高三数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 .ppt

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1、第五节直线、平面垂直的判定及其性质【知【知识梳理】梳理】1.1.直直线与平面垂直与平面垂直(1)(1)定定义: :直直线l与平面与平面内的内的_一条直一条直线都垂直都垂直, ,就就说直直线l与平面与平面互相垂直互相垂直. .任意任意(2)(2)判定定理与性判定定理与性质定理定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判定判定定理定理一条直一条直线与一个平面与一个平面内的内的_都垂直都垂直, ,则该直直线与与此平面垂直此平面垂直l性性质定理定理垂直于同一个平面的垂直于同一个平面的两条直两条直线_abab两条相交直两条相交直线平行平行2.2.直直线和平面所成的角和平面所成的角(1)(1)定定

2、义: :平面的一条斜平面的一条斜线和和_所成的所成的锐角叫角叫做做这条直条直线和和这个平面所成的角个平面所成的角. .(2)(2)范范围: .: .它在平面上的射影它在平面上的射影3.3.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)二面角的有关概念二面角的有关概念: :二面角二面角: :从一条直从一条直线出出发的的_所所组成的成的图形叫做形叫做二面角二面角. .二面角的平面角二面角的平面角: :在二面角的棱上任取一点在二面角的棱上任取一点, ,以以该点点为垂足垂足, ,在两个半平面内分在两个半平面内分别作作_的两条射的两条射线, ,这两条射两条射线所所构成的角叫做二面角的平面角构成的角叫做二面角的

3、平面角. .二面角的范二面角的范围:_.:_.两个半平面两个半平面垂直于棱垂直于棱(2)(2)平面和平面垂直的定平面和平面垂直的定义: :两个平面相交两个平面相交, ,如果所成的二面角如果所成的二面角是是_,_,就就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直. .(3)(3)平面与平面垂直的判定定理与性平面与平面垂直的判定定理与性质定理定理: :文字文字语言言图形形语言言符号符号语言言判定判定定理定理 一个平面一个平面过另一个平面的另一个平面的_,_,则这两个平面垂直两个平面垂直性性质定理定理 两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平一个平面内垂直于面内垂直于_的直的直线与另一个平面垂直与另一个平面垂

4、直l直二面角直二面角垂垂线交交线【考点自【考点自测】1.(1.(思考思考) )给出下列命出下列命题: :直直线l不可能和两个相交平面都垂直不可能和两个相交平面都垂直; ;当当时, ,直直线l过内一点且与交内一点且与交线垂直垂直, ,则l;异面直异面直线所成的角与二面角的取所成的角与二面角的取值范范围均均为 二面角是指两个相交平面构成的二面角是指两个相交平面构成的图形形; ;若两个平面垂直若两个平面垂直, ,则其中一个平面内的任意一条直其中一个平面内的任意一条直线垂直于垂直于另一个平面另一个平面. .其中正确的是其中正确的是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选D.D.

5、正确正确. .否则两个平面应平行否则两个平面应平行. .错误错误. .当该点是交线上的点时当该点是交线上的点时, ,l与与不一定垂直不一定垂直. .错误错误. .异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是 而二面角的范围是而二面角的范围是0,.0,.错误错误. .二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. .错误错误. .若平面若平面平面平面,则平面则平面内的直线内的直线l与与可平行可平行, ,可可相交相交, ,也可在平面也可在平面内内. .2.2.下列条件中下列条件中, ,能判定直能判定直线l平面平面的是的是( () )A.A.l与平面与

6、平面内的两条直内的两条直线垂直垂直B.B.l与平面与平面内无数条直内无数条直线垂直垂直C.C.l与平面与平面内的某一条直内的某一条直线垂直垂直D.D.l与平面与平面内任意一条直内任意一条直线垂直垂直【解析】【解析】选选D.D.由直线与平面垂直的定义由直线与平面垂直的定义, ,可知可知D D正确正确. .3.3.已知如已知如图, ,六棱六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF的底面是正六的底面是正六边形形,PA,PA平面平面ABC.ABC.则下列下列结论不正确的是不正确的是 ( () )A.CDA.CD平面平面PAFPAFB.DFB.DF平面平面PAFPAFC.CFC.CF平面平面PABPABD.

