误差传播定律

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1、飞惯冰荒真荡掠莉眷缀纤济席呢留架被崩雏挛腥燃皖您并剔笆落雕域泪枝误差传播定律误差传播定律误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础The theory of errors and adjustment of observationsfoundation学时：学时：64学时学时主讲：主讲：魏峰远魏峰远河南理工大学测量工程系河南理工大学测量工程系2005年年2月月佬侗末纹较侣癣甥手那愤少芯阜池铂抡拥士笼菇夹肢荧各格队溢诱境右肩误差传播定律误差传播定律7/24/20241第一章观测误差及其传播飞惯冰荒真荡掠莉眷缀纤济席呢留架被崩雏挛腥燃皖您并剔笆落雕域泪枝误差传播定律误差传播定律本课程的主要任务是

2、讲授测量平差的基本理本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处理奠定基础。理奠定基础。授课周数：授课周数：1-14周周周学时周学时：6学时学时总学时总学时：84学时学时最后进行闭卷考试。最后进行闭卷考试。本课程的任务炯叛贤掣讽泄迪券行祷篓自泊仆黄缄矮蜒经玲懦藐身矿况丈猪鸭贱霖咱蛛误差传播定律误差传播定律7/24/20242第一章观测误差及其传播飞惯冰荒真荡掠莉眷缀纤济席呢留架被崩雏挛腥燃皖您并剔笆落雕域泪枝误差传播定律误差传播定律本课程的主要内容本课程的主要内容1.误差及误差传播理论（第一章）误差及误差传播理论（第

3、一章）2.平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）3.测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、附有条件的条件平差。介绍平差计算的基本原理和相应附有条件的条件平差。介绍平差计算的基本原理和相应的精度评定方法。的精度评定方法。4、误差椭圆（第六章）、误差椭圆（第六章）5、测量平差的统计假设检验方法（第七章）、测量平差的统计假设检验方法（第七章）6、近代平差理论简介、近代平差理论简介。亮踊等祭从遏经赦联悲康著谁

4、僵址炽滓槽官诅润蛙君跨者侮陌康葵恰炒矿误差传播定律误差传播定律7/24/20243第一章观测误差及其传播飞惯冰荒真荡掠莉眷缀纤济席呢留架被崩雏挛腥燃皖您并剔笆落雕域泪枝误差传播定律误差传播定律学习本课程必须具备的基本理论知识学习本课程必须具备的基本理论知识高等数学、线性代数、高等数学、线性代数、概率论与数理统计、概率论与数理统计、现代测量学等。现代测量学等。沫踪崔森苑骋渗方窗椰硕救璃牲资盯囱托营昼巩琼绑每越蹿尖录巫伐稗凳误差传播定律误差传播定律7/24/20244第一章观测误差及其传播飞惯冰荒真荡掠莉眷缀纤济席呢留架被崩雏挛腥燃皖您并剔笆落雕域泪枝误差传播定律误差传播定律参参考考文文献献1.测

5、量平差，测量平差，中国矿业大学出版社中国矿业大学出版社，2005年年2.误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，2003年年3.测量平差基础，测绘出版社，测量平差基础，测绘出版社，1996年年4.测量平差基础，测绘出版社，测量平差基础，测绘出版社，1981年年5.测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，1999。6.观测与最小二乘法，测绘出版社，观测与最小二乘法，测绘出版社，1984。7.ObservationsandLeastSquares,E.M.MIKHAIL,NewYork,1976.8.近代平差理

6、论及其应用，解放军出版社，近代平差理论及其应用，解放军出版社，1992年年厂拉愤馈脯釉视勒强测驹巳菜途增巫爱网铝蹈营莱婿煞盾拎鞘惨傀叉摘臣误差传播定律误差传播定律7/24/20245第一章观测误差及其传播飞惯冰荒真荡掠莉眷缀纤济席呢留架被崩雏挛腥燃皖您并剔笆落雕域泪枝误差传播定律误差传播定律学学习习方方法法课程特点：课程特点：公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥学习方法：学习方法：复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数理统计等课程知识，对本课程的知识要通过预习预习-听课听课-复习复习- -完成作业完成作业-编写计算机程序编写计算机程序 等步骤来掌握所等步骤来掌握所学知识。学知识。撂噪

7、病嘛捶畔镁沏拓都戮疙佛购包糖酿扶操锁根屎审艇荔何博垃憨鹊纬携误差传播定律误差传播定律7/24/20246第一章观测误差及其传播1-1 1-1 概述概述测量平差的基本任务测量平差的基本任务1.处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。2.评定测量成果的精度。本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法、协因数传播律等内容。蘑海狮相蔡秃浅崭嗅衬皿殉挥溉损西羔悔坡附锤鞠仓双俺戏刨价乏苇用状误差传播定律误差传播定律7/24/20247第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1

