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1、义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书浙江版浙江版浙江版浙江版数学数学数学数学八年级下册八年级下册八年级下册八年级下册请你欣赏请你欣赏观察以下图案，说明它们都是由哪些观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？几何图形组成？ 正角形正角形从现实生活中抽象出几何图形从现实生活中抽象出几何图形正方形正方形从现实生活中抽象出几何图形从现实生活中抽象出几何图形正五边形正五边形从现实生活中抽象出几何图形从现实生活中抽象出几何图形正六边形正六边形从现实生活中抽象出几何图形从现实生活中抽象出几何图形新知识正三角形正三角形正方形正方形正六边形
2、正六边形正五边形正五边形正七边形正七边形正八边形正八边形正多边形正多边形: : 各边相等、各内角也相等各边相等、各内角也相等的多边形的多边形. .正三角形正三角形正三角形正三角形正方形正方形正方形正方形正六边形正六边形正六边形正六边形正五边形正五边形正五边形正五边形.思考思考:(1)(1)三边都相等的三角形是正三角形吗三边都相等的三角形是正三角形吗? ?(2)(2)四边都相等的四边形是正方形吗四边都相等的四边形是正方形吗? ?(3)(3)四个角都相等的四边形是正方形吗四个角都相等的四边形是正方形吗? ?正三角形正三角形正三角形正三角形正方形正方形正方形正方形正六边形正六边形正六边形正六边形正五
3、边形正五边形正五边形正五边形做一做做一做:求下列各正多边形的各个内角度数求下列各正多边形的各个内角度数6060o o9090o o108108o o120120o o练一练练一练: :(1)(1)正十边形的每个内角为正十边形的每个内角为_度度144144(2)(2)一个正多边形的内角和为一个正多边形的内角和为12601260o o, ,那么这个正那么这个正多边形有多边形有_条边条边, ,它的一个外角是它的一个外角是_度度. .9 94040(3)(3)下列各正多边形都是轴对称图形吗？下列各正多边形都是轴对称图形吗？ 各有几条对称轴？各有几条对称轴？正三角形正三角形正三角形正三角形正方形正方形正
4、方形正方形正六边形正六边形正六边形正六边形正五边形正五边形正五边形正五边形3 3条条4 4条条5 5条条6 6条条用一种或几种多边形进行用一种或几种多边形进行拼接拼接, ,彼此之间彼此之间不留缝隙不留缝隙, ,也也不重叠不重叠地铺成一片地铺成一片, ,叫做叫做平面图形平面图形的的镶嵌镶嵌. .生活中利用镶嵌组成的美丽图案生活中利用镶嵌组成的美丽图案 你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 下列各下列各正正多边形中多边形中, ,哪些能哪些能单独单独镶嵌平面，镶嵌平面， 哪些不能，为什么？哪些
5、不能，为什么？观察以下图形并思考在镶嵌时，观察以下图形并思考在镶嵌时，如何做到如何做到既既无缝隙无缝隙又又不重叠不重叠?每个顶点处几个角的和为每个顶点处几个角的和为360正三角形为什么能镶嵌？正三角形为什么能镶嵌？正方形为什么能镶嵌？正方形为什么能镶嵌？1231+2+3=?1+2+3=?正五边形可以镶嵌吗？正五边形可以镶嵌吗？原来拼不了！原来拼不了！为什么为什么?正五边形不能密铺正五边形不能密铺! !正六边形为什么能镶嵌？正六边形为什么能镶嵌？正多边形正多边形能否镶嵌平面能否镶嵌平面, ,关键是拼接点处的关键是拼接点处的几个几个内角和内角和能否构成能否构成360360. .还有其他的正多边形可
6、以进行镶嵌吗？还有其他的正多边形可以进行镶嵌吗？ 能否平面能否平面 镶嵌镶嵌 图形图形一个顶点处正一个顶点处正多边形的个数多边形的个数 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形643不能不能能能单独单独镶嵌平面的镶嵌平面的正多边形正多边形只有只有3 3种，种，即正三角形、正方形、正六边形即正三角形、正方形、正六边形. .综合上述研究，可得出以下结论：综合上述研究，可得出以下结论：1.三角形可以作平面镶嵌吗三角形可以作平面镶嵌吗? 若能，三角形将如何镶嵌呢若能，三角形将如何镶嵌呢?231231231231231231231231231231 形状、大小完全相同的任
7、意形状、大小完全相同的任意 三角形可以镶嵌平面吗？三角形可以镶嵌平面吗？如图如图,四边形四边形ABCD中中,因为因为 A+ B+ C+ D = 360,所以四边形也可以作平面镶嵌所以四边形也可以作平面镶嵌.ABDC2.四边形呢四边形呢?241324132413241324132413241324132413241324132413 形状、大小完全相同的任意四边形形状、大小完全相同的任意四边形 可以镶嵌平面吗？可以镶嵌平面吗？ 从而发现：从而发现： 形状、大小完全相同的平面图形形状、大小完全相同的平面图形 能够镶嵌平面的有：能够镶嵌平面的有： 任意三角形、任意四边形、正六边形任意三角形、任意四边