7、CFD.CF平面平面PADPAD【解析】【解析】选选D.AD.A中中, ,因为因为CDAF,AFCDAF,AF 平面平面PAF,CDPAF,CD 平面平面PAF,PAF,所以所以CDCD平面平面PAFPAF成立成立; ;B B中中, ,因为因为ABCDEFABCDEF为正六边形为正六边形, ,所以所以DFAF.DFAF.又因为又因为PAPA平面平面ABCDEF,ABCDEF,所以所以PADF,PADF,又因为又因为PAAF=A,PAAF=A,所以所以DFDF平面平面PAFPAF成立成立; ;C C中中, ,因为因为CFAB,ABCFAB,AB 平面平面PAB,CFPAB,CF 平面平面PAB,

8、PAB,所以所以CFCF平面平面PAB;PAB;而而D D中中CFCF与与ADAD不垂直不垂直, ,故选故选D.D.4.4.直直线aa平面平面,b,b,则a a与与b b的位置关系是的位置关系是. .【解析】【解析】由由bb可得可得b b平行于平行于内的一条直线内的一条直线, ,设为设为b.b.因为因为a,a,所以所以ab,ab,从而从而ab,ab,但但a a与与b b可能相交可能相交, ,也可能异面也可能异面. .答案答案: :垂直垂直( (相交垂直或异面垂直相交垂直或异面垂直) )5.5.将正方形将正方形ABCDABCD沿沿ACAC折成直二面角后折成直二面角后,DAB=,DAB=. .【解

9、析】【解析】如图如图, ,取取ACAC的中点的中点O,O,连接连接DO,BO,BD,DO,BO,BD,则则DOAC,BOAC,DOAC,BOAC,故故DOBDOB为二面角的平面为二面角的平面角角, ,从而从而DOB=90.DOB=90.设正方形边长为设正方形边长为1,1,则则DO=BO= ,DO=BO= ,所以所以DB=1,DB=1,故故ADBADB为等边三角形为等边三角形, ,所以所以DAB=60.DAB=60.答案答案: :6060考点考点1 1 有关垂直关系的判断有关垂直关系的判断【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013新新课标全国卷全国卷)已知已知m,nm,n为异面直异面直

10、线, ,mm平面平面,n,n平面平面.直直线l满足足lm,m,ln,n,l ,l ,则( () )A.A.且且lB.B.且且lC.C.与与相交相交, ,且交且交线垂直于垂直于lD.D.与与相交相交, ,且交且交线平行于平行于l(2)(2013(2)(2013广广东高考高考) )设m,nm,n是两条不同的直是两条不同的直线,是两个不是两个不同的平面同的平面, ,下列命下列命题中正确的是中正确的是( () )A.A.若若,m,m,n,n,则mnmnB.B.若若,m,m,n,n,则mnmnC.C.若若mn,mmn,m,n,n,则D.D.若若m,mn,n,m,mn,n,则【解题视点】【解题视点】(1)

11、(1)作出与直线作出与直线m,nm,n平行的直线平行的直线, ,证明平面证明平面,相相交交, ,然后可证交线与直线然后可证交线与直线l平行平行. .(2)(2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.因为因为m,nm,n为异面直线为异面直线,m,m平面平面,nn平面平面.所以所以,相交相交( (否则否则m,nm,n为平行直线为平行直线).).设设=l,则则lm,m,ln,n,过空间一点过空间一点P P作作mm,nn.mm,nn.则则m,nm,n可确定平面可确定平面.由题意知由题意知: :l,l.所以所以l

