MATLAB第7章 振动上课讲义

《MATLAB第7章 振动上课讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB第7章 振动上课讲义（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、MATLAB第7章 振动 7.1 7.1 轨迹轨迹举例说明举例说明:重力场中有两个物体重力场中有两个物体,其中质量为其中质量为m2的物体固定的物体固定,而质而质量为量为m1的物体绕的物体绕m2做平面圆周运动。做圆周运动的做平面圆周运动。做圆周运动的m1物体的轨物体的轨道半径用变量道半径用变量r表示表示,角度用变量角度用变量表示。表示。两物体系统两物体系统 卫星绕地球转动时，卫星绕地球转动时，m2等于地球的质量，等于地球的质量，m1等于卫星的质等于卫星的质量，量，r为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程为卫星球心与地球球心间的距离。其运动轨迹由下列方程组决定：组决定：引入状态变量引入

2、状态变量: 7.2 7.2 单自由度系统单自由度系统一、概述一、概述1、力学模型、力学模型其中：振体质量为其中：振体质量为m，弹簧的线性系数为，弹簧的线性系数为k，非线性系数为，非线性系数为，阻尼系数为阻尼系数为c，外力，外力F(t）。）。弹簧弹簧质量质量阻尼系统阻尼系统2、运动微分方程、运动微分方程用用x表示系统的位移，则运动微分方程为：表示系统的位移，则运动微分方程为：引入新变量转化状态空间方程形式：引入新变量转化状态空间方程形式：二、线性系统的自由振动二、线性系统的自由振动1、运动微分方程、运动微分方程当线性项为当线性项为0时，得到线性振动系统的自由振动方程。时，得到线性振动系统的自由振

3、动方程。2、MATLAB求解求解对应的函数文件对应的函数文件FreeOcillation.mfunction xdot=FreeOcillation(t,x,dummy,zeta)xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1);三种阻尼系数三种阻尼系数（1）阻尼系数为）阻尼系数为0.1时是欠阻尼情况；（时是欠阻尼情况；（2）阻）阻尼系数为尼系数为1时是临界阻尼情况；（时是临界阻尼情况；（3）阻尼系数为）阻尼系数为5时是过阻尼时是过阻尼情况。情况。由初始条件（位移和速度均为由初始条件（位移和速度均为1时）建立执行文件时）建立执行文件menu72.mzeta=0.1 1.0 5.0;t

4、span=linspace(0,40,400);lintype=-b -r -r;for i=1:3 t,x=ode45(FreeOcillation,tspan,1 1,zeta(i); subplot(2,1,1); plot(t,x(:,1),lintype(2*(i-1)+1:2*i); hold on subplot(2,1,2); plot(x(:,1),x(:,2),lintype(2*(i-1)+1:2*i); hold onendsubplot(2,1,1);xlabel(Time( tau);ylabel(Displacement x( tau);title(Displac

5、ement as a function of( tau);axis(0 40 -2.0 2.0);text(2.7,-1.3,阻尼系数阻尼系数=0.1);text(3.6,-0.1,1.0);text(3.6,1.0,5.0);subplot(2,1,2);xlabel(Displacement);ylabel(Velocity);title(Phase portrait);axis(-2.0 2.0 -2.0 2.0);text(0.7,-1.25,阻尼系数阻尼系数=0.1);text(0.8,-0.65,1.0);text(0.8,0.1,5.0);运行结果运行结果三、线性系统的强迫振动三

6、、线性系统的强迫振动1、运动微分方程、运动微分方程2、MATLAB求解求解对应的函数文件对应的函数文件ForceOcillation.mfunction xdot=ForceOcillation(t,x,dummy,zeta,Omega,x0)xdot=x(2);-2.0*zeta*x(2)-x(1)+x0*cos(Omega*t);为了获得频谱图为了获得频谱图,建立函数文件建立函数文件AmplitudeSpectrum.mfunctionf,amplitude=AmplitudeSpectrum(yy,Fs,Nstart,N);f=(Fs*(0:N-1)/N)*2.0*pi;amplitud

7、e=abs(fft(yy(Nstart:Nstart+N),N)/N;采样速率采样速率30/6000=0.005,则采样频率则采样频率1/0.005=200,这个频率远远这个频率远远超出了必须达到的采样频率超出了必须达到的采样频率,结果显示截短频谱图结果显示截短频谱图,需设置需设置Nstart=3200,N=211=2048。t = 0:0.001:0.6;x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y = x + 2*randn(size(t);plot(y(1:50)title(Signal Corrupted with Zero-Mean Random Nois