8、形、正六边形. .练习一练习一1. 形状、大小完全相同的任意三角形、四边形形状、大小完全相同的任意三角形、四边形 能否单独作镶嵌能否单独作镶嵌 ( )2. 用任意三角形镶嵌平面时用任意三角形镶嵌平面时,同一顶点处应摆放同一顶点处应摆放 ( )个三角形个三角形;用任意四边形镶嵌平面时，用任意四边形镶嵌平面时， 同一顶点处应摆放同一顶点处应摆放( )个四边形个四边形.3.下面四种正多边形中下面四种正多边形中,用同一种图形用同一种图形不能不能平面平面 镶嵌的是镶嵌的是( ). ABCD能能64C练习二练习二如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的规律如图用两种颜色的正六边形的砖按图所示的规律,镶嵌成若
9、干个图案：镶嵌成若干个图案：(1).第第4个图案中有白色地砖个图案中有白色地砖( )块块.(2).第第n个图案中有白色地砖个图案中有白色地砖( )块块.184n+2探究多种正多边形的组合镶嵌平面探究多种正多边形的组合镶嵌平面下列多边形组合，能够密铺平面的是：下列多边形组合，能够密铺平面的是：（1 1）正三角形与正六边形；）正三角形与正六边形；（2 2）正三角形与正方形；）正三角形与正方形；（3 3）正方形与正八边形；）正方形与正八边形；（4 4）正六边形与正八边形；）正六边形与正八边形；（5 5）正三角形、正方形与正六边形。）正三角形、正方形与正六边形。当围绕一点拼在一起的几个正多边形当围绕一
10、点拼在一起的几个正多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时的内角和加在一起恰好组成一个周角时,就能镶嵌一个平面图形就能镶嵌一个平面图形;那么哪些正多那么哪些正多边形可以进行镶呢？边形可以进行镶呢？设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，个正三角形，n个正方形的角。个正方形的角。注意注意:同一个组合会有不同的镶嵌效果同一个组合会有不同的镶嵌效果(1) 正三角形与正方形的平面镶嵌正三角形与正方形的平面镶嵌正方形和正三角形的组合镶嵌正方形和正三角形的组合镶嵌正正方方形形和和正正三三角角形形的的组组合合镶镶嵌嵌设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，个正三角形，n个正六边形的角个正
11、六边形的角.(2) 正三角形与正六边形的平面镶嵌正三角形与正六边形的平面镶嵌正六边形和正三角形的组合镶嵌正六边形和正三角形的组合镶嵌正六边形和正三角形的组合镶嵌正六边形和正三角形的组合镶嵌1.1.镶嵌的要求：镶嵌的要求：无缝隙，不重叠无缝隙，不重叠2.2.多边形能否镶嵌的条件：多边形能否镶嵌的条件：每个顶点处几个角的和为每个顶点处几个角的和为360360试试看试试看: :请你用两种或两种以上的请你用两种或两种以上的多边形设计镶嵌图案多边形设计镶嵌图案. .解：因为正八边形的内角为解：因为正八边形的内角为135o， 正方形的内角为正方形的内角为90o，根据：，根据： 135o2+90o360o，
12、可知：，可知： 两个两个正八边形和正八边形和一个一个正方形正方形 能拼成一幅镶嵌图能拼成一幅镶嵌图.例例:用边长相同的用边长相同的正四边形和正八边形正四边形和正八边形做平面密铺，有几种可能？为什么？做平面密铺，有几种可能？为什么？在公共的顶点处各正多边形的内角和等于在公共的顶点处各正多边形的内角和等于360正方形、正八边形的组合镶嵌正方形、正八边形的组合镶嵌解：设在一个顶点周围有解：设在一个顶点周围有x个正四边形，个正四边形，y个正八边形，个正八边形， 则则 x90+y135=360 即即2x+3y=8 这个方程的非负整数解为：这个方程的非负整数解为： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =2
13、 y 2 =0所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能：所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能：(1)在它的一个顶点周围在它的一个顶点周围1个正四边形配个正四边形配2个正八边形；个正八边形；(2)在它的一个顶点周围都用正四边形在它的一个顶点周围都用正四边形.例例:用边长相同的用边长相同的正四边形和正八边形正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？做平面密铺，有几种可能？为什么？关键：得到一个关于边数关键：得到一个关于边数x，y的方程，的方程， 然后求出它的整数解。然后求出它的整数解。正三角形、正方形、正六边形的组合镶嵌正三角形、正方形、正六边形的组合镶嵌正三角形、正十二边形的组合镶嵌正三角形、正十二边形的组合镶嵌2m+5n=12m=1n=2 m60 +n150 =360。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形的角、个正三角形的角、n个正十二边形的角，则有个正十二边形的角，则有m、n为正整数为正整数解为解为