12、l.(2)(2)选选D.D.对于选项对于选项A,A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能相交、异面都可能, ,但未必垂直但未必垂直; ;对于选项对于选项B,B,分别在两个平行平分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能面内的两条直线平行、异面都可能; ;对于选项对于选项C,C,两个平面分别两个平面分别经过两垂直直线中的一条经过两垂直直线中的一条, ,不能保证两个平面垂直不能保证两个平面垂直; ;对于选项对于选项D,m,mn,D,m,mn,则则n;n;又因为又因为n,n,则则内存在与内存在与n n平行的直平行的直线线l, ,因为因为n,n,

13、则则l,由于由于l,l ,所以所以.【规律方法】【规律方法】空间垂直关系的判断方法空间垂直关系的判断方法(1)(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断需作图在头脑中形成印象来判断. .(2)(2)寻找反例寻找反例, ,只要存在反例只要存在反例, ,那么结论就不正确那么结论就不正确. .(3)(3)反复验证所有可能的情况反复验证所有可能的情况, ,必要时要运用判定或性质定理进必要时要运用判定或性质定理进行简单说明行简单说明. .【变式式训练】(2014(2014衡水模衡水模拟) )设l是直是直线,是两个

14、不同的是两个不同的平面平面( () )A.A.若若l,l,则 B. B.若若l,l,则C.C.若若,l,则l D. D.若若,l,则l【解析】【解析】选选B.B.对于对于A,A,若若l,l,则则,可能相交可能相交; ;对于对于B,B,若若l,则平面则平面内必存在一直线内必存在一直线m m与与l平行平行, ,则则m,m,又又m m ,故故.选项选项C,C,l可能平行于可能平行于或或l在平面在平面内内; ;选项选项D,D,l还可能平还可能平行于行于或在平面或在平面内内. .【加固【加固训练】1.1.如果直如果直线l,m,m与平面与平面,满足足:=:=l, ,l,m,m且且m,m,那么必有那么必有(

15、 () )A.A.且且lm m B.B.且且C.C.且且m D.mm D.m且且lmm【解析】【解析】选选A.mA.m 且且m,m,则则;m;m且且l ,则则lm.m.2.(20132.(2013杭州模杭州模拟) )设a,b,ca,b,c是三条不同的直是三条不同的直线,是两个是两个不同的平面不同的平面, ,则abab的一个充分条件是的一个充分条件是( () )A.ac,bc B.,aA.ac,bc B.,a,b,bC.a,b D.a,bC.a,b D.a,b【解析】【解析】选选C.C.对于选项对于选项C,C,在平面在平面内存在内存在cb,cb,因为因为a,a,所所以以ac,ac,故故ab;A,

16、Bab;A,B选项中选项中, ,直线直线a,ba,b可能是平行直线可能是平行直线, ,相交直线相交直线, ,也可能是异面直线也可能是异面直线;D;D选项中一定推出选项中一定推出ab.ab.考点考点2 2 线面垂直的判定和性面垂直的判定和性质【考情】【考情】线面垂直的判定和性面垂直的判定和性质的的应用是高考立体几何的命用是高考立体几何的命题热点点. .试题以解答以解答题形式出形式出现, ,主要考主要考查利用判定定理及性利用判定定理及性质定定理理证明明线线垂直、垂直、线面垂直等面垂直等问题, ,常与常与线面平行、面平行、线线平行平行问题、体、体积问题交交汇出出现, ,试题难度不大度不大, ,易得分

17、易得分. .高频考点高频考点通关通关 【典例【典例2 2】(1)(1)已知已知ABCDABCD为矩形矩形,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,下列判断中正确下列判断中正确的是的是( () )A.ABPC B.ACA.ABPC B.AC平面平面PBDPBDC.BCC.BC平面平面PAB D.PAB D.平面平面PBCPBC平面平面PDCPDC(2)(2013(2)(2013重重庆高考高考) )如如图, ,四棱四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2,ABCD,PA=2 ,BC=CD=2,ACB=ACD= ACB=ACD= 求求证:BD:BD平面