8、e)xlabel(time (seconds)fft的应用的应用Fft变换程序变换程序Y = fft(y,512);Pyy = Y.* conj(Y) / 512;f = 1000*(0:256)/512;plot(f,Pyy(1:257)title(Frequency content of y)xlabel(frequency (Hz)时域运行结果时域运行结果频域运行结果频域运行结果编制执行文件编制执行文件menu72f.mzeta=0.4;Omega=3.0;x0=50;tspan=linspace(0,30,6000);options=odeset(RelTol,1e-8,AbsTol,

9、1e-8);lintype=-b; t,x=ode45(ForceOcillation,tspan,0 0,options,zeta,Omega,x0); subplot(2,1,1); plot(t,x(:,1); axis(0 30 -8 8); hold on subplot(2,1,2); yy=x(:,1); N=2048;Nstart=3200;Fs=200;f,Amplitude=AmplitudeSpectrum(yy,Fs,Nstart,N); semilogy(f(1:40),2*Amplitude(1:40);xlabel(Frequency);ylabel(Amplit

10、ude);title(Response spectrum of a linear system); hold onsubplot(2,1,1);xlabel(Time( tau);ylabel(Displacement x( tau);title(Response of a linear system);hold on运行结果运行结果频率响应频率响应 阶跃响应阶跃响应 脉冲响应脉冲响应Bode函数函数:g = tf(1 0.1 7.5,1 0.12 9 0 0);bode(g)bode(g,0.1 , 100)nyquist(g)impulse(g) 脉冲响应脉冲响应step(g) 阶跃响应阶

11、跃响应一、建立系统的运动微分方程一、建立系统的运动微分方程1 1. .用刚度影响系数法建立振动微分方程用刚度影响系数法建立振动微分方程可简写为可简写为 7.3 7.3 自由振动模态及固有频率自由振动模态及固有频率例例：三三质质量量m1，m2，m3串串联联于于弹弹簧簧k1，k2，k3上上，试试列列出出自自由振动微分方程。由振动微分方程。 解：解：求刚度系数。求刚度系数。 给给x1以以单单位位位位移移，x2与与x3保保持持不动，即不动，即x1=1，x2=x3=0； 要要产产生生这这样样的的位位移移状状态态，在在各各点点加加的的力力就就是是k11，k21，k31，显显然有：然有： k11=k1+k2

12、，k21=k2，k31=0（得到第一列）（得到第一列）再令再令x2=1x2=1，x1=x3=0x1=x3=0，则有则有 k12= k12=k2k2，k22=k2+k3k22=k2+k3，k32=k32=k3k3mmmmmmmmmmmm于是得到刚度矩阵：于是得到刚度矩阵： 由由于于系系统统有有对对应应于于广广义义坐坐标标x1，x2，x3的的集集中中质质量量，故故质质量矩阵是对角阵，于是得到自由振动微分方程：量矩阵是对角阵，于是得到自由振动微分方程： 2.2.用柔度影响系数法建立振动微分方程用柔度影响系数法建立振动微分方程 柔柔度度影影响响系系数数法法就就是是力力法法，它它所所建建立立方方程程是是

13、各各点点的的位位移移协协调调方方程程。柔柔度度影影响响系系数数cij定定义义：在在j点点作作用用有有单单位位力力，而而其其他他各各点点没没有力，所引起有力，所引起i点的位移。点的位移。 j点（力） i点（位移） 1 cij Pj cjj 从右图看出，当从右图看出，当j点作用单位力点作用单位力时，在梁上各点产生的位移时，在梁上各点产生的位移c1j，c2j，cij，cnj。我们暂时不管其他点，。我们暂时不管其他点，只研究只研究i点引起位移点引起位移cijPj。 同同样样，在在1点点加加力力P1，在在i点点产产生生位位移移ci1P1； 这这就就是是i点点的的位位移移协协调调方方程程，用用同同样样方方

14、法法可可以以得到梁上各点的位移协调方程：得到梁上各点的位移协调方程： 设设在在力力系系P1，P2Pn作作用用下下i点点的的位位移移是是yi，那么必有：那么必有： 同同样样，在在2点点加加力力P2，在在i点点产产生生位位移移ci2P2； 同样，在同样，在j点加力点加力Pj，在，在i点产生位移点产生位移cijPj； 同同样样，在在n点点加加力力Pn，在在i点点产产生生位位移移cinPn； 写成矩阵形式：写成矩阵形式： （1） 其中其中 称称为为柔柔度度矩矩阵阵。由由功功的的互互等等定定理理可可知知cij=cji，因因此此c是是对对称称矩矩阵阵。我我们们前前边边讲讲过过，自自由由振振动动时时 ，即，

15、即 于是（于是（1）式可写成：）式可写成： 此此即即用用柔柔度度影影响响系系数数法法建建立立的的多多自自由由度度系系统统自自由振动微分方程。由振动微分方程。 或简写成：或简写成：（2） 讨论讨论 ：就是说，刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵。就是说，刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵。 1、（、（2）式可写成）式可写成 等式两边同乘等式两边同乘 ，则，则 即即 与前边得到的与前边得到的 比较，可见：比较，可见： 按逆阵性质：按逆阵性质： 2、方方程程（2）与与建建立立的的方方程程形形式式不不同同，实实质质是是一样的。一样的。 解解：首首先先计计算算柔柔度度系系数数，用莫尔法：用莫尔法： 例例：一一悬悬

16、臂臂梁梁，固固定定三三个个集集中中质质量量，梁梁的的抗抗弯弯刚刚度度EI为为常常数数，梁梁质质量量不不计计，求求：试试用用柔柔度度系系数数法法列微分方程。列微分方程。 (单位：长度单位：长度/力力) 注：注：1、Mi在在i加单位力的弯矩方程，加单位力的弯矩方程，Mj在在j加单位力的弯矩方程；加单位力的弯矩方程；2、原公式中、原公式中 号号指弯矩方程不连续时，分段积分后求和。指弯矩方程不连续时，分段积分后求和。 于是：于是： 故柔度矩阵为故柔度矩阵为 即即 自由振动微分方程：自由振动微分方程： 关关于于固固有有频频率率及及固固有有振振型型的的概概念念，我我们们已已经经学学习习过过。研研究究多多自

17、自由由度度系系统统的的这这些些固固有有特特征征时时, , 采采用用矩阵为数学工具。矩阵为数学工具。 二、固有频率与固有振型二、固有频率与固有振型 注注意意: :对对于于一一个个正正定定系系统统（即即系系统统没没有有刚刚体体位位移移），用用上上述述各各种种方方法法建建立立微微分分方方程程都都可可以以，有有时时用用柔柔度度系系统统法法更更为为方方便便；但但对对于于半半正正定定系系统统（系系统统有有刚刚体体位位移移），则则柔柔度度系系统统没没有有意意义义（加加单单位位力力后后系系统统不不能能维维持持平平衡衡而而产产生生刚刚体体运运动动），只只能能用用形形如如My+ky=0那样的方程。那样的方程。 对

18、对于于有有n个个自自由由度度q1，q2qn的的系系统统，其其自自由由振动微分方程的一般形式是：振动微分方程的一般形式是： 或写成矩阵形式或写成矩阵形式 这这是是一一组组二二阶阶常常系系数数、线线性性常常微微分分方方程程。设设系系统统偏偏离离平平衡衡位位置置作作自自由由振振动动时时，存存在在各各qi按按同同一一频频率率，同一相位，同一相位作简谐振动的特解：作简谐振动的特解： （1） 这这是是一一组组关关于于振振幅幅A1，A2An的的线线性性齐齐次次代代数数方方程程组组，要要使使A1，A2An有有非非零零解解（零零解解对对应应不振动），必有系数行列式为零，即：不振动），必有系数行列式为零，即： 代

19、入方程组（代入方程组（1），消去公因子），消去公因子 后，得后，得 （2） 或或 或或 此此即即多多自自由由度度系系统统的的特特征征方方程程（或或称称频频率率方程）方程） 在在这这个个方方程程中中，kij，mij都都是是已已知知的的，未未知知的的只只有有，展展开开后后是是一一个个关关于于2 2的的n n次次代代数数方方程程，从从中中可可以以求求得得2 2的的n n个个根根。这这些些根根就就是是系系统统的的固固有有频频率率。由由小小到到大大排排列列：1 1，2 2n n叫叫做做基基阶阶，二二阶阶nn阶固有频率。阶固有频率。 把把每每一一个个固固有有频频率率例例如如代代回回方方程程组组（2 2），

