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1、第四章第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论地球椭球数学投影变换的基本理论 4.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐标系及其关系 4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算 4.5 大地线大地线 4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 4.7 大地测量主题解算概述大地测量主题解算概述 4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 4.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念横轴墨卡托投影和高
2、斯投影簇的概念 4.11 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述2024/7/241椭球数学变换椭球数学变换(16节节第四章第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论地球椭球数学投影变换的基本理论4.1地球椭球基本参数及其互相关系地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): 长半轴 短半轴 椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率 通常用a , 2024/7/242椭球数学变换椭球数学变换(16节节为简化书写，还常引入以下符号2024/7/243椭球数学变换椭球数学变换(16节节4.2 椭球面上常用坐标系及其关系椭球面上常用坐
3、标系及其关系4.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1、大地坐标系、大地坐标系大地经度大地经度B 大地纬度大地纬度L 大地高大地高H 2024/7/244椭球数学变换椭球数学变换(16节节2、空间直角坐标系空间直角坐标系定义：1、坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；2、Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；3、X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；4、Y轴与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。 2024/7/245椭球数学变换椭球数学变换(16节节3、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设P点的大地经度
4、为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。 2024/7/246椭球数学变换椭球数学变换(16节节4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系; 以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交点，则OP与x轴夹角称为P点的归化纬度归化纬度u。 2024/7/247椭球数学变换椭球数学变换(16节节5 5、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地
5、线在M点的方位角。 以M为极点； MN为极轴； P点极坐标为（S, A)2024/7/248椭球数学变换椭球数学变换(16节节4.2.2 坐标系之间的相互关系坐标系之间的相互关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系 2024/7/249椭球数学变换椭球数学变换(16节节 令: pn=N2024/7/2410椭球数学变换椭球数学变换(16节节空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系 2024/7/2411椭球数学变换椭球数学变换(16节节空间直角坐标系同大地坐标系空间直角坐标系同大地坐标系 在椭球面上在椭球面上的点：的点： 不在椭球面上不在椭球面上的点：的点：2024
6、/7/2412椭球数学变换椭球数学变换(16节节n由空间直角坐标计算相应大地坐标 或2024/7/2413椭球数学变换椭球数学变换(16节节B、u、 之间的关系之间的关系 B和u之间的关系 2024/7/2414椭球数学变换椭球数学变换(16节节U、之间的关系、之间的关系 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时2024/7/2415椭球数学变换椭球数学变换(16节节4.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。子午圈曲率半径2024/7/2416椭球数
7、学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2417椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2418椭球数学变换椭球数学变换(16节节卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。 2024/7/2419椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2420椭球数学变换椭球数学变换(16节节卯酉圈曲率半径的特点卯酉圈
8、曲率半径的特点: : 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。 2024/7/2421椭球数学变换椭球数学变换(16节节主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。 2024/7/2422椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2423椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2424椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2425椭球数学变换椭球数学变换(16节节任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 2024/7
9、/2426椭球数学变换椭球数学变换(16节节 任意法截弧的曲率半径的变化规律: 不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。 当时，变为计算子午圈曲率半径的，即； 当90时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径M及N分别是的极小值和极大值。 当A由090时，之值由，当A由90180时，值由N，可见值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。 2024/7/2427椭球数学变换椭球数学变换(16节节平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。 2024/7/2428椭球数学变换椭球数学变换(16节节M，N，