18、平面PAC;PAC;若若侧棱棱PCPC上的点上的点F F满足足PF=7FC,PF=7FC,求三棱求三棱锥P-BDFP-BDF的体的体积. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)画出图形画出图形, ,结合图形判断选项的正误结合图形判断选项的正误. .(2)(2)由由BC=CDBC=CD及及ACB=ACDACB=ACD证明证明BDAC,BDAC,再由再由PAPA底面底面ABCD,ABCD,得得PABD.PABD.直接利用线面垂直的判定定理证明直接利用线面垂直的判定定理证明; ;利用利用V VP-BCDP-BCD= S= SBCDBCDPA,VPA,VF-BCDF-BCD= S= SBCDBCD P

19、A,V PA,VP-BDFP-BDF= =V VP-BCDP-BCD-V-VF-BCDF-BCD, ,可求解三棱锥的体积可求解三棱锥的体积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意画出几何体由题意画出几何体的图形的图形, ,如图如图, ,显然显然ABPCABPC不正确不正确;AC;AC不垂不垂直直PO,PO,所以所以ACAC平面平面PBDPBD不正确不正确;BCAB,;BCAB,PAPA平面平面ABCD,PABC,PAAB=A,ABCD,PABC,PAAB=A,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB,正确正确. .(2)(2)因因BC=CD,BC=CD,即即BCDBCD为等腰

20、三角形为等腰三角形, ,又又ACB=ACD,ACB=ACD,故故BDAC.BDAC.因为因为PAPA底面底面ABCD,ABCD,所以所以PABD.PABD.从而从而BDBD与平面与平面PACPAC内两条相交直线内两条相交直线PA,ACPA,AC都垂直都垂直, ,所以所以BDBD平面平面PAC.PAC.三棱锥三棱锥P-BCDP-BCD的底面的底面BCDBCD的面积的面积由由PAPA底面底面ABCDABCD，得，得由由PF=7FC,PF=7FC,得三棱锥得三棱锥F -BCDF -BCD的高为的高为 故故所以所以【通关【通关锦囊】囊】重点重点题型型破解策略破解策略证明明线面面垂直垂直利用利用线面垂直

21、的判定定理面垂直的判定定理;利用利用“两平行两平行线中的一条与平面垂直中的一条与平面垂直, ,则另一条也与另一条也与这个平个平面垂直面垂直”;”;利用利用“一条直一条直线垂直于两个平行垂直于两个平行平面中的一个平面中的一个, ,则与另一个也垂直与另一个也垂直”;”;利用面利用面面垂直的性面垂直的性质定理定理重点重点题型型破解策略破解策略证明明线线垂直垂直线线垂直的垂直的证明明, ,可以有可以有许多途径多途径, ,可利用某一可利用某一平面上平面几何的关系、平面上平面几何的关系、线面垂直的性面垂直的性质及面及面面垂直的性面垂直的性质等等, ,具体方法有具体方法有: :计算两直算两直线所成的角所成的

22、角为90(90(包括平面角与包括平面角与异面直异面直线所成的角所成的角););线面垂直的性面垂直的性质( (若若a,ba,b,则ab);ab);ab=0=0ab求体求体积问题先确定几何体的底面先确定几何体的底面积, ,利用利用线面垂直确定几面垂直确定几何体的高何体的高【特别提醒】【特别提醒】在证明线面垂直时在证明线面垂直时, ,一定要严格按照定理要求一定要严格按照定理要求, ,不不要忽视要忽视“平面中的两条相交直线平面中的两条相交直线”这个条件这个条件. .【关注【关注题型】型】探索性探索性问题解决探索性解决探索性问题一般有两种思路一般有两种思路: :一是由特殊一是由特殊情形正面探索情形正面探

23、索, ,但准确率不高但准确率不高; ;二是逆推二是逆推, ,可由可由结论出出发, ,执果索因果索因, ,步步逆推步步逆推. .具体具体题目采用目采用哪一种方法哪一种方法, ,应视题目中目中给出条件而定出条件而定【通关【通关题组】1.(20141.(2014台州模台州模拟) )如如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=2BC,AB=2BC,点点M M在在边CDCD上上, ,点点F F在在边ABAB上上, ,且且DFAM,DFAM,垂足垂足为E,E,若将若将ADMADM沿沿AMAM折起折起, ,使点使点D D位位于于DD位置位置, ,连接接DB,DCDB,DC得四棱得四棱锥D-ABCM.