20、就就可可以求得该阶固有振型：以求得该阶固有振型： 这这里里解解释释一一下下。在在二二自自由由度度系系统统时时，求求得得了了固固有有频频率率1 1，2 2之之后后，把把1 1（或或2 2）代代回回振振型型方方程程组组求求该该阶阶振振型型时时，是是代代回回两两个个方方程程中中的的任任意意一一个个，求求得得 ，及及 。就就是是说说，振振型型方方程程组组的的两两个个方方程程不不独独立立，而而是是线线性性相相关关。对对于于多多自自由由度度系系统统，也也是是一一样样，因为振型方程组（因为振型方程组（2 2）的系统行列式为零，即）的系统行列式为零，即，就就说说明明矩矩阵阵 的的秩秩rnrn，至至少少有有一一

21、个个方方程程与与其其他他方方程程线线性性相相关关。我我们们在在求求固固有有振振型型时时，应应划划出出一一个个方方程程，例例如如最最后后一一个个，而而把把剩剩下下的的n-1n-1个个方方程程中中某某一一项项移移到到等等式式右右边边，例例如如把把A A1 1项项移移过过去去。那那么么解解出出的的A A2 2，A A3 3AAn n都都包包含含A A1 1，也也就就是是说说，求求出出了了A A2 2，A A3 3AAn n各各自对自对A A1 1的比值，那么它们之间的比值自然也就确定了。的比值，那么它们之间的比值自然也就确定了。 即该阶固有振型：即该阶固有振型： 显然：显然： 代回我们设的特解代回我

22、们设的特解 注：上标（注：上标（1）表示第一阶振型）表示第一阶振型 或或 第第1阶主振动阶主振动 第第1 1阶振型：阶振型： 同同样样，当当把把2 2，3 3n n分分别别代代入入振振型型方方程程（2 2）时，可求得其他各阶固有振型。即：）时，可求得其他各阶固有振型。即： 就就是是说说，当当系系统统按按第第一一阶阶固固有有频频率率作作振振动动时时，各各点点振振幅幅 之之间间具具有有确确定定的的比比值值，而而且且系系统统各各点点之之间间在在任任一一瞬瞬时时也也具具有有同同样样确确定定的的比比值值，这这说说明明系系统统有有一一定定的的振振动动形形态态，称称为为第第一一阶阶固固有有振振型。型。 第第

23、2 2阶振型：阶振型： 第第n n阶振型：阶振型： 于是也可写出各阶主振动。于是也可写出各阶主振动。 方程（方程（1）的通解是这）的通解是这n个主振动的叠加：个主振动的叠加： 写成矩阵形式：写成矩阵形式： （3） 式中共有式中共有2n个特定常数个特定常数 ：及：及，注注：对对于于每每一一阶阶振振型型来来说说，各各阶阶振振幅幅之之间间比比值值已已定定，只只要要知知道道其其中中一一个个就就可可求求得得其其他他振振幅幅，所所以以，每每一一振振型型中中只只有有一一个个待待定定振振幅幅。这这些些常常数数由由初初始始条件（条件（t=0时的时的 及及 ）来确定。）来确定。 由由（3）式式可可见见，具具有有n

24、个个自自由由度度的的无无阻阻尼尼系系统统自自由由振振动动一一般般由由n个个不不同同频频率率的的主主振振动动组组成成。在在每每一一主主振振动动中中，系系统统各各点点的的位位移移始始终终保保持持一一定定的的比比例例关关系系（等等于于各各点点振振幅幅之之比比），即即系系统统有有一一定定的的振振动动形形态态，称称为为主主振振型型（或或固固有有振振型型）。可可以以任任取取出出其其中中一一点点的的振振幅幅（例例如如A1）等等于于1，使使其其标标准准化化，这这样的振型，称为标准化了的固有振型。样的振型，称为标准化了的固有振型。 解解：取取三三个个扭扭转转角角1 1，2 2，3 3为为广广义义坐坐标。标。 例