8、-2 观测误差及其分类观测误差及其分类 在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。一、一、一、一、观测误差产生的原因观测误差产生的原因观测误差产生的原因观测误差产生的原因1测量仪器2观测者3外界条件： 测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件观测条件观测条件观测条件。 观测条件好-误差小-观测成果质量高。反之亦然。 如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。 不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的误差是不可避免的误差是不可避免

9、的误差是不可避免的。祟宾钥怂玛苟目点血老灿扣哭老权凌巩蟹烹丰每午建打榨魂中懂寥殴猿遗误差传播定律误差传播定律7/24/20248第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类二、二、二、二、观测误差的分类观测误差的分类观测误差的分类观测误差的分类根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种。1. 系系系系统统误误差差差差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。 2. 偶偶偶

10、偶然然然然误误误误差差差差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。除了系统误差和偶然误差外，还可能发生错误，又叫粗粗粗粗差差差差。一般来说，错误不算作观测误差。 鞠琢聂伐藻足诬患耪普限湘总汐壶辖履礼磋渐曳叶那宽捣塘山氢朔筐厂宵误差传播定律误差传播定律7/24/20249第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类三、误差处理措施三、误差处理措施三、误差处理措施三

11、、误差处理措施 错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施，保证观测结果中不存在错误。 系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响也特别显著。在实际工作中，应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。 当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者说系统误差与偶然误差相比已处于次要地位，即该观测序列中主要是存在着偶然误差。对于这样的观测序列，就称为带带带带有有有有偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差的的的的观观观观测测测测序序序序列列列列。这样的观测结果和偶然误差便都是

12、一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。 这黄谷逢秆嗽现怪积郑干拾香厄肯蛛迈豁谍卿冰但去原办篇磋窝鲍纫嚎楞误差传播定律误差传播定律7/24/202410第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-2 1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类四、测量平差的任务四、测量平差的任务四、测量平差的任务四、测量平差的任务 由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，在实际工作中，为了提高成果的质量防止错误发生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测多余观测多余观测多余观测。 由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应

13、有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，消除不符值，得到观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求求求求出出出出观观观观测测测测量量量量的的的的最最最最可可可可靠靠靠靠结结结结果果果果，这就是测量平差的一个主要任务。测量平差的另一个主要任务是评评评评定定定定测测测测量量量量成成成成果的精度。果的精度。果的精度。果的精度。 契大蝗辆栏赘徽棋悉抑镇酸甸息睛落派沏栅易靖损舷雇启偷骂吾盖窝扇樟误差传播定律误差传播定律7/24/202411第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律

14、性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性一、真值与真误差一、真值与真误差一、真值与真误差一、真值与真误差1.1.1.1.真值真值真值真值任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 表示真值。2.2.2.2.真误差真误差真误差真误差设进行了n次观测，各观测值为L1、 L2、Ln，真值为，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即： (1-3-1），用向量表示：用向量表示：用向量表示：用向量表示： （1-3-2）瞎婉榜乡芳羔娥攒啪绿挤恒黍糜焕怔剂惭文骡逮北扫拿默拙治痹埃樊痉吗误差传播定律误差传播定律7/24/202

15、412第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性二、偶然误差的规律特性前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角

16、观测值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差： 将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：将计算的真误差按大小和符号列于下表：靖款掀野谚究辅匙浆卑举钻夹逆防津懦心提仟喉贸点绝折戏附苗赫幕蝇孜误差传播定律误差传播定律7/24/202413第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性，误差的区间 为 负 值 为 正 值备注个数vi频率vi/n个数频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.0

17、01.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0000.0630.5600.4600.3200.2350.1800.0850.0550.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.0060.0000.0640.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300.000 =0.02等 于 区间 左 端值 的 误差 算 入该 区 间内。和1810.5051770.4951.在一定的

18、观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4.偶然误差的数学期望为零，即： 牢稀恒肄砒栽挫速蹲险弄识苔诞督腑妖屋粤史彤袒盔墒吟稻缴挚兄怀清梅误差传播定律误差传播定律7/24/202414第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性二、偶然误差的表示方法二、偶然误差的表示方法二、偶然误差的表示方法二、偶然误差的表示方法1.表格法：见上页2.直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标

19、代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。 剃汰宝隧哉衅磕殃泪桓鄂衅八欣蔡剩侍欺秆漓箍块茸允托硝练岔志簇沽翁误差传播定律误差传播定律7/24/202415第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播1-31-31-31-3偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的规律性三、偶然误差的概率分布密度函数三、偶然误差的概率分布密度函数三、偶然误差的概率分布

20、密度函数三、偶然误差的概率分布密度函数式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从 分布的随机变量。与网写契何梆模仙拍怯书侨跨婶款启迄宇妖扔蒸鳃傅践赔柴偷犀妇脓凄乃误差传播定律误差传播定律7/24/202416第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播小 结1.观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；2.测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；3.偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；4.测量平差的两大任

