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1、绕绕 z 轴旋转轴旋转yoz 面上曲线面上曲线 C: 绕绕 y 轴旋轴旋转转总之总之,绕谁谁不变绕谁谁不变,另外一个正负根号换另外一个正负根号换, 换完就得旋转面换完就得旋转面(根号下为另两个的平方和根号下为另两个的平方和)8.3内容回顾内容回顾已知轨迹求方程：已知轨迹求方程：旋转面旋转面已知方程问轨迹：已知方程问轨迹：柱面、二次曲面柱面、二次曲面高等数学6hou84空间曲线1 1. 椭球面椭球面椭球面椭球面的草图为的草图为:当当 ab 时或时或为为旋转椭球面旋转椭球面;当当abc 时为时为球面球面. .2. 椭圆锥面椭圆锥面草图为草图为:当当 ab 时为时为圆锥面圆锥面常见的二次曲面常见的二
2、次曲面高等数学6hou84空间曲线3.3.单叶双曲面单叶双曲面草图为草图为当当 ab 时为时为旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面4. 双叶双曲面双叶双曲面草图为草图为:当当 ab 时为时为旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面高等数学6hou84空间曲线5. 椭圆抛物面椭圆抛物面草图为草图为:a=b时为旋转抛物面时为旋转抛物面6. 双曲抛物面双曲抛物面（鞍形曲面）（鞍形曲面）草图为草图为:高等数学6hou84空间曲线7. 椭圆柱面椭圆柱面8. 双曲柱面双曲柱面9. 抛物柱面抛物柱面高等数学6hou84空间曲线绕绕y轴旋转一周得轨迹且方程为轴旋转一周得轨迹且方程为空间一动点到两定点空间一动点到两定点为定值为定值
3、2a(ac0)的轨迹的的轨迹的标准方程标准方程为为( ) . 解解:距离之和距离之和在在zoy面上动点的轨迹为面上动点的轨迹为为旋转椭球面为旋转椭球面若任取轨迹上一点若任取轨迹上一点再化简整理则复杂的多再化简整理则复杂的多.由由高等数学6hou84空间曲线 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影8.4 空间曲线及其方程 高等数学6hou84空间曲线一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程
4、组例如例如, ,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. C高等数学6hou84空间曲线又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. 含在圆柱面含在圆柱面内的内的半球体半球体称为维维安尼立体块称为维维安尼立体块.高等数学6hou84空间曲线二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成参数表示成参数t 的函数的函数: :称它为空间曲线的称它为空间曲线的 参数方程参数方程. .例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .M.(动
5、点动点M: 一方面沿一方面沿z向上匀速向上匀速v 运动运动;另一方面另一方面绕绕z轴逆时针以角速度轴逆时针以角速度旋转旋转)高等数学6hou84空间曲线例例1. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:解解: (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为将第二方程变形为故所求为故所求为得所求为得所求为高等数学6hou84空间曲线*(3)写出曲线写出曲线:的参数方程的参数方程.由由(2)得得z=xy并代入并代入(1)得得:则曲线则曲线C的参数方程为的参数方程为:高等数学6hou84空间曲线三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影从从
6、C 的一般方程中消去的一般方程中消去 z 得得, ,( (H( (x, ,y)=0)=0为母线平行于为母线平行于z z轴的柱面轴的柱面, ,则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C为为以空间曲线以空间曲线 C :柱面柱面, ,称为称为C 在在xoy 面上的投影柱面面上的投影柱面,为准线母线平行于为准线母线平行于z轴的轴的它包含上述投影柱面它包含上述投影柱面)投影柱面与投影柱面与z=0的的交线称为交线称为C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线(简称投影简称投影) .(包含投影曲线的一曲线包含投影曲线的一曲线)高等数学6hou84空间曲线例如例如, ,在在xoy 面上的投影曲线方
7、程为面上的投影曲线方程为消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程(包含投影曲线的一曲线包含投影曲线的一曲线)在在yoz 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为高等数学6hou84空间曲线又如又如, ,所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为: :上半球面上半球面和锥面和锥面在在 xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线二者交线二者交线所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域 .高等数学6hou84空间曲线内容小结内容小结 空
8、间曲线空间曲线三元方程组三元方程组或参数方程或参数方程 投影曲线与投影柱面投影曲线与投影柱面 (如如, 圆柱螺线圆柱螺线)高等数学6hou84空间曲线P37 题题1 (2)(1)答案答案:思考与练习思考与练习 P37 题题 1，2，7（展示空间图形展示空间图形）高等数学6hou84空间曲线(3)高等数学6hou84空间曲线P37 题题2 (1)表示两平面的交线表示两平面的交线高等数学6hou84空间曲线思考思考: :情况如何情况如何?情况如何情况如何?P37 题题2(2)高等数学6hou84空间曲线P37 题题 7但直接削去但直接削去y得得,在在yoz面上的投影为面上的投影为: (较复杂较复杂)在在xoy面上的投影为面上的投影为:在在xoz面上的投影为面上的投影为:交线在交线在xoy面上的投影面上的投影交线在交线在xoz面上的投影面上的投影高等数学6hou84空间曲线P37 3，4，5，6, 8作业作业求直线求直线在平面在平面上的投影直线上的投影直线的方程；的方程； 并求并求（9898数一数一 5 5分）分）绕绕y轴旋转一周所成轴旋转一周所成曲面的方程曲面的方程高等数学6hou84空间曲线