25、例一一、悬悬臂臂轴轴抗抗扭扭刚刚度度GJ，质质量量不不计计，其其上上固固定定三三个个圆圆盘盘，转转动动惯惯量量是是I。求求：系系统统的的固固有有频频率，固有振型。率，固有振型。 代入拉氏方程代入拉氏方程 得系统自由振动微分方程：得系统自由振动微分方程： 或写成矩阵形式：或写成矩阵形式： 把得到的把得到的M、k矩阵代入振型方程矩阵代入振型方程 注：或设注：或设 设设 ，则上式成为：，则上式成为：注：可以直接代入频率方程注：可以直接代入频率方程 频率方程。频率方程。 由一元三次方程求根公式解得：由一元三次方程求根公式解得： 展开为：展开为： 1=0.198，2=1.555，3=3.247代入代入

26、式中，求得三个固有频率式中，求得三个固有频率 代代回回振振型型方方程程中中的的前前二二个个（用用），把把A3移移到到方程右端：方程右端： 将将上上面面求求得得的的1，2，3分分别别代代入入，就就得得到三个固有振型：到三个固有振型： 取取A1=1（即对标准化），得（即对标准化），得 即：即： 编制编制m文件文件.k=2 -1 0;-1 2 -1;0 -1 1;m=1 0 0;0 1 0;0 0 1;vibrationmode,eigenvalues=eig(k,m)v1=vibrationmode(:,1)v2=vibrationmode(:,2)v3=vibrationmode(:,3)b1=

27、v1./v3b2=v2./v3b3=v3./v3for i=1:3subplot(3,1,i) plot(0 1 2 3,0 b3(i) b2(i) b1(i)hold onend运行结果运行结果应用应用MATLAB求解求解建立系统的运动微分方程建立系统的运动微分方程 在前一节看到，为了求多自由度系统的固有频在前一节看到，为了求多自由度系统的固有频率和固有振型，必须解高次代数方程（频率方程或率和固有振型，必须解高次代数方程（频率方程或称特征方程），其次数与系统自由度数目一致。当称特征方程），其次数与系统自由度数目一致。当自由度数增加时，解次数很高的代数方程，是很困自由度数增加时，解次数很高的代

28、数方程，是很困难的。所以一般用近似的数值方法。这里介绍的是难的。所以一般用近似的数值方法。这里介绍的是一种数值方法一种数值方法“矩阵迭代法矩阵迭代法”。 多自由度相同自由振动微分方程一般形式：多自由度相同自由振动微分方程一般形式： 设特解为：设特解为： 三、用矩阵迭代法求固有频率和固有振型三、用矩阵迭代法求固有频率和固有振型代入方程得振型方程代入方程得振型方程 用用k-1前乘各项，移项后得到前乘各项，移项后得到 引入符号引入符号 动力矩阵，动力矩阵， 就得到迭代格式（振型方程）：就得到迭代格式（振型方程）： 对对于于一一个个给给定定的的系系统统，动动力力矩矩阵阵D是是可可知知的的。矩矩阵阵迭迭

29、代代法法就就是是用用逐逐次次迭迭代代、逐逐次次逼逼近近的的方方法法求求解解振振型型方方程程，以以确确定定特特征征值值 和和特特征征向向量量（固固有有振振型型）A。 集中质量法概念例例:集中质量法求简支梁的模态集中质量法求简支梁的模态力学模型:有一简支梁，其上有一个附加质量（位置和尺寸均在图上标注），梁长L=2m ,截面尺寸b*h为0.04m*0.02m ,截面惯性矩为2.67* ，密度为7920kg/，质量块的质量M为3.0kg 弹性模量E=210GPa 离散一一.力学模型及集中质量法简化力学模型及集中质量法简化质量矩阵柔度矩阵矩阵 = 称作系统的动力矩阵 = 二、二、MATLAB计算计算m=

30、1 0 0;0 1.94 0;0 0 1;m=1 0 0;0 1.94 0;0 0 1;h=0.00000195*3.186;h=0.00000195*3.186;b=9 11 7;11 16 11;7 11 9;b=9 11 7;11 16 11;7 11 9;f=h.*b;f=h.*b;a=f*m;a=f*m;d=1 1 1;d=1 1 1;for i=1:16;for i=1:16;y=a*d;y=a*d;d=(1/y(3,1)*y;d=(1/y(3,1)*y;endendv=dv=ds=m*y;s=m*y;w1=1/sqrt(s(3,1)subplot(3,1,1)plot(0 2,0