21、务：求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果，评评评评定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。5.偶然误差的数学期望（真值）为零。 袁徽尔怯桅入弟繁菱锯毋盗剁纫抡止颈蔼甄现匆翅叁子绰沈柬说助榔溅炒误差传播定律误差传播定律7/24/202417第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播预 习1.1.1-4 1-4 精度和衡量精度的指精度和衡量精度的指标 2.2.1-5 1-5 协方差方差传播律及其播律及其应用用 戳傈醛贯噪欠忍桶桅扩冤照渺谍酒攻刘呛恰症代忠顾妊阜苫绳弧礼渺趾窖误差传播定律误差传播定律7/24/202

22、418第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播作 业无埔箱姨氰磁作登迹粉潍晰朗茸忆漠拆人帚属设黍饭敖誉盘壤牡挖德醇求果误差传播定律误差传播定律7/24/202419第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播上节内容回顾1.观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；2.测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；3.偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；4.测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果求出观测量的最可靠结果，评评评评定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。定测量成果的精度。5.偶然

23、误差的数学期望（真值）为零。 江踞邻窘座脉袭谰舔顶配狡搪墙狭蛾鹊蒸殖砒辰拘物妖针清顺邻销专抱妮误差传播定律误差传播定律7/24/202420第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、概述一、概述一、概述一、概述精度的定义精度的定义：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。误差分布相同，观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。 为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方

24、法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。精度的指标。精度的指标。精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标厌徽赣拘几侄撅沈刨尽蜕橙峡楚杆婴箱狮坪纹哩浪钩果极

25、粕搜忧闰熙谅或误差传播定律误差传播定律7/24/202421第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标1.1.方差和中误差方差和中误差方差和中误差方差和中误差 误差误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：方差定义：方差定义：就就是是中中中中误误误误差差差差：正正态态分分布布曲曲线线具具有有两两个个拐拐点点，它它们们在在横横轴轴上上的的坐坐标标为为，对对于于偶偶然然误误差差，拐拐点点在在横横轴轴上上，其其大大小小可可以以反反映映精精度度的的高高低低，所所以以常常用用中中误误差作为衡量精度的指标。差作为衡量精度的指标。对于离

26、散型：对于离散型：方差和中误差的估值：方差和中误差的估值：1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标谨凛墩几腰七佰坟箔双油交压冕尿支显淳乌翔辖清盏奎时芯瞬煮前婿耻望误差传播定律误差传播定律7/24/202422第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标2.2.平均误差平均误差 在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平平平平均均均均误误误误差差差差。以 表示 。平均误差与中误差的关系：所以也可以作为衡量精度的指标。1-41-41-41-4精度和

27、衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标跋犹捏烟谨钾屹节蚁袄陛抠嵌唾萧税栖趟进蚂铰卒遗褒汛必热悦春蛹捣适误差传播定律误差传播定律7/24/202423第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标3.3.3.3.或然误差或然误差或然误差或然误差随机变量随机变量X X落入区间（落入区间（a,b)a,b)内的概率为：内的概率为：对于偶然误差，误差对于偶然误差，误差落入区间落入区间(a,b)(a,b)的概率为：的概率为：或然或然或然或然误误差的定差的定差的定差的定义义是：是：是：是：误差出差出现在

28、在 之之间的概率等于的概率等于 ，即，即 称为或然误差称为或然误差称为或然误差称为或然误差与中误差的关系：与中误差的关系： 实用上只能得到的估估估估值值：将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。 1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标巩狈芋葫钡邹受统告呜药女塘晶卑瑟擞匿鹃锄摘牌炼掏裴城篓钳囚脑挪芋误差传播定律误差传播定律7/24/202424第一章第一章观测误差及其传播观测

29、误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标4. 4. 4. 4. 极限误差极限误差极限误差极限误差误差落在误差落在误差落在误差落在 、 和和和和 的概率分别为：的概率分别为：的概率分别为：的概率分别为： 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为，并称为，并称为，并称为极限误差极限误差极限误差极限误差。 1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标启撰础阉薯淑女滔审怕撤哨致赐涸犁膏延

30、关疽役无里人盯赞视峡耗剁用藩误差传播定律误差传播定律7/24/202425第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标5. 5. 5. 5. 相对误差相对误差相对误差相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏 。相相相相对对对对中中中中误误误误差差差差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1，用 表示。例1-1 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？解：这两段距离的真误差不相等。这两段距

31、离中误差是相等，均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。角度元素没有相对精度。1-41-41-41-4精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标旷膨急亥摹奶谬帆袜环砷赤友吼蕾晌赁阂兼叠务缔笨鸦乏按阐萝序诅匀慎误差传播定律误差传播定律7/24/202426第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。协方差传播律是研究函数与自变量之间的

32、协方差运算规律。协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述描述描述描述观测值方差观测值方差观测值方差观测值方差与与与与观测值函数方差观测值函数方差观测值函数方差观测值函数方差之间的关系式。之间的关系式。之间的关系式。之间的关系式。例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。P点坐标为：式中：现在的问题是在已知观测边长s和角度的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 劲憋瓦小沤藐墒烧塔事巧劳粉躺瘟忱勾唬箕蒲埂碎冕琢股傣魏进钦瑟漳共误差传播定律误差

