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1、一一 结构的位移及产生的原因结构的位移及产生的原因 1 荷载作用CFPCC 横截面形心C移动距离CC-C点线位移C截面转动一个角度-截面C的角位移或转角2 温度作用C点线位移-CCC截面角位移-CC+t除了荷载、温度引起结构位移外，还有支座移动、制造误差和材料收缩等引起结构位移CC 三 广义力和广义位移功: 一个大小不变的力与其作用点沿力的方向相应位移的乘积。FAA实功：力在自身引起的位移上作的功。变力作功，功的表达式前有1/2系数W=(1/2)F二二 位移计算的目的位移计算的目的 1 校核刚度结构刚度要求是结构变形后产生最大位移来衡量。 2 对超静定结构计算打下基础在超静定结构分析中,除了考
2、虑平衡条件,还考虑变形条件。 3 在结构制造与施工中,用加长和缩短杆件长度以达到整个结构向上起拱的目的。FA1 虚功：力在别的原因所引起的位移上所作的功。“虚”强调力与位 移彼此无关，是常力作功，故功的表达式前无1/2系数 W=F 力或力系作功，常用两个因子的乘积来表示，其中与力相应的因子为广义力，另一个与位移相应的因子为广义位移ABMABW=MFFABABW=FA+FB=F(A+B)=FAB 作功需要两个要素：力和位移。力和位移无关时，为虚功。因此可将虚功的两个要素看作同一结构两个彼此无关的状态。一一外力虚功外力虚功和和 刚体虚功原理刚体虚功原理二 外力所作虚功为外力虚功，W表示。 理想约束
3、的刚体体系上， 1 力状态上的力系满足平衡条件 2 位移状态上的刚体位移与几何约束相容外力虚功之和等于0 W=0 -刚体虚功方程二二 虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用1 虚设位移状态-求未知力（虚位移原理） 虚位移原理建立的虚功方程实质是静力平衡方程，是将一个静力问题转化为几何问题，利用虚位移之间几何关系求给定力系中的未知力。沿未知力方向虚设单位位移的方法-虚单位位移法例：求FBYEABCDEX=1CGFPFPABCDEXGFPFPABCDEaaaaaGFPFPABCDEFPFPABCDEXXE=1a求MEFPFPABCDEXX1/21/2求FQE右2 虚设力状态-求未知位移沿所求位移方向
4、虚设单位荷载-单位荷载法求C点的水平位移CH 虚力原理实质上是未知位移与已知的支座位移之间的几何方程。是把一个求位移的几何问题转化为静力平衡问题。CFP=1aCa2ac1c2A（5-1）三三 支座移动时位移计算支座移动时位移计算例 A支座下沉并顺时针转动角度=/4,则角C两侧截面的相对转角C-C？M=1 M=121/41/4一一 虚变形能虚变形能 对于变形体, 力状态外力因结构的位移状态做虚功时,力状态的内力也因位移状态的相对变形做虚功虚变形能（V）二二 变形体系虚功原理变形体系虚功原理 在一个变形体上 1 位移状态满足变形与位移协调并与约束几何相容 2 力状态满足平衡条件 外力虚功W=虚变形
5、能V(5-2) 结构的外力在相应位移所做的虚功等于其产生的内力在相应的变形上所做虚功(虚变形能)三三 利用虚力原理计算结构位移利用虚力原理计算结构位移求A点位移(5-3)1 结构位移计算的一般公式（具有普遍性）2 结构位移计算的一般步骤： （1）沿所求位移的方向虚设单位荷载； （2) 在单位荷载作用下，根据平衡条件求结构内力和反力； （3）由公式（5-3）求位移。3 3 怎样虚设单位荷载怎样虚设单位荷载 广义位移(线位移,角位移,相对线位移,相对角位移) 根据广义位移虚设广义单位荷载： 单位力的选取保证单位力在相应位移上做虚功其值正好 W=1=(所求广义位移) F广义力(单位力,单位力偶,一对
