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1、二次函数与三角形综合专题高安市瑞阳实验学校高安市瑞阳实验学校 学习目标1.熟练运用待定系数法求二次函数的解析式；（重点）2.会用函数解析式表示点的坐标来解决有关三角形面积、周长的最值问题，等腰三角形、直角三角形问题；（难点）3.数形结合、分类讨论、转化化归、方程等思想.二次函数与几何的综合题是中考压轴题的热点题型，集代数与几何的众多知识于一体，考察的知识较为全面往往渗透数形结合、分类讨论、转化化归、方程等思想。其中二次函数与三角形的综合题主要涉及三角形的（最大）面积、全等、相似、等腰三角形、直角三角形的性质与判定，以及勾股定理、最短路径等问题。引言1.（2017中考贵州安顺）如图甲，直线y=x
2、+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；典例精析解解:（1） 直直线线y=x+3与与x轴轴、y轴轴分分别别交于点交于点B、点、点C， B（3，0），），C（0，3），），把把B、C坐坐标标代入抛物代入抛物线线解析式可得解析式可得解得解得抛物抛物线解析式解析式为y=x24x+3；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物抛物线对称称轴为x=2，P（2，1），）
3、，设M（2，t），且），且C（0，3），），MC=MP=|t+1|，PC=CPM为等腰三角形，等腰三角形，有有MC=MP、MC=PC和和MP=PC三种情况，三种情况，点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形中分类讨论的思想和一元二次方程的解法。运用勾股定理或两点间的距离公式来表示等腰三角形的边长是关键。（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（3）如）如图，过E作作EFx轴，交，交BC于点于点F，交交x轴于点于点D，设E（x，x24x+3），），则F（x，x+3），），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB 当当x= 时时，
4、 CBE的面的面积积最大，此最大，此时时E点坐点坐标为标为2.2.（20162016辽宁丹东辽宁丹东中考中考）如图，抛物线如图，抛物线y y= =axax2 2+ +bxbx过过A A（4 4，0 0），），B B（1 1，3 3）两点，点）两点，点C C、B B关于抛物线的对关于抛物线的对称轴对称，过点称轴对称，过点B B作直线作直线BHBHx x轴，交轴，交x x轴于点轴于点H H典例精析（1 1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；解：（解：（1）把点）把点A（4，0），），B（1，3）代入抛物线）代入抛物线y=ax2+bx中，得中，得 解得：解得：抛物抛物线线表达式表达式为为：y=x
5、2+4x；（2 2）直接写出点）直接写出点 C C 的坐标，并求出的坐标，并求出ABCABC的面积；的面积；（2）点）点C的坐的坐标为标为（3，3），），又又点点B的坐的坐标为标为（1，3），），BC=2，S ABC =23=3； （3 3）点）点P P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是抛物线上一动点，且位于第四象限，当当ABPABP的面积为的面积为6 6时，求出点时，求出点P P的坐标；的坐标；（3）过）过P点作点作PDBH交交BH于点于点D，设点点P（m，m2+4m），），根据根据题意，得：意，得：BH=AH=3，HD=m24m，PD=m1，S ABP=S ABH+S四四边形形HAPDS
6、 BPD，6= 33+ （3+m1）（）（m24m） (m1）（）（3+m24m），），3m215m=0，m1=0（舍去），（舍去），m2=5，点点P坐坐标为标为（5，5）（4 4）若点）若点M M在直线在直线BHBH上运动，点上运动，点N N在在x x轴上运动，当轴上运动，当以点以点C C、M M、N N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时请直接写出此时CMNCMN的面积的面积（4）以点）以点C、M、N为顶点的三角形点的三角形为等等腰直角三角形腰直角三角形时，分三，分三类情况情况讨论：以点以点M为直角直角顶点且点且M在在x轴上方上方时，如如图2，
7、CM=MN，CMN=90，则 CBMMHN，BC=MH=2，BM=HN=32=1，M（1，2），），N（2，0），），由勾股定理得：由勾股定理得：（4 4）若点）若点M M在直线在直线BHBH上运动，点上运动，点N N在在x x轴上运动，当轴上运动，当以点以点C C、M M、N N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时请直接写出此时CMNCMN的面积的面积以点以点M为直角直角顶点且点且M在在x轴下方下方时，如，如图3，作辅助线，构建如图所，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：示的两直角三角形：Rt NEM和和Rt MDC，得得Rt NEMRt MD