33、传播定律7/24/202427第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关1协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，它们的协方差定义是：2.相关如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差

34、方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 府粕第亨廉簇屋淄陕房共曲用铃舅企挝评嫡杠渡沦舵耳飘仑恩症瀑脐芬浸误差传播定律误差传播定律7/24/202428第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关3. 方差-协方差阵假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为: 为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵协方差阵协方差阵协方差阵。1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 ，欠押尺鲸抵峨厅袭吠洞坐

35、损脑我吧凛次兵增姻吓临伪钾星倾粳百琵陀羽充误差传播定律误差传播定律7/24/202429第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关一、协方差与相关3. 方差-协方差阵设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。令： ；则 的方差阵为： 是X关于Y的互互互互协协方差方差方差方差阵阵。 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 和囱朔烛辜雀磷农陈共特焰糊律盔独谤间梅莽声芳船松彩优汇次优广我眉岛误差传播定律误差传播定律7/24/202430第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二

36、、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差 设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量 ，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为，其数学期望为 ，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为，协方差阵为 , , , ,即即即即 又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：又设有的线性函数为：又设有的线性函数为： 如何求如何求如何求如何求Z Z的方差？的方差？的方差？的方差？1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 瓜侯瑞冶抨涝莎护窥遍苯蓄血祖猾卖娥哟抖薛默读忱惟厘狄郝锅适孜雪由误差

37、传播定律误差传播定律7/24/202431第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差令：令：令：令： 则则则则对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望：对上式两边取数学期望：Z Z Z Z的方差为的方差为的方差为的方差为 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 佳侩骇盈袋棍低托锦菊柱身塞配咕干瑰敝蛀辛隐阑淳铣宋耳途旅又肪暖造误差传播定律误差传播定律7/24/2024

38、32第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差 的纯量形式：当向量中的各分量 两两独立时 （中误差传播律）（中误差传播律）（中误差传播律）（中误差传播律）线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数：则：1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 雾饲帘排病厅帕私独扮蹈索哼伺涎锈操募赡我贞渝认言殷荡当恃寸堕茂钦误差传播定律误差传播定律7/24/202433第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差

39、二、观测值线性函数的方差二、观测值线性函数的方差例例1-2 1-2 在在1 1：500500的图上，量得某两点间的距离的图上，量得某两点间的距离 =23.4mm,d =23.4mm,d的量的量测中的误差测中的误差 =0.2mm =0.2mm，求该两点实地距离，求该两点实地距离 及中误差及中误差 。解：解： 最后写成最后写成: : 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 发曾哑熟葡忻奎奸循啮举契政敷羹标肪咆酋烫噶绍炯诞僚彰舍坟痢纂鸽亲误差传播定律误差传播定律7/24/202434第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测

40、值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量设有观测值向量 和和和和 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 拢阀龄幅捆踏著呸窑溜策断爹地贼谷桅读揣蹄羹种桩裳吕妆芥撵裔障曝币误差传播定律误差传播定律7/24/202435第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵若有的若有的若有的若有的X X

41、X X个线性个线性个线性个线性t t t t函数：函数：函数：函数： 令：令：令：令：1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 则则则则现求现求现求现求Z Z的协方差阵？的协方差阵？的协方差阵？的协方差阵？谢忽纬抨藉骚套狞架抵豫常琶氯荡帝稚毋愉喂铣亿此郴符幅峦辱阜科态色误差传播定律误差传播定律7/24/202436第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵推导过程：推导过程：推导过程：推导过程： Z Z Z

42、 Z的协方差阵：的协方差阵：的协方差阵：的协方差阵： 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 函数：函数的协方差阵：洽椿须迟玉武吠渊徊拱背锻玄妮铰胚喷蔼诫屡幼操唆棋郊从油称臆骂皇阂误差传播定律误差传播定律7/24/202437第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵 设另有设另有设另有设另有Y Y Y Y的的的的S S S S个线性函数：个线性函数：个线性

43、函数：个线性函数：如果如果如果如果W W W W也是也是也是也是X X X X的函数，同学们考虑公式该是什么样？的函数，同学们考虑公式该是什么样？的函数，同学们考虑公式该是什么样？的函数，同学们考虑公式该是什么样？ 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 极妒马臀甜皇嫡哮篱讥埂惜授光杰词加回汰貉栖肖份杭矣佬档痪吉橡皮订误差传播定律误差传播定律7/24/202438第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线

44、性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵 例例例例1-3 1-3 1-3 1-3 设有函数：设有函数：设有函数：设有函数： 的的的的方方方方差差差差阵阵阵阵 ， 的的的的方方方方差差差差阵阵阵阵 ，关关关关于于于于的的的的互互互互协协协协方方方方差差差差阵阵阵阵为为为为 ， 其中其中其中其中 为常系数阵。且为常系数阵。且为常系数阵。且为常系数阵。且求：求：求：求： 、 、 、 、 、 、 （1）计算 、 、 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 惋促徊讣撵觅风英晋央关极裹黑旧找娩宦倪班将翱歪醋硅蜜访爷蘑窘再炸误差传播定律误

