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1、常微分方程常微分方程4141微分方程微分方程组的概念组的概念4.1 4.1 微分方程方程组的微分方程方程组的概念概念4.2 4.2 微分方程组的微分方程组的消元法消元法和和首次积分法首次积分法4.3 4.3 线性微分方程组的线性微分方程组的基本理论基本理论4.4 4.4 常系数齐次常系数齐次线性微分方程组线性微分方程组4.6 4.6 微分方程组应用举例微分方程组应用举例4.5 4.5 常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组线性微分方程组2含有含有个未知函数个未知函数的的一阶微分方程组一阶微分方程组线性微分方程组线性微分方程组? 非线性微分方程组非线性微分方程组?微分方程组的解微分方程组的解?
2、?9通解及通积分通解及通积分 如果通解满足方程组如果通解满足方程组则称为方程组的通积分则称为方程组的通积分.含有含有 个任意常数个任意常数 的解的解 为方程组的通解为方程组的通解 . 这里这里相互独立相互独立.10二、二、函数向量与函数矩阵函数向量与函数矩阵（1 1）函数向量和函数矩阵函数向量和函数矩阵n维函数向量维函数向量注：关于向量或矩阵的注：关于向量或矩阵的代数运算代数运算!为为 上的函数上的函数. .阶函数矩阵阶函数矩阵11关于函数向量与函数矩阵的关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分连续、微分、积分? ? 123. 2. 对任意常数对任意常数性质：性质：1. 且且 且且（2 2）矩
3、阵及向量的范数）矩阵及向量的范数 4. 5. 13向量序列和矩阵序列的收敛向量序列和矩阵序列的收敛称为收敛的，称为收敛的，向量序列向量序列如果如果数列数列都是收敛的。都是收敛的。上收敛的（一致收敛的），上收敛的（一致收敛的），函数向量序列函数向量序列称为在在区间称为在在区间如果如果 函数列函数列都是收敛的（一致收敛的）。都是收敛的（一致收敛的）。在区间在区间14函数向量级数函数向量级数如果其如果其部分和部分和所作所作成的成的函数向量序列函数向量序列是收敛的是收敛的( (一致收敛的一致收敛的).).与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论.例如：判
4、别通常的函数级数的一致收敛性例如：判别通常的函数级数的一致收敛性的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也成立。的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也成立。在区间在区间I上收敛上收敛 (一致收敛一致收敛),则称则称 在区间在区间I15如果如果而级数而级数是收敛的，则函数向量级数是收敛的，则函数向量级数在区间在区间上是上是一致收敛一致收敛的。的。如果连续函数向量序列如果连续函数向量序列在在上是上是一致收敛的，一致收敛的， 则则函数矩阵序列的收敛函数矩阵序列的收敛?16（3）微分方程组的向量表示微分方程组的向量表示矩阵形式矩阵形式:记记初始条件初始条件初始值问题初始值问题: : 17例例1: 1: 将
5、初值问题将初值问题 化为用矩阵表示的方程组形式化为用矩阵表示的方程组形式. .解解: : 则有则有 设设令令 则有则有 初始条件初始条件 18三、三、微分方程组解的存在唯一性定理微分方程组解的存在唯一性定理则初值问题则初值问题 定理定理4.1 4.1 设设 和和 在在 上上连续连续, , 在在 内内存在惟一解存在惟一解 . .19证明证明: : （1 1）设设 为的满足初始条件为的满足初始条件的解的解. . （2 2）构造）构造PicardPicard迭代向量函数序列迭代向量函数序列, , 的解的解, 则则 是积分方程是积分方程取取 , ,为区间为区间 上的连续函数列上的连续函数列.令令20级
6、数的部分和级数的部分和由由Weiestrass 判别法判别法, 级数一致收敛级数一致收敛,所以向量函数序列所以向量函数序列一致收敛一致收敛.构造构造 （3）序列序列 在在 上是一致收敛的上是一致收敛的. . 令令 21（4） 是积分方程在是积分方程在 上的连续解上的连续解. . 22(5)(5)解的唯一性解的唯一性 设设 是积分方程的另一连续解是积分方程的另一连续解, ,则有则有令令 , ,所以所以 即即 .则则23对于高阶线性方程对于高阶线性方程利用变换利用变换将其化为方程组将其化为方程组其中其中24作业作业: P174 2，3，4 (1)，625结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！26