8、C，EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：由勾股定理得：（4 4）若点）若点M M在直线在直线BHBH上运动，点上运动，点N N在在x x轴上运动，当轴上运动，当以点以点C C、M M、N N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时请直接写出此时CMNCMN的面积的面积以点以点N为直角直角顶点且点且N在在y轴左左侧时，如如图4，CN=MN，MNC=90，作辅，作辅助线，助线，同理得：同理得：（4 4）若点）若点M M在直线在直线BHBH上运动，点上运动，点N N在在x x轴上运动，当轴上运动，当以点以点C C、M M、N N为顶点的三角形为等腰
9、直角三角形时，为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时请直接写出此时CMNCMN的面积的面积以点以点N为直角直角顶点且点且N在在y轴右右侧时，作作辅助助线，如，如图5，同理得：，同理得：以以C为直角直角顶点点时，不能构成，不能构成满足足条件的等腰直角三角形；条件的等腰直角三角形；综上所述：上所述： CMN的面的面积为：点评：本题综合考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，以及分类讨论思想。第（3）问中利用函数解析式表示点P的坐标和用割补法表示三角形的面积是解题的关键；第（4）问中利用等腰直角三角形的两直角边相等构造全等三角形，结合勾股定理分类讨论是解题的关键。中考链接1
10、.（2018湖南娄底中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(1，0)，B(3，0），C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)F(x，y)抛物线上的动点：当x1,y0时，求BDF面面积的最大的最大值；当当AEF=DBE时，求点求点F的坐的坐标.（1 1）y=-xy=-x2 2+2x+3 D(1,4)+2x+3 D(1,4)（2 2）当当x=2x=2时，时，S S最大值最大值1 1 2.（2018济宁模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(2,0)，B(0,1)和C(4,5)三点.（1）求二次函数的解
11、析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，并在抛物线的对称轴上找一点P，使PBD周长最小，求出点D和点P的坐标；（3）在直线CD下方的抛物线上是否存在一点E，使DCE的面积最大？若有，求出点E的坐标及面积的最大值.3.3.(2018(2018湖南怀化中考湖南怀化中考) )如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，抛物线抛物线y=axy=ax2 2+ +2x2x+ +c c与与x x轴交于轴交于A A（1 1，0 0）B B（3 3，0 0）两点，与两点，与y y轴交于点轴交于点C C，点，点D D是该抛物线的顶点是该抛物线的顶点（1 1）求抛物线的解析式和直线）求抛物线的解
12、析式和直线ACAC的解析式；的解析式；（2 2）请在）请在y y轴上找一点轴上找一点M M，使，使BDMBDM的周长最小，求的周长最小，求出点出点M M的坐标；的坐标；（3 3）试探究：在拋物线上是否存在点）试探究：在拋物线上是否存在点P P，使以点，使以点A A，P P，C C为顶点，为顶点，ACAC为直角边的三角形是直角三角形？为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点若存在，请求出符合条件的点P P的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由（1）y=x2+ +2x+ +3 y=3x+3（2）点点M（0，3）4.（2018冠县二模）如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为OB的中点，点M是线段BC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标；（3）若点Q是AB上的一动点，过点Q作QE/BC，交AC于E，连接CQ，求QCE面积的最大值.（2）M（2，2）或（1，3）（3）当点Q为（1，0）时，QCE面积的最大值为3