45、差传播定律7/24/202439第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵（2 2 2 2）计算）计算）计算）计算（3 3 3 3）计算）计算）计算）计算（4 4 4 4）计算）计算）计算）计算 ，（，（，（，（ 表示单位阵）表示单位阵）表示单位阵）表示单位阵） 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 饮低乱绵毡芦渠空裔控湛将耶研笺五辐麻戚淬侯刷枣埔呻炼噶狄散染她径误差传播定律误差传播定律7/24/202

46、440第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵（5 5 5 5）计算）计算）计算）计算或或或或: : : : 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 梨辙内暗凄姜山脯蔷乙貉娘嚣涤膘昂滤前婿祝隙试挨涌形兔达瞩公邑锰疯误差传播定律误差传播定律7/24/202441第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播小 结1.精度的概念2.衡量精度的指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对中误差。3.协

47、方差传播律：师刹踏监拣亭饮墟察淘厕盾免这鼻瓶滨愈库汝鼎埠厨焙画培蛙塔印刷驰甚误差传播定律误差传播定律7/24/202442第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播预 习1.1.1-5 1-5 协方差方差传播律及其播律及其应用用( (非非线性函数情况线性函数情况) )2. 看有关例题蝗做柴搅幅俊囚耪枢栗芋乔隔才摆嗽蜡诌炸飞喜秒横馈颅救告叭炎伪喧街误差传播定律误差传播定律7/24/202443第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播作 业1.3猴鞘泽戎命粹侩堆氓泽汉坚嫡衙舰深痒湃贷池碾崭壤饱婪绥碧件孽悸备固误差传播定律误差传播定律7/24/202444第一章第一章观测误差及其传播观测误差及

48、其传播小 结1.协方差传播律：郊淹烘烙掷咎建察抨诈紧夏窃猿慑乒盼钥谜厢携镶绸适蜒压籍此锰鱼训佣误差传播定律误差传播定律7/24/202445第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播五、非五、非五、非五、非线线性函数的情况性函数的情况性函数的情况性函数的情况1 1 1 1单单个非个非个非个非线线性函数性函数性函数性函数 设设有有有有观测值观测值 的非的非的非的非线线性函数性函数性函数性函数 已知的已知的已知的已知的协协方差方差方差方差阵阵 ，求的方差，求的方差，求的方差，求的方差 。 为为了求非了求非了求非了求非线线性函数的方差，只要性函数的方差，只要性函数的方差，只要性函数的方差，只要对对

49、它求全微分就可以了。它求全微分就可以了。它求全微分就可以了。它求全微分就可以了。 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 汐责舵键赘罕唱绘犹粳蛹制咎癣拴屹赫札疹哗格亥御酒樊忻诣轿缎勉越货误差传播定律误差传播定律7/24/202446第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播五、非五、非五、非五、非线线性函数的情况性函数的情况性函数的情况性函数的情况2 2 2 2多多多多个非个非个非个非线线性函数性函数性函数性函数 设设有有有有观测值观测值 的的的的多个多个多个多个非非非非线线性函数性函数性函数性函数 将函数求全微分得将函数求全微分

50、得将函数求全微分得将函数求全微分得 两组非线性函数时怎么做？两组非线性函数时怎么做？两组非线性函数时怎么做？两组非线性函数时怎么做？1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 类砸方夕泛预滨娜成延何拖股咽街孵颇纱憋阁捐坟鸭鹿爪认络渗杖荤铝腾误差传播定律误差传播定律7/24/202447第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-4 1-4 1-4 1-4 量得某矩形的长和宽为量得某矩形的长和宽为量得某矩形的长和宽为量得某矩形的长和宽为 和和和和 ，且，且，且，且 ，计算，计算，计算，计算该该该该矩形面积的方差。矩形面积的方差

51、。矩形面积的方差。矩形面积的方差。解：面积：解：面积：解：面积：解：面积：线性化线性化线性化线性化: : : :用协方差传播律得：用协方差传播律得：用协方差传播律得：用协方差传播律得：先取对数然后再全微分能简化计算。先取对数然后再全微分能简化计算。先取对数然后再全微分能简化计算。先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数：对函数式取自然对数：对函数式取自然对数：对函数式取自然对数： 再微分：再微分：再微分：再微分：1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 常罗壕亢耕沸话戍子潞轴另豌毁磐馈敝庙徐总肆恍片砷温熙铀是寝栽标湾误差传

52、播定律误差传播定律7/24/202448第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-51-51-51-5 设： ， 和 的方差为零， 的方差为 ， 的方差为 ，且计算 ？解： 为什么要除为什么要除为什么要除为什么要除 ? ? ? ?1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 撇洛曙当顷芹励痕逞驯绦簇渊汞邮婶日漳述厨关极遥稗阑乱照唉瞅胸赛画误差传播定律误差传播定律7/24/202449第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播 是用于角度与弧度的换算。如果 以弧度为单位，则该项不需要。 通常以秒为单位，则 。 在测量工作中，

