《高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 理（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2 2节导数在研究函数中的应用节导数在研究函数中的应用知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破类题探源精析类题探源精析 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.若函数若函数f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内单调递增内单调递增, ,那么一定有那么一定有f(xf(x)0)0吗吗? ?f(xf(x)0)0是否是是否是f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内单调递增的充要条件内单调递增的充要条件? ?提示提示: :函数函数f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内单调递增内单调递增, ,则则f(x)0,f(x)
2、0f(x)0,f(x)0是是f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内单调递增的充分不必要条件内单调递增的充分不必要条件. .2.f(x2.f(x0 0)=0)=0是可导函数是可导函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处取极值的什么条件处取极值的什么条件? ?提示提示: :必要不充分条件必要不充分条件, ,因为当因为当f(xf(x0 0)=0)=0且且x x0 0左右两端的导数符号变化左右两端的导数符号变化时时, ,才能说才能说f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处取得极值处取得极值. .反过来反过来, ,如果可导函数如果可导函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处处取极
3、值取极值, ,则一定有则一定有f(xf(x0 0)=0.)=0.知识梳理知识梳理 1.1.函数的单调性与导数函数的单调性与导数(1)(1)函数函数y=y=f(xf(x) )在某个区间内可导在某个区间内可导若若f(xf(x)0,)0,则则f(xf(x) )在这个区间内在这个区间内 ; ;若若f(xf(x)0,)0,则则f(xf(x) )在这个区间内在这个区间内 ; ;如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f(xf(x)=0,)=0,则则f(xf(x) )为常函数为常函数. .(2)(2)单调性的应用单调性的应用若函数若函数y=y=f(xf(x) )在区间在区间( (a,ba,b) )上单调上单
4、调, ,则则y=y=f(xf(x) )在该区间上不存在变号在该区间上不存在变号零点零点. .2.2.函数的极值与导数函数的极值与导数(1)(1)函数极小值的概念函数极小值的概念函数函数y=y=f(xf(x) )在点在点x=ax=a处的函数值处的函数值f(af(a) )比它在点比它在点x=ax=a附近其他点的函数附近其他点的函数值都小值都小; ;f(af(a)=0;)=0;单调递增单调递增单调递减单调递减在点在点x=ax=a附近的左侧附近的左侧 , ,右侧右侧 ; ;则点则点a a叫做函数叫做函数y=y=f(xf(x) )的的 , ,f(af(a) )叫做函数叫做函数y=y=f(xf(x) )的
5、的 . .(2)(2)函数极大值的概念函数极大值的概念函数函数y=y=f(xf(x) )在点在点x=bx=b处的函数值处的函数值f(bf(b) )比它在点比它在点x=bx=b附近其他点的函数值附近其他点的函数值都大都大; ;f(bf(b)=0;)=0;在点在点x=bx=b附近的左侧附近的左侧 , ,右侧右侧 ; ;则点则点b b叫做函数叫做函数y=y=f(xf(x) )的的 , ,f(bf(b) )叫做函数叫做函数y=y=f(xf(x) )的的 ; ;极极小值点与极大值点统称为小值点与极大值点统称为 , ,极小值与极大值统称为极小值与极大值统称为 . .3.3.函数的最值与导数函数的最值与导数
6、求函数求函数y=y=f(xf(x) )在闭区间在闭区间 a,ba,b 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤: :(1)(1)求求y=y=f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内的内的 ; ;(2)(2)将函数将函数y=y=f(xf(x) )的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a),f(bf(a),f(b) )比较比较, ,其中其中 的的一个为最大值一个为最大值, , 的一个为最小值的一个为最小值. .f(xf(x)0)0)0极小值点极小值点极小值极小值f(xf(x)0)0f(xf(x)0)0f(x)0是是f(x)f(x)为增函数的充要条件为增函数的充要条件.
7、 .函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. .函数的极大值不一定比极小值大函数的极大值不一定比极小值大. .对可导函数对可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是是x x0 0点为极值点的充要条件点为极值点的充要条件. .函数的最大值不一定是极大值函数的最大值不一定是极大值, ,函数的最小值也不一定是极小值函数的最小值也不一定是极小值. .其中真命题是其中真命题是.(.(写出所有真命题的序号写出所有真命题的序号) )解析解析: :错误错误.f(x)0.f(x)0能推出能推出f(x)f(x)为增函数为增函数, ,反之不一定反之不一定.