24、D-ABCM.(1)(1)求求证:AMDF.:AMDF.(2)(2)若若DEF= ,DEF= ,直直线DFDF与平面与平面ABCMABCM所成角的大小所成角的大小为 , ,求直求直线ADAD与平面与平面ABCMABCM所成角的正弦所成角的正弦值. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为AMDE,AMEF,AMDE,AMEF,又因为又因为DE,EFDE,EF是平面是平面DEFDEF内两条相交直线内两条相交直线, ,所以所以AMAM平面平面DEF,DEF,所以所以AMDF.AMDF.(2)(2)由由(1)(1)知知AMAM平面平面DEF,DEF,所以平面所以平面DEFDEF平面平面ABCM,ABC

25、M,且且DEF= ,DEF= ,所以过所以过DD作平面作平面ABCMABCM的垂线的垂线, ,垂足垂足H H必在必在EFEF上上, ,所以所以DFEDFE是是DFDF与平面与平面ABCMABCM所成角所成角. .因为因为DEF= ,DEF= ,且且DFE= ,DFE= ,所以所以DEFDEF是等边三角形是等边三角形, ,因为因为DE=EFDE=EF即即DE=EF,DE=EF,所以所以DAFDAF是等腰直角三角形是等腰直角三角形, ,设设AD=2,AD=2,所以所以AF=2,AF=2,且且EF= ,EF= ,所以四棱锥所以四棱锥D-ABCMD-ABCM的高的高DH= .DH= .设直线设直线AD

26、AD与平面与平面ABCMABCM所成角为所成角为,则则sin=sin=所以直线所以直线ADAD与平面与平面ABCMABCM所成角的正弦值为所成角的正弦值为 2.(20132.(2013广东高考广东高考) )如图，在边长为如图，在边长为1 1的等边的等边ABCABC中，中，D,ED,E分分别是别是AB,ACAB,AC边上的点，边上的点，AD=AEAD=AE，F F是是BCBC的中点，的中点，AFAF与与DEDE交于点交于点G G，将将ABFABF沿沿AFAF折起，得到如图所示的三棱锥折起，得到如图所示的三棱锥A-BCFA-BCF，其中，其中(1)(1)证明：证明：DEDE平面平面BCF.BCF.

27、(2)(2)证明：证明：CFCF平面平面ABF.ABF.(3)(3)当当 时，求三棱锥时，求三棱锥F-DEGF-DEG的体积的体积V VF-DEGF-DEG【解析】【解析】(1)(1)在等边在等边ABCABC中，中，AD=AEAD=AE，所以，所以 在折叠后在折叠后的三棱锥的三棱锥A-BCFA-BCF中也成立，所以中也成立，所以DEBC.DEBC.因为因为DEDE 平面平面BCFBCF，BCBC 平面平面BCFBCF，所以，所以DEDE平面平面BCF.BCF.(2)(2)在等边在等边ABCABC中，中，F F是是BCBC的中点，的中点，所以所以AFFCAFFC，因为在三棱锥因为在三棱锥A-BC

28、FA-BCF中，中，所以所以BCBC2 2=BF=BF2 2+CF+CF2 2,CFBF.,CFBF.因为因为BFAF=FBFAF=F，所以，所以CFCF平面平面ABF.ABF.(3)(3)由由(1)(1)可知可知GECFGECF，结合，结合(2)(2)可得可得GEGE平面平面DFG.DFG.【加固【加固训练】1.(20141.(2014韶关模韶关模拟) )已知已知ABCABC的三的三边长分分别为AB=5,BC=4,AC=3,MAB=5,BC=4,AC=3,M是是ABAB边上的点上的点,P,P是平面是平面ABCABC外一点外一点. .给出下列四个命出下列四个命题: :若若PAPA平面平面ABC

