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1、高中数学教学能手讲课比赛参评教案2.3.1教学目标双曲线及其标准方程2.3.1 双曲线及其标准方程第1页共4页知识目标:了解双曲线的定义,几何图形和标准方程,并能初步应用。能力目标:通过与椭圆类比获得双曲线的知识,培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。德育目标:在类比探究过程中激发学生的求知欲,培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识,锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。重点:双曲线的定义及其标方程和简单应用。难点:对双曲线定义的理解,正确运用双曲线定义推导方程。教学过程:一.复习提问,引入新课。问题 1.椭圆的定义是什么?问题 2.椭圆的标准
2、方程是怎样的?a、b、c关系如何?问题 3.如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化?师: (多媒体演示动点轨迹) 。师:同学们观察一下,动点M所满足的几何条件是什么?生:MF MF2长度在变,但MF1 MF2常数。1,师:这个常数与F1F2的大小关系如何?为什么?生:小于F1F2,三角形中两边之差小于第三边。师:用同样的方法,使MF2 MF1常数,就得到另一条曲线,这两条曲线合起来叫做双曲线,每条叫做双曲线的一支。 (板书课题)二.形成概念,推导方程。师:双曲线上的点应满足的条件是什么?生:MF。1 MF2 常数(小于F1F2)师:类比椭圆的定义,请同学概括
3、双曲线的定义。1.双曲线的定义。 (投影)师:定义中的“绝对值”三字去掉,能否表示双曲线?生:不能,为双曲线的一支。师:定义中的常数 F1F2,轨迹是什么?常数 F1F2呢?生:以F1、F2为端点的两条射线。常数 F1F2无轨迹。2.标准方程的推导。生:建系。使x轴经过两定点F1,F2,y轴为线段F1F2的垂直平分线。设点。设M(x, y)是双曲线上任一点,焦距为2c,那么焦点F1(c,0),F2(c.0),MF1 MF2 2a。列式。MF1 MF2 2a即(x c) y(x c) y 2a。化简。(c a )x a y a (c a )两边同除以a (c a )得第2页共4页22222222
4、2222222x2y2122ac a22c 2a c a c2 a2 0,令c2 a2 b2(b 0)代入式得x2y22 12ab(a 0, b 0)师:这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在x轴上,F1(c,0),F2(c.0)、c2 a2b2。类比椭圆焦点在y轴上的标准方程,如何得到焦点在y轴上双曲线的标准方程?生:只要将方程中的x, y互换即可。y2x22 12ab(a 0,b 0)师:双曲线的标准方程有两种形式,下面做一下比较。3.两种标准方程的比较。 ”生:方程用“”号连接;分母是a ,b, (a 0,b 0) ,但a,b大小不定;c a b;如果x的系数是正的,焦点在x轴
5、上,如果y地系数是正的,焦点在y轴上。三.练习与例题(投影)练习 1.判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出a、b、c及焦点坐标。2222222x2y2x2y21(2)1(1)4222x2y2x2y2 1(4)1 (m 0,n 0)(3)42mn答案: (略)题后反思:先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在坐标轴;x2y21 (mn 0)是否为双曲线的方程?mn第3页共4页m 0表示焦点在x轴上的双曲线;n 0m 0表示焦点在y轴上的双曲线。n 0x2y21表示双曲线,求m的范围。练习 2.若2 mm 1答案:m 1或m 2.例 1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(5,0),F2(5,0)
6、,双曲线上一点P到F1,F2距离的差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。解: (略)师:若第一个条件改为F1F210,答案是否相同?x2y2y2x21或1。生:不同,916916师:求标准方程要做到先定型,后定量。练习 3.求适合下列条件的双曲线的标准方程。(1)焦点在在x轴上,a 4,b 3;(2)焦点在在x轴上,经过点( 2, 3),(师:提示用换元法解方程组。答案: (略)例 2.已知A,B两地相距 800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析:爆炸点距A地比B地远;设爆炸点为P,则PA PB 2340;爆炸点的轨迹是靠近B处的双曲线的一支上。解: (略)四.归纳小结。五.布置作业。15,2)。3第4页共4页