6、单位力,一对单位力偶)BAF=1F=1W=1A+1B=1(A+B)=ABF=1F=1ABW=1A+1B=1(A+B)=ABABM=1ABAW=1A= AABM=1M=1ABABW=1+1=1(+)= AB1/d1/dBAABAB垂直位移之和ABABAB垂直相对位移AB即、由荷载引起(C=0) 荷载内力内力应力-应变代入上式 截面形状系数(沿截面分布不均匀)，当截面为矩形时=1.21 梁和刚架 位移主要由M引起 3 桁架 各杆只受轴力 4 组合结构 2 拱 一般拱（非扁平拱） 扁平拱例1: 图示刚架截面为矩形截面（E为常数，且G=0.4E）求C点的垂直位移CV，xxxxCB:BA:例2: 求EV
7、 、 AE 、 角ABE的改变量，EA=常量。00FPFP-FP11/21/2-11/2a1/2aaaaaaFPFPEAB1/4a1/4a-1/2a例3：求图示圆弧曲杆B点的竖向位移BV ， (EI=常数)1 对于梁和刚架 如果结构满足下列几个条件如果结构满足下列几个条件 1 杆段的EI=常数 2 杆段轴线为直线 3 和 MP图至少有一图由直线段组成（对于直杆结构，M图总是直线。）积分后图形间的关系AP与yC同侧正(5-3)微面积对y轴静矩 APMP图形面积xCMP图形心x坐标yC横坐标为xC的M图的纵坐标注意：注意：1 如果MP图为曲线，M图由若干直线段组成时，应分段图乘。2 MP图跨越x轴
8、（既有正面积又有负面积），将MP图分段，保证每段MP图位于x轴的一侧3 如果两个图形都是直线图，标距yc取自任一图形4 如果图形比较复杂，可分解为几个简单图形，分项计算在进行叠加 例如：梯形可分解为矩形和三角形 非标准抛物线化为标准的抛物线形状2 几种简单图形的面积及形心标准抛物线含有顶点，且顶点切线与基线平行非标准图形要合理转换成标准图形的组合再计算(d)(c)例1 求yB yCFPL/2(a)(b)(b)X(c)(b)X(d)例2 求yB (EI=常数)B例3 求B ， yC (EI=常数)(a)(b)(c)(b)X(c)(d)(b)X(d)(b)例4 求B (EI=常数)10L5L51M
9、105(a)(b)X(c)5对于静定结构中, 温度改变不引起内力,变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。 、c=0 上表面温度升高t1, 下表面温度升高t2,线膨胀系数梁内部温度变化沿高度呈线性,变形后截面仍保持平面 形心轴处温度: (5-4)如每一杆沿全长温度变化相同,且截面高度不变虚拟状态的变形与实际状态由于温度变化所引起变形相同取正值。例1: 结构面积A相同,且有对称的形心轴,线膨胀系数,h=L/10。求CVCABDAB:CD:例： 等截面简支梁上面降t,下面升高t,同时两端有一对力 偶M,欲使梁端A转角为0,M为多少？ ,EI,h,L已知。AB例: 图示桁架,因制造不准,AB杆比原设计
10、长度短4cm,求C点CV A移动到A时,结构发生位移,但不产生内力(几何可变),各杆无变形,AB杆方向有位移,做虚功。A问题问题: : 1 温度变化、材料收缩、支座移动和制造误差能否使 静定结构产生反力 和 内力？ 2 静定结构的反力和内力与材料性质、截面尺寸、形状有无关系？求位移的关键求位移的关键: : 1 根据所求位移确定单位广义力状态 2 求外因引起的变形、位移 根据虚功的原理推导几个互等定理,对超静定结构的计算非常有用。下面的互等定理只适用于线弹性体系状态1的力在状态2位移上做功状态2的力在状态1位移上做功 1 功的互等定理(1a)(2a)(1)状态1的外力在状态2位移上所做的功等于状态2的外力在状态1位移上所做的功2 位移互等定理 (2)应用于静定结构和超静定结构(力法中用到) 3 反力互等定理(3)只适用与超静定结构(位移法中用到)4 反力与位移互等定理 应用于静定结构和超静定结构(混合法中用到)（4）