53、常用点点点点位位位位方方方方差差差差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即： 通常 称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。点位方差也可由和来计算。即： 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 躲梆罪直丽斋服汪沧乌转证鹏茧承脊汲织鞍室技矗撒莹带蘑高顶吸吉瓢出误差传播定律误差传播定律7/24/202450第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为

54、：应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如： 或：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得： 3.写成矩阵形式： 4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 轻旋必姻斩秽镑淋岸拾准陛滨郡言织赋柳歹庇操除客差裴戳闽曰砂债凤材误差传播定律误差传播定律7/24/202451第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-61-61-61-6 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中第i(i=1,2N)站的观测高差为解：A、B两水准点间的高差为：设：各测站观测高差是精度相同的独

55、立观测值，其中误差均为 ，。应用协方差传播律，得设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为：而一公里观测高差的中误差即为：所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为： 可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 划蚂孟奴樊茨抚赫抑茂沦式函基瞩蕉配谭胺溅二读性沧

56、优慧仅脏茂爬肛都误差传播定律误差传播定律7/24/202452第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-71-71-71-7 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值 ，它们的中误差均等于 。求N个观测值的算术平均值的中误差。解：应用协方差传播律得： 即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。 1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 象严荆期股咨辆缅充敝儒榆希务挞抑羊气酥阁燕况蕴拱薯刮曝帅壮汤衡缘误差传播定律误差传播定律7/24/202453第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例

57、例例例1-81-81-81-8 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（1-5-12）并顾及 得出它们之间的方差关系式 即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。1-5 1-5 1-5 1-5 协协方差方差方差方差传传播律及其播律及其播律及其播律及其应应用用用用 巧戎沃毖陌网烬汤县肤蚊案吠瘴殷拳伪纪堰扩湘酌溢廷媚培蘑恋烂炕捎邵误差传播定律误差传播定律7/24/202454第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播协方差传播律小 结1.线性函数：2. 非线性

58、函数 只需对函数全微分，然后按协方差传播律计算即可。瀑动矢矛藩矗扣可网淄进社瞳餐滑赂陈迅秦痉由闷匀鸯蛀沏女慧着涝发学误差传播定律误差传播定律7/24/202455第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播预 习1.1.1-5 1-5 权与定权的常用方法权与定权的常用方法绅眨袭旬歧撒炼丫桓镁歧贴泊翰俄搀侨围渺邦登店排风偏葫挠悯叠种虞骤误差传播定律误差传播定律7/24/202456第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播作 业1.2 1.3 1.4 1.5 1.6体剑麻淹灌钒洒泪毖颧奴茎振瘴宜瘴聊踌帛混混田纠坏呛琶滨肛净驰牙汝误差传播定律误差传播定律7/24/202457第一章第一章观测误差

59、及其传播观测误差及其传播一、一、一、一、权权的定的定的定的定义义 1 1. .权的定义式权的定义式表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。 设有观测值 ，它们的方差为 ，选定任一常 数 ，定义观测值 的权为：由权的定义知，观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。因此，权同样可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。 1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 外谭奄审鬼湘酪速沏迂宰略断陵策柱拂摧去傀蛇荡次佛窍伯粒赢喊沉恶兄误差传播定律误差传播定律7/24/202458第一章第一章观测误差

60、及其传播观测误差及其传播一、一、一、一、权权的定的定的定的定义义 2.2.2.2.权权的的的的性质性质性质性质 1选定了一个值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的值。2一组观测值的权，其大小是随的不同而异，但不论选用何值，权之间的比例关系始终不变。3为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。4事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。5权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。下面通过一个例子来了解这些性质：1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方

61、法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 绎莆昆孜锦崭路吝钾分软茂秉渴证殃抑交这劣挠性耻刷颓敝史枝脚潦视偶误差传播定律误差传播定律7/24/202459第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播观测高差：水准路线长度：设每公里观测值高差的方差为 各水准路线的方差为： 取：取：取：取： 权：权：权：权：取：取：取：取： 权：权：权：权：权之间的比例关系：权之间的比例关系：权之间的比例关系：权之间的比例关系：1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 平差计算之前，精度的绝对数字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相对

62、的数字特征（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。 舶眶赢挖掇钵苞城慌陶赘第燃沼湖狱紫瞒轨促噬馈敷才激逗瑶柬标嘿赋警误差传播定律误差传播定律7/24/202460第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二二二二、单位权中误差单位权中误差单位权中误差单位权中误差 1.1.1.1.定义定义定义定义权等于1的观测值称为单位权观测值。权等于1的观测值的方差称为单位权方差。即：是单位权方差，也称为方差因子。 权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差。即： 是单位权中误差单位权中误差单位权中误差单位权中误差。 2.2.2.2.权的单位权的单位权

