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1、第第1 1次习题课次习题课简答题:(1)简述严平稳随机过程的两个性质?答:严平稳随机过程X(t)的一维概率密度函数与时间无关,二维概率密度函数只与两个时刻t1和t2的时间间隔有关.(2)简述高斯过程有着其他随机过程没有的2个性质?答:性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻ti,tj是不相关的，那么也一定是互相独立的。(3)什么是白噪声?它的自相关函数是怎样的形式?1.1离散随机变量X由0,1,2,3四个样本组成,相当于四元通信中的四个电平,四个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8和1/8,求随机变量的数学期望和方差.1.7设随机过程X的数学期望和
2、方差分别为m和 ,求随机过程Y=-3X-2的数学期望和方差及X和Y的相关矩.解:Y 的数学期望和方差分别为: EY=E-3X-2=-3EX-2=-3m-2 DY=D-3X-2=(-3)2DX=9 X和Y 的相关矩为: RXY=EXY=EX(-3X-2)=-3EX2-2EX =-3DX+EX2-2m =-3 -3m2-2m 例题:设随机变量X为均匀分布,其概率密度求X的特征函数解:由特征函数定义得:2.1随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独立的高斯变量,并且EA=EB=0,EA2=EB2= 2 求X(t)的数学期望和自相关函数.解:根据数学期望和
3、自相关函数的定义可得: EX(t)=EAcos(wt)+Bsin(wt) =EAcos(wt)+EBsin(wt)=02.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量A,B构成的随机过程X(t)=Acoswt+Bsinwt是宽平稳的.其中w为常数,A,B的数学期望为零,方差2相同.证明: 由已知条件得:EA=EB=0,DA=DB= 2 EAB=EAEB=0,EA2=EB2= 2 所以可以得到 : EX(t)=EAcos(wt)+Bsin(wt) =EAcos(wt)+EBsin(wt)=0 因为数学期望为常数,自相关函数只与时间间隔有关,且EX2(t)=RX(0)= 2所以X(t)为宽平稳过程.2.6由三个样本函数x1(t)=2,x2(t)=2cost,x3(t)=3sint组成的随机过程x(t)每个样本函数发生的概率相等。是否满足严平稳或者宽平稳的条件？自相关函数和协方差函数分别为:根据功率谱密度和自相关函数互之间的关系得:
