集中的减法不适合结合律。合律。注：注：（1）并不是每一个代数运算都能满足结合律的；）并不是每一个代数运算都能满足结合律的； （2）代数运算就是二元运算，而）代数运算就是二元运算，而 至少现在是没有意义的。至少现在是没有意义的。 7/24/2024 （3）对四个元素我们可以进行两两运算，
2、进）对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤显然不止一种：显然不止一种： 加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？7/24/2024 定义定义2设设 中的代数运算为中的代数运算为 ，任取，任取 个元素个元素 最后算出的结果是一样的，那么这个结果就记为最后算出的结果是一样的，那么这个结果就记为 ，如果所有加括号的步骤，如果所有加括号的步骤. 注意：从定义注意：从定义2可知，可知， 也可能是有意义的也可能是有意义的.7/24/2024 定理定理1：如果如果 的代数运算的代数运算满足结合
3、律，满足结合律，那么那么有意义。有意义。论证思路论证思路 因因n是有限数，所以加括号是有限数，所以加括号的步骤的步骤必是有限的，必是有限的，任取一种加括号的步骤任取一种加括号的步骤 往证：往证： 7/24/2024 定义定义3设设是集合是集合A的代数运算，若的代数运算，若则称则称满足满足交换律交换律.的代数运算的代数运算交换律和结合律，那么交换律和结合律，那么定理定理2 如果如果同时满足同时满足中的元的次序可以任意掉换中的元的次序可以任意掉换. 7/24/2024 定义定义4是一个是一个BA到到A的代数运算的代数运算, 是一个是一个A如果如果 适合结合律适合结合律 , , 适合第一分配律适合第
4、一分配律,则则的代数运算的代数运算.若若 , 对于对于B的任何的任何b，A的任何的任何则说则说 , 适合第一分配律适合第一分配律.,都有都有类似地可定义第二分配律类似地可定义第二分配律.7/24/2024 二、同态同构二、同态同构有满射的同态映射存在有满射的同态映射存在,则说这个映射是一个则说这个映射是一个定义定义9 如果对于两个代数系统如果对于两个代数系统定义定义10和和有映射有映射满足满足称称是同态映射是同态映射.如果对于两个代数系统如果对于两个代数系统和和同态满射同态满射,并说并说,和和同态同态.简称简称A与与同态同态.7/24/2024 例例4运算均为通常意义的数的乘法运算均为通常意义
5、的数的乘法不是同态映射不是同态映射是同态映射，但不是满射是同态映射，但不是满射7/24/2024 例例4运算均为通常意义的数的乘法运算均为通常意义的数的乘法是同态映射，是满射是同态映射，是满射7/24/2024 例例5A为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法为全体方阵的集合，运算为矩阵乘法是同态映射，是满射是同态映射，是满射所以所以A与与运算为数的乘法运算为数的乘法同态同态.定理定理3 如果如果和和同态，那么同态，那么(1)若若满足结合律满足结合律 ，则，则也满足结合律也满足结合律 ；(2)若若满足交换律满足交换律 ，则，则也满足交换律也满足交换律 .7/24/2024 定理定理4 4设和和都是代数
6、系都是代数系统，而映射，而映射关于关于以及以及都是同都是同态满射，射，满足第一分配律足第一分配律也也满足第一分配律；足第一分配律；那么那么（1 1）若）若满足第二分配律足第二分配律也也满足第二分配律足第二分配律. .（2 2）若）若7/24/2024 定义定义1111设是是到到的同的同态映射，若映射，若是个一一映射，那么称是个一一映射，那么称是同构映射是同构映射. .到到若若有同构映射存在，称有同构映射存在，称与与同构，同构，记为. .例例6 6 设通常的加法通常的加法“+ +”，现作作，那么，那么是同构映射是同构映射. .都是整数中都是整数中7/24/2024 定理定理5如果如果和和同构，那
7、么同构，那么(1)满足结合律满足结合律也满足结合律也满足结合律 ；(2)满足交换律满足交换律也满足交换律也满足交换律 ；(3)满足分配律满足分配律也满足分配律也满足分配律 .注意：注意：由上述表明，同构的两个代数体系由由上述表明，同构的两个代数体系由 运算所带来的规律性是相同的运算所带来的规律性是相同的.7/24/2024 定义定义12 一个代数体系经同构映射而保持不变的一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。性质叫做它的代数性质。 于是，由代数运算所表述的任意一个性于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。质都是代数性质。 将代数体系的代数性质的总合统称为将代数体系的
8、代数性质的总合统称为它的代数结构。它的代数结构。定义定义13同构的代数体系由于完全相同的代数结构。同构的代数体系由于完全相同的代数结构。 7/24/2024 研究代数体系的首要目的研究代数体系的首要目的 就是确定所有互不同构的代数体系以就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。及它们的代数结构。 而为了确定一个代数体系的代数结构，而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。体系同构则可。7/24/2024 对于对于与与来说的一个来说的一个A与与A间的同构映间的同构映射，叫做一个关于射，叫做一个关于的的A的自同构
9、。的自同构。例例7 A=1，2，3.代数运算代数运算由下表给定由下表给定:1 2 31233 3 343 3 353 3 3则则是一个关于是一个关于的的A的自同构的自同构.定义定义147/24/2024 思考题思考题2两个代数体系如果同构了，那么它们之间的两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？同构映射是唯一的吗？（不唯一）（不唯一）7/24/2024 课堂练习：课堂练习：设证明：明：不同构不同构. .证明：（反明：（反证法）如果法）如果设0不在不在N中，矛盾。中，矛盾。不同构不同构. .7/24/2024 作业：作业：证明：明：（1）不同构（普通乘法）不同构（普通乘法）.（2）不同构不同构.（3）不同构不同构.（其中（其中为非零有理数集）为非零有理数集）. .7/24/2024 （4）设为数域，数域，证明：明：是同构的。是同构的。”为矩矩阵的加法）的加法）（其中（其中“+ +”为数组间的加法，为数组间的加法，“7/24/2024