31、 0)hold onplot(0 0.5 1 1.5 2,0 v(1,1) v(2,1) v(3,1) 0)p=v*m*v;q=v*v*m;j=a-(s(3,1)/p)*q;d=1 1 -1;% x(1)=d;for i=1:16;y=j*d;% l=y(i)d=(1/y(3,1)*y;endv=ds=m*y;w2=1/sqrt(s(3,1)subplot(3,1,2)plot(0 2,0 0)hold onplot(0 0.5 1 1.5 2,0 v(1,1) v(2,1) v(3,1) 0)q=v*v*m;r=j-(s(3,1)/p)*q;d=1 -1 1;% x(1)=d;for i=1

32、:16;y=r*d;% l=y(i)d=(1/y(3,1)*y;endv=ds=m*y;w3=1/sqrt(s(3,1)subplot(3,1,3)plot(0 2,0 0)hold onplot(0 0.5 1 1.5 2,0 v(1,1) v(2,1) v(3,1) 0)运行结果四、四、 强迫振动及减振器强迫振动及减振器m=50 10;k=200 40;c=10 6;N=m(2) c(2) k(2);c(2) k(2);D=m(1)*m(2) (c(1)+c(2)*m(2)+c(2)*m(1) . (k(1)+k(2)*m(2)+k(2)*m(1)+c(1)*c(2) . k(1)*c(2

33、)+c(1)*k(2) k(1)*k(2);sy=tf(N,D);% y,t=impulse(transferab(m,k,c),20)y,t=impulse(sy,20);subplot(2,1,1);plot(t,y(:,1,1);ylabel(x_1(t);title(impulse response of m_1)subplot(2,1,2);plot(t,y(:,2,1);xlabel(time t);ylabel(x_2(t)title(impulse response of m_2);编编制制MATLAB文文件件运运行行结结果果减振器：求减振器：求m1上施加一上施加一外力时，物体

34、外力时，物体m1和和m2位移的频率响应函数。位移的频率响应函数。程序如上程序如上k=200 40;c=10 6;omega=0.0:0.005:4for i=1:2 if i=1 sys=tf(1,m(1) c(1) k(1); mag,phas=bode(sys,omega); plot(omega,mag(1,:),-); hold on; elseN=m(2) c(2) k(2);c(2) k(2);D=m(1)*m(2) (c(1)+c(2)*m(2)+c(2)*m(1) . (k(1)+k(2)*m(2)+k(2)*m(1)+c(1)*c(2) . k(1)*c(2)+c(1)*k(

35、2) k(1)*k(2);sys=tf(N,D); sys=tf(N,D); mag,phas=bode(sys,omega); plot(omega,mag(1,:);endendxlabel(excitation frequency(rad/s)ylabel(|x_1|)text(2.1,0.045,no vibration absorber)text(0.3,0.02,with vibration absorber)运行结果运行结果习题习题1 如图示系统求对如图示系统求对 的响应的响应解：解：图图 7-1 7-1本章习题本章习题 下面的习题已给出了应用振动理论求解的步骤，请同学下面的习题

36、已给出了应用振动理论求解的步骤，请同学们参照其求解步骤，用们参照其求解步骤，用MATLAB编程求解编程求解（1 1）初始条件初始条件 振动微分方程振动微分方程固有频率和主振型固有频率和主振型 解得解得 令令振型矩阵振型矩阵 主刚度矩阵主刚度矩阵 主质量矩阵主质量矩阵 正则振型矩阵正则振型矩阵 令 ，方程（1）左乘 后得 习题2 写出用矩阵迭代法求正定系统的固有频率，主振型的步骤并举一两自由度系数进行迭代计算。解：1.求出系统的质量矩阵M，刚度矩阵K（或柔度矩阵F），计算出动力矩阵A=FM=K-1M 2.任选一非零初始向量X1，最后一个元素为1 3.作矩阵迭代Y=AX 4.重复迭代步骤Y=AX 5.若X与X在误差范围内，则迭代结束6.迭代r+1阶，用A代替A，重前步骤即可 例如：解： 质量矩阵 刚度矩阵 设 迭代第二阶 假设初始向量 本章结束！本章结束！