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1、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 前往 终了 数量积 向量积 *混合积 第八章 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿
2、与力夹角为的直线挪动,1. 定定义义设向量的夹角为 , 称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, 位移为 s , 那么力F 所做的功为机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University记作故2. 性性质质为两个非零向量, 那么有 机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical
3、 UniversitySouthern Medical University3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律现实上, 当时, 显然成立 ;机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例1. 证明三角形余弦定理证明三角形余弦定理证证:那么如图 . 设机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medi
4、cal UniversitySouthern Medical University4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设那么当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例2. 知三点知三点 AMB . 解解:那么求故机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical Un
5、iversitySouthern Medical University体的质量P (流体密度为 ) .求单位时间内流过该平面域的流例例3. 设均匀流速为设均匀流速为的流体流过一个面积为A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设设O 为为杠杆杠杆L 的支点的支点 , 有一个与杠杆符合
6、右手规那么作用在杠杆上的力矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 那么力 F机动 目录 上页 下页 前往 终了 夹角为 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规那么模 :向量积 ,称引例中的力矩思索思索: 右右图图三角形面三角形面积积S机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medica
7、l UniversitySouthern Medical University2. 性性质质为非零向量, 那么3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)证证明明:机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设那么机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical U
8、niversitySouthern Medical University向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法( 行列式计算见 P339P342 ) 机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例4. 知三点知三点角形 ABC 的面积 解解: 如下如下图图,求三机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical Un
9、iversitySouthern Medical University刚体上一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度设刚体以等角速度 绕绕 l 轴旋转轴旋转, 导出的表示式 . 解解: 在在轴轴 l 上引上引进进一个角速度向量一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与那么点 M分开转轴的间隔且符合右手法那么的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法那么 ,向径机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University*三、向
10、量的混合积1. 定定义义 知三向量称数量混合混合积积 .记作几何意几何意义义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为那么其机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical Un
11、iversity3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例6. 知一四面体的顶点知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解解: 知四面体的体知四面体的体积积等于以向量等于以向量为棱的平行六面体体积的故机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSIT
12、Y Southern Medical UniversitySouthern Medical University例例7. 证明四点证明四点共面 .解解: 因因故 A , B , C , D 四点共面 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY S
13、outhern Medical UniversitySouthern Medical University混合积:2. 向量关系:机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University思索与练习思索与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical
14、 UniversitySouthern Medical University证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式所以因机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical UniversityP22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三节 目录 上页 下页 前往 终了 作业作业 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University备用题备用题1. 知向量知向量的夹角且解：解：机动 目录 上页 下页 前往 终了 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical UniversitySouthern Medical University在顶点为的三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有机动 目录 上页 下页 前往 终了