10、R的关系 2024/7/2429椭球数学变换椭球数学变换(16节节对于克拉索夫斯基椭球2024/7/2430椭球数学变换椭球数学变换(16节节4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 2024/7/2431椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2432椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2433椭球数学变换椭球数学变换(16节节如果以B90代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为10 000km，地球周长约为40 000km。
11、为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X及X，而后取差：，该即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M 2024/7/2434椭球数学变换椭球数学变换(16节节由子午弧长求大地纬度 迭代解法: 平行圈弧长公式 2024/7/2435椭球数学变换椭球数学变换(16节节子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较2024/7/2436椭球数学变换椭球数学变换(16节节4.5 大地线大地线 两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在两点间的最短距离，在
12、平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢一条线呢? ? 它应是大地线。它应是大地线。相对法截线相对法截线 2024/7/2437椭球数学变换椭球数学变换(16节节相对法截线相对法截线 2024/7/2438椭球数学变换椭球数学变换(16节节相对法截线的特点相对法截线的特点: :当当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上在椭球面上A，B，
13、C三个点处所测得的角度三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。线构成的单一的三角形。 2024/7/2439椭球数学变换椭球数学变换(16节节大地线的定义和性质大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短椭球面上两点间的最短程曲线叫做程曲线叫做大地线大地线。2024/7/2440椭球数学变换椭球数学变换(16节节 大地线的性质大地线的性质: :大地线是两点间惟一
14、最短线，而且位于相对法截线之大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。相应大地线的方向、距离。长度差异可忽略长度差异可忽略, ,方向差异需改化。方向差异需改化。 2024/7/2441椭球数学变换椭球数学变换(16节节补充内容补充内容：球面直角三角形的球面三角公式球面直角三角形的球面三角公式 任一元素的余
15、弦等于不相邻两元素的正弦之积任一元素的余弦等于不相邻两元素的正弦之积2024/7/2442椭球数学变换椭球数学变换(16节节任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积2024/7/2443椭球数学变换椭球数学变换(16节节大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 2024/7/2444椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2445椭球数学变换椭球数学变换(16节节大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中
16、常数在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C C也叫大地线常数也叫大地线常数 2024/7/2446椭球数学变换椭球数学变换(16节节当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出 2024/7/2447椭球数学变换椭球数学变换(16节节4.6 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求：归算的两条基本要求：
17、以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三三差改正差改正。 2024/7/2448椭球数学变换椭球数学变换(16节节垂线偏差改正垂线偏差改正 以测站A为中心作出单位半径的辅助球,u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以,表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。
18、垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1) 2024/7/2449椭球数学变换椭球数学变换(16节节标高差改正 2024/7/2450椭球数学变换椭球数学变换(16节节截面差改正截面差改正 2024/7/2451椭球数学变换椭球数学变换(16节节 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以可以认为它是基线平均高程面上的长度，以表表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 1. 1.垂线偏差
19、对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响 2024/7/2452椭球数学变换椭球数学变换(16节节2.高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 2024/7/2453椭球数学变换椭球数学变换(16节节电磁波测距的归算电磁波测距的归算 2024/7/2454椭球数学变换椭球数学变换(16节节2024/7/2455椭球数学变换椭球数学变换(16节节作业一：作业一：1什么是岁差与章动？什么是极移？什么是岁差与章动？什么是极移？2什么是时圈什么是时圈 、黄道与春分点？什么是天球坐标、黄道与春分点？什么是天球坐标系的基准点与基准面？系的基准点与基准面？3什么是惯性坐标系？什么协议天球坐标系什么是惯性坐标
20、系？什么协议天球坐标系 、瞬、瞬时平天球坐标系、时平天球坐标系、 瞬时真天球坐标系？瞬时真天球坐标系？4试写出协议天球坐标系与瞬时平天球坐标系之试写出协议天球坐标系与瞬时平天球坐标系之间，瞬时平天球坐标系与瞬时真天球坐标系的转间，瞬时平天球坐标系与瞬时真天球坐标系的转换数学关系式。换数学关系式。2024/7/2456椭球数学变换椭球数学变换(16节节作业二：作业二： 1为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常重力？目前一般实用的正常地球是什么形状？重力？目前一般实用的正常地球是什么形状？2什么是水准测量的理论闭合差？水准测量的什么是水准测量的理论闭合差？水准测量的观测高差一般要加入那些改正？观测高差一般要加入那些改正？3正常重力公式正常重力公式 是用来计算什么地方的正常重力是用来计算什么地方的正常重力？4. 为什么水准测量会产生多值性？为什么水准测量会产生多值性？ 2024/7/2457椭球数学变换椭球数学变换(16节节