8、 .如函数如函数f(x)=xf(x)=x3 3在在(-,+)(-,+)上单调递增上单调递增, ,但但f(x)0.f(x)0.所以所以f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)为增函数的充分条件为增函数的充分条件, ,但不是必要条件但不是必要条件. .错误错误. .一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个. .正确正确. .一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系, ,极大值可能极大值可能比极小值大比极小值大, ,也可能比极小值小也可能比极小值小, ,还可能与极小值相等还可能与极小值相等. .错误错
9、误. .对可导函数对可导函数f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0只是只是x x0 0点为极值点的必要条件点为极值点的必要条件, ,如如y=xy=x3 3在在x=0x=0时时f(0)=0,f(0)=0,而函数在而函数在R R上为增函数上为增函数, ,所以所以0 0不是极值点不是极值点. .正确正确. .当函数仅在区间端点处取得最值时当函数仅在区间端点处取得最值时, ,这时的最值不是极值这时的最值不是极值. .答案答案: :第一课时利用导数研究函数的单调性第一课时利用导数研究函数的单调性考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 判断或证明函数的单调性判断
10、或证明函数的单调性高考扫描高考扫描: :20132013高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2014,2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2015,2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例1 1】 已知函数已知函数f(x)=(a-1)ln x+axf(x)=(a-1)ln x+ax2 2+1,+1,讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调性的单调性. .当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0:f(x)0时为增函数时为增函数;f(x)0;f(x)0.,g(x)0.当当x(ln 2,+)x(ln 2,+)时时,g(x)0,g(x)0,所以所以f(x)f(x)maxmax=g(x)=g(x
11、)maxmax=g(ln 2)=2ln 2-20,=g(ln 2)=2ln 2-20,所以所以f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0),-ax=x(x-a)(a0),当当x(-,0)x(-,0)时时,f(x)0;,f(x)0;当当x(0,a)x(0,a)时时,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.所以函数所以函数f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,0),(a,+),(-,0),(a,+),单调递减区间为单调递减区间为(0,a).(0,a).(3)(3)设函数设函数g(x)=f(x)+2x,g
12、(x)=f(x)+2x,且且g(x)g(x)在区间在区间(-2,-1)(-2,-1)内存在单调递减区间内存在单调递减区间, ,求求实数实数a a的取值范围的取值范围. .反思归纳反思归纳 已知函数单调性已知函数单调性, ,求参数范围的两个方法求参数范围的两个方法(1)(1)利用集合间的包含关系处理利用集合间的包含关系处理:y=f(x):y=f(x)在在(a,b)(a,b)上单调上单调, ,则区间则区间(a,b)(a,b)是相应单调区间的子集是相应单调区间的子集. .(2)(2)转化为不等式的恒成立问题来求解转化为不等式的恒成立问题来求解: :即即“若函数单调递增若函数单调递增, ,则则f(x)
13、0;f(x)0;若函数单调递减若函数单调递减, ,则则f(x)0f(x)0”. .提醒提醒:f(x):f(x)为增函数的充要条件是对任意的为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)x(a,b)都有都有f(x)0.f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略应注意此时式子中的等号不能省略, ,否则漏解否则漏解. .【即时训练即时训练】 设函数设函数f(x)=(x+a)ef(x)=(x+a)eaxax(a(aR R).).(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间; ;(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(-4,4)(-4,4)内单调递增内单调递增, ,求求a a的取
14、值范围的取值范围. .备选例题备选例题 答案答案: :(0,1(0,1【例例2 2】 已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3-ax-1.-ax-1.(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性; ;(2)(2)若若f(x)f(x)在在R R上为增函数上为增函数, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .解：解：(2)(2)因为因为f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数, ,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-,+)(-,+)上恒成立上恒成立, ,即即a3xa3x2 2对对xxR R恒成立恒成立. .因为因为3x3x2 20
15、,0,所以只需所以只需a0.a0.又因为又因为a=0a=0时时,f(x)=3x,f(x)=3x2 20,f(x)=x0,f(x)=x3 3-1-1在在R R上是增函数上是增函数, ,所以所以a0,a0,即即a a的取值范围为的取值范围为(-,0.(-,0.类题探源精析类题探源精析 把复杂的问题简单化把复杂的问题简单化导函数图象与原函数图象的关系导函数图象与原函数图象的关系教材源题教材源题: :水以恒速水以恒速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注入下面四种底面注入下面四种底面积相同的容器中积相同的容器中, ,请分别找出与各容器对应的水的高度请分别找出与各容器对应
16、的水的高度h h与时间与时间t t的函数关的函数关系图象系图象. .解解: : (1)(B),(2)(A),(3)(D),(4)(C). (1)(B),(2)(A),(3)(D),(4)(C).方法总结方法总结 若函数在某范围内导数的绝对值较大若函数在某范围内导数的绝对值较大, ,则函数在这个则函数在这个范围内范围内“增增”或或“减减”得快得快, ,函数的图象比较函数的图象比较“陡峭陡峭”, ,反之反之, ,函数的函数的图象图象“平缓平缓”. .【源题变式源题变式】 已知函数已知函数y=y=f(xf(x) )的图象是下列四个图象之一的图象是下列四个图象之一, ,且其导函数且其导函数y=y=f(xf(x) )的图象如图所示的图象如图所示, ,则该函数的图象是则该函数的图象是( () )解析解析: :由函数由函数y=y=f(xf(x) )的导函数的导函数y=y=f(xf(x) )的图象先增后减的图象先增后减, ,所以函数所以函数y=y=f(xf(x) )的图象的变化率也是先增后减的图象的变化率也是先增后减, ,观察图象可得观察图象可得B B正确正确. .故选故选B.B.