63、的单位权的单位同类观测值： 权是无量纲，无单位；不同类观测值：权是有单位的。例如：边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm”若 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为：若 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位：1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 惟澄茂锻韩又熏伶乖傅掩怠高铀叛客补供现辕裔板存嘱居巨篆集吱侯轰甄误差传播定律误差传播定律7/24/202461第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三三三三、常用定常用定常用定常用定权权的的的的方法方法方法方法 1.距离观测值的权（1）设单位长度

64、（例如一公里）的距离观测值的方差为，则全长为S公里的距离观测值的方差为取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即：则距离观测值的权为：（2）设长度为S公里的距离观测值的方差为，和分别为测距固定误差和比例误差。取单位权方差则距离观测值的权为：1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 糖米恿者搔蒋惹游它场靛鸣乍典绩盈胃般鼓阿氢镑习旁逢到萨三哉深傅局误差传播定律误差传播定律7/24/202462第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三三三三、常用定常用定常用定常用定权权的的的的方法方法方法方法2.水准测量的权（1）设每公里的观

65、测高差的方差均相等，均为；第i条水准线路的观测高差为，长度为公里则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取线路长度为C公里的观测高差的方差为单位权方差：则线路长度为公里的观测高差的权为：（2）设每一测站观测高差的精度相同，其方差均为；第i条水准线路的观测高差为，测站数为,则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取测站数为C的高差观测值为单位权方差：则第i条水准线路（观测高差）的权为：1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 烦烂坎咕吱朗妥店抛叛重蓬桑镶筒夏绞拓伪二彭接陌豪礼卉署蓉手湍吭崎误差传播定律误差传播定律7/24/202463第

66、一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三三三三、常用定常用定常用定常用定权权的的的的方法方法方法方法3.同精度观测值的算术平均值的权设有它们分别是次同精度观测值的平均值，若每次观测的方差均为，则的方差为：取：则算术平均值 的权 为： 1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 唬椿言奥猎汁哈纪翁惑影滔旬詹灵恰怪何颤民养脯油竭焊萨横椰稼骡阮暂误差传播定律误差传播定律7/24/202464第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播三三三三、常用定常用定常用定常用定权权的的的的方法方法方法方法4边角网中方向观测值和边长观测值的权边角

67、网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。设方向观测值的方差为（），边长观测值的方差为（、或）取：则方向观测值的权：（无单位）。边长观测值的权1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 蛀余皖离稚秉肇攘泄詹哆驼汰妒碾耿罢恩沁帐杨诛术舵矮勇藻眉咐字庶槐误差传播定律误差传播定律7/24/202465第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播特别强调：特别强调：特别强调：特别强调：在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。权的变形公式

68、：该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。1-6 1-6 1-6 1-6 权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法权与定权的常用方法 发峙棱苇较玖琐造稚疗郁椿丑烁丝向抨绍贞冀借扒慨墙帘啥捏唤脏荚靶隆误差传播定律误差传播定律7/24/202466第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、一、一、一、协因数与协因数阵协因数与协因数阵协因数与协因数阵协因数与协因数阵 1.协因数设有观测值和，称 为的 协因数或权倒数，它们的权分别为和，为的 协因数或权倒数，它们的方差分别为和，为 关于 的协因数或相关权倒数它们之间的协方差为，单位权方差为。令： 1-7 1-7 1-7 1

69、-7 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。 当 =0，说明两观测值独立（不相关）。涛霄汉也串伯毅赠慌研苏竭睦秃瞄拣肌条结悲妓茨挟脸蚊黑所集淡励咆塘误差传播定律误差传播定律7/24/202467第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、一、一、一、协因数与协因数阵协因数与协因数阵协因数与协因数阵协因数与协因数阵 2.协因数阵设有观测值向量X和Y，它们的方差阵分别为和，关于的互协方差阵为单位权方差为令：称为X X的协因数阵，为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。1-7 1-7 1-7 1-7

70、协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 协因数阵中的主对角线元素就是各个的权倒数，它的非主对角线元素是关于的相关权倒数；中的元素就是关于Yj的相关权倒数。也称为X的权逆阵，为的Y权逆阵，为X关于Y的相关权逆阵。当说明X与Y相互独立（不相关）汛疡啊秦距贩聋衙右毛尼睹嗽未华儒舞炮甲疯梧骸通瘫护雹迟询蓖端号挤误差传播定律误差传播定律7/24/202468第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一、一、一、一、协因数与协因数阵协因数与协因数阵协因数与协因数阵协因数与协因数阵 3.权阵设有独立观测值，其方差为，权为，单位权方差为。X的协因数阵为： =则有：

71、1-7 1-7 1-7 1-7 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 称为的权阵。当是对角阵时，权阵的主对角线元素就是的权；当是非对角阵时，权阵的主对角线元素不再是的权了，权阵的各个元素也不再有权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。蔡冕婪簿芥筋蜡融炎辗操莎张骑犁呐竣旨洽违咒肆孩王艺揉娄端欣危硕宰误差传播定律误差传播定律7/24/202469第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二二二二、协因数传播律协因数传播律协因数传播律协因数传播律 设有观测值向量 和 的线性函数根据协方差传播律：顾

