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1、Copyright 2010 Sichuan University第四章第四章 线性方程组线性方程组Copyright 2010 Sichuan University4.14.1 齐次线性方程组齐次线性方程组Copyright 2010 Sichuan University学习要求学习要求掌握齐次线性方程组解的判别定理，会掌握齐次线性方程组解的判别定理，会应用定理判别方程组解的数目；应用定理判别方程组解的数目；理解齐次线性方程组基础解系的概念，理解齐次线性方程组基础解系的概念，会求会求 齐次线性方程组的基础解系和通解；齐次线性方程组的基础解系和通解；3Copyright 2010 Sichua
2、n University解的存在性定理解的存在性定理定理定理定理定理 设齐次线性方程组设齐次线性方程组设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的矩阵形式为的矩阵形式为的矩阵形式为的矩阵形式为 则则则则 4Copyright 2010 Sichuan UniversityCopyright 2010 Sichuan University性质性质性质性质 1 1 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 AX=0AX=0的任意两个解的和的任意两个解的和的任意两个解的和的任意两个解的和也是也是也是也是AX=0AX=0的解的解的解的解性质性质性质性质 2 2 设设设设X X0 0齐次线性方程
3、组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 AX=0AX=0的解的解的解的解, k , k 是一是一是一是一个数，则个数，则个数，则个数，则kXkX0 0的和也是的和也是的和也是的和也是AX=0AX=0的解。的解。的解。的解。结论结论结论结论 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 AX=0AX=0的解的线性组合仍然的解的线性组合仍然的解的线性组合仍然的解的线性组合仍然是是是是AX=0AX=0的解。的解。的解。的解。56Copyright 2010 Sichuan University1. 1. 定义定义定义定义 （基础解系）（基础解系）（基础解系）（基础解系） 设设设设
4、是齐次线性方程组是齐次线性方程组是齐次线性方程组是齐次线性方程组 解向量组，如果满足解向量组，如果满足解向量组，如果满足解向量组，如果满足 Copyright 2010 Sichuan University注注注注 1 1 由定义知，齐次方程组的基础解系是该方程组由定义知，齐次方程组的基础解系是该方程组由定义知，齐次方程组的基础解系是该方程组由定义知，齐次方程组的基础解系是该方程组所有解的一个极大无关组。所有解的一个极大无关组。所有解的一个极大无关组。所有解的一个极大无关组。注注注注 2 22. 2. 定理定理定理定理 设设设设A A为为为为mm n n矩阵，若齐次线性方程组矩阵，若齐次线性方
5、程组矩阵，若齐次线性方程组矩阵，若齐次线性方程组AX=0AX=0的的的的系数矩系数矩系数矩系数矩 阵的秩阵的秩阵的秩阵的秩r(Ar(A)n, )n, 则方程组存在基础解系，且基则方程组存在基础解系，且基则方程组存在基础解系，且基则方程组存在基础解系，且基础解系含有础解系含有础解系含有础解系含有n-r(An-r(A) )个线性无关的解向量。个线性无关的解向量。个线性无关的解向量。个线性无关的解向量。8证明证明证明证明 由化由化由化由化A A 为行最简形矩阵为为行最简形矩阵为为行最简形矩阵为为行最简形矩阵为与与 A 对应的方程组的同解方程组为对应的方程组的同解方程组为9Copyright 2010
6、 Sichuan University令令令令，得，得，得，得令令令令，得，得，得，得 令令令令，得，得，得，得10Copyright 2010 Sichuan University下证下证下证下证是是是是AX=0AX=0AX=0AX=0的一个基础解系。的一个基础解系。的一个基础解系。的一个基础解系。11Copyright 2010 Sichuan University3. 3. 例例例例例例例例1 1 P77 P77 例例例例4.2.14.2.1例例例例2 2 P77 P77 例例例例4.2.24.2.2例例例例3 3 P78 P78 例例例例4.2.34.2.3例例例例4 4 P78 P7
7、8 例例例例4.2.44.2.412Copyright 2010 Sichuan University1.P79 T1(1)2. P79 T513Copyright 2010 Sichuan University4.24.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组14Copyright 2010 Sichuan University学习要求学习要求掌握非齐次线性方程组解的判别定理，掌握非齐次线性方程组解的判别定理，会应用定理判别方程组解的数目；会应用定理判别方程组解的数目；掌握非齐次线性方程组通解的求法，会掌握非齐次线性方程组通解的求法，会用特解和导出组的基础解系表示通解用特解和导出组的基础解系表示
8、通解（全部解，一般解）。（全部解，一般解）。15Copyright 2010 Sichuan UniversityCopyright 2010 Sichuan University1. 1.线性方程组的表达形式：线性方程组的表达形式：线性方程组的表达形式：线性方程组的表达形式：Copyright 2010 Sichuan University2. 2.定理定理定理定理引理引理引理引理（1 1） AX=AX= 的任意两个解之差是导出组的任意两个解之差是导出组的任意两个解之差是导出组的任意两个解之差是导出组AX=AX=0 0的解；（的解；（的解；（的解；（2 2）X X0 0是是是是AX= AX=
9、 的解，的解，的解，的解，X X1 1是是是是AX=0AX=0的解，则的解，则的解，则的解，则X X0 0+ X+ X1 1是是是是AX=AX= 的解。的解。的解。的解。定理定理定理定理1 1 n n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组AX=AX= 有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是 r(Ar(A| | )=)=r(Ar(A). ).当当当当r(Ar(A| | )=)=r(Ar(A)=n)=n时，时，时，时， AX=AX= 有惟一解；有惟一解；有惟一解；有惟一解；当当当当r(Ar(A| | )=)=r(Ar(A)n)n时，时，时
10、，时， AX=AX= 有无穷多个解；有无穷多个解；有无穷多个解；有无穷多个解；定理定理定理定理 2 2 对对对对n n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组AX=AX= 有有有有r(Ar(A| | )=)=r(Ar(A) )nn，则，则，则，则AX= AX= 的通解为的通解为的通解为的通解为Copyright 2010 Sichuan UniversityCopyright 2010 Sichuan University18Copyright 2010 Sichuan University3. 3. 例例例例例例例例1 1 P81 P81 例例例例4.3.14.3.1例例例例2 2 P81 P81 例例例例4.3.24.3.2例例例例4 4 P82 P82 例例例例4.3.44.3.4例例例例3 3 解方程组解方程组解方程组解方程组191.P83 T1（1）2. P83 T220