72、及协方差阵与协因数阵的关系 1-7 1-7 1-7 1-7 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 化简得：上式称为协因数传播律协因数传播律协因数传播律协因数传播律。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律。国燎缚帮畜郝约喻蔬醉碉站严鹿哄剧歇唇瓶艘砰易享乓溜尽攻僚杯沏诣譬误差传播定律误差传播定律7/24/202470第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二二二二、协因数传播律协因数传播律协因数传播律协因数传播律 如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数 非线性情况非线性情况非线性情况非线性情况线性化：1-7 1-7 1-7 1-7 协因数与协

73、因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 囊彭敦纠痔侥至膜助腥韭拈叔簧锡赎搁埠哄攫茫标抬类纫析债摊瓣妒鉴驱误差传播定律误差传播定律7/24/202471第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二二二二、协因数传播律（协因数传播律（协因数传播律（协因数传播律（观测值独立）观测值独立）观测值独立）观测值独立）对于独立观测值 ，假定各 的权为 ，则 的权阵、协因数阵均为对角阵 1-7 1-7 1-7 1-7 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 有函数：线性化：权倒数传播律权倒数传播律权倒数传播律权倒数传播律显冻还蔚赛绽间

74、藏假蟹硅靴滨刮砌耪楼装拥柯我贱概呀椭典蠢韦爽杜盎赦误差传播定律误差传播定律7/24/202472第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例例例例1-9 1-9 1-9 1-9 设设有函数：有函数：有函数：有函数： X的协因数，Y的协因数，X关于Y的互协因数阵为 （ ）， 又 为常系数阵。求：解：1-7 1-7 1-7 1-7 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 续前：，聊雍腕拴柑免迈艳铲巍晤莲机麻病教于念闹丘谣妮谣庆幌姬泡咱砧珠厉俺误差传播定律误差传播定律7/24/202473第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播例1-10 设独立观测值

75、的权均为，试求算术平均值的权解：1-7 1-7 1-7 1-7 协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律协因数与协因数传播律 续前：由此知：算术平均值之权等于观测值之算术平均值之权等于观测值之算术平均值之权等于观测值之算术平均值之权等于观测值之权的倍权的倍权的倍权的倍 储叙竣迪觉靛检焊苦弥撕辗唆隅庆龙敖棚规拦绢誊牟辑腻垮浪酿匙迪磁哉误差传播定律误差传播定律7/24/202474第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播一一、用用不不同同精精度度的的真真误误差差计计算算单单位位权权方差的计算公式方差的计算公式一组同精度独立观测值它们的数学期望为真误差为有观测值的方差为上式是

76、根据一组同精度独立的真误差一组同精度独立的真误差一组同精度独立的真误差一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。计算方差的基本公式。计算方差的基本公式。计算方差的基本公式。 1-8 1-8 1-8 1-8 由真由真由真由真误误差差差差计计算方差及其算方差及其算方差及其算方差及其实际应实际应用用用用 现在设是一组不同精度的独立观测值数学期望、方差和权分别为 和为求单位权中误差，需要得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差，为此做如下变换： 设 是一组同精度独立的真误差 并令： 则： 虏獭喝拜憾蛤平托晴跪楞胖相无区蝶辕毒眉药惕貌馆婚演悦丹电十肛事部误差传播定律误差传播定律7/24/202475第

77、一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、由真误差计算中误差的应用二、由真误差计算中误差的应用1由三角形闭合差求测角方差 设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差为 设测角方差均为 ，根据协方差传播律得： 1-8 1-8 1-8 1-8 由真由真由真由真误误差差差差计计算方差及其算方差及其算方差及其算方差及其实际应实际应用用用用 上式称为菲列罗公式菲列罗公式菲列罗公式菲列罗公式，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。 彻制等奔盈掇沽蒋魁轩伴畜吧世澈谅摊雏梭扇融摸酉木夕粪偏伎哩裤吴岗误差传播

78、定律误差传播定律7/24/202476第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播二、由真误差计算中误差的应用二、由真误差计算中误差的应用2由双观测值之差求中误差 设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权 ：第一次：第二次： 权：观测值 和 是对同一量 的两次观测的结果，称为一个观测对观测对观测对观测对，这种成对的观测，称为双观测双观测双观测双观测 。对内精度相同，对间不同。两次观测值的差数：1-8 1-8 1-8 1-8 由真由真由真由真误误差差差差计计算方差及其算方差及其算方差及其算方差及其实际应实际应用用用用 由于差数的真值为0，所以差数的真误差就是差数本身。这样我们就得到了一组真误差。差数（真误差）的权：观测值 和 的方差第i对平均值的方差：， 单位权方差挽吱鼓卵脚饺活紫粤牛宠胸议内螟树框酣攀睬轻蒋象臂瞅先恫劈桌竿因扒误差传播定律误差传播定律7/24/202477第一章第一章观测误差及其传播观测误差及其传播