29、,ABC,则三棱三棱锥P-ABCP-ABC的四个面都是直角三角形的四个面都是直角三角形; ;若若PMPM平面平面ABC,ABC,且且M M是是ABAB边的中点的中点, ,则有有PA=PB=PC;PA=PB=PC;若若PC=5,PCPC=5,PC平面平面ABC,ABC,则PCMPCM面面积的最小的最小值为 ; ;若若PC=5,PPC=5,P在平面在平面ABCABC上的射影是上的射影是ABCABC内切内切圆的的圆心心, ,则点点P P到平面到平面ABCABC的距离的距离为 . .其中正确命其中正确命题的序号是的序号是.(.(把你把你认为正确命正确命题的序号的序号都填上都填上) )【解析】【解析】由

30、题知由题知ACBC,ACBC,对于对于,若若PAPA平面平面ABC,ABC,则则PABC,PABC,又知又知PAAC=A,PAAC=A,所以所以BCBC平面平面PAC,PAC,所以所以BCPC,BCPC,因此该三棱锥因此该三棱锥P-ABCP-ABC的四个面均为直角三角形的四个面均为直角三角形,正确正确; ;对于对于,由已知得由已知得M M为为ABCABC的外心的外心, ,所以所以MA=MB=MC.MA=MB=MC.因为因为PMPM平面平面ABC,ABC,则则PMMA,PMMA,PMMB,PMMC,PMMB,PMMC,由三角形全等可知由三角形全等可知PA=PB=PC,PA=PB=PC,故故正确正

31、确; ;对于对于,要使要使PCMPCM的面积最小的面积最小, ,只需只需CMCM最短最短, ,在在RtABCRtABC中中,(CM),(CM)minmin= ,= ,所以所以(S(SPCMPCM) )minmin= 5=6,= 5=6,故故错误错误; ;对于对于,设设P P点在点在平面平面ABCABC内的射影为内的射影为O,O,且且O O为为ABCABC的内心的内心, ,由平面几何知识得内由平面几何知识得内切圆半径为切圆半径为r=1,r=1,且且OC= ,OC= ,在在RtPOCRtPOC中中,PO= ,PO= 所以点所以点P P到平面到平面ABCABC的距离为的距离为 , ,故故正确正确.

32、.答案答案: :2.(20142.(2014郑州模拟郑州模拟) )在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，ABABAAAA1 1，CABCAB(1)(1)证明：证明：CBCB1 1BABA1 1. .(2)(2)已知已知ABAB2 2， 求三棱锥求三棱锥C C1 1-ABA-ABA1 1的体积的体积【解析】【解析】(1)(1)如图所示，连接如图所示，连接ABAB1 1. .因为三棱柱因为三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱，是直三棱柱，CABCAB所以所以ACAC平面平面ABBABB1 1A A1 1，故故ACBAACBA1

33、1. .又因为又因为ABABAAAA1 1，所以四边形所以四边形ABBABB1 1A A1 1是正方形，所以是正方形，所以BABA1 1ABAB1 1. .又又CAABCAAB1 1A A，所以所以BABA1 1平面平面CABCAB1 1，故，故CBCB1 1BABA1 1. .(2)(2)因为因为ABABAAAA1 12 2，BCBC所以所以ACACA A1 1C C1 11.1.由由(1)(1)知，知，A A1 1C C1 1平面平面ABAABA1 1，所以所以3.3.如如图(1),(1),在在RtABCRtABC中中,C=90,D,E,C=90,D,E分分别为AC,ABAC,AB的中点的

34、中点, ,点点F F为线段段CDCD上的一点上的一点, ,将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到AA1 1DEDE的位置的位置, ,使使A A1 1FCD,FCD,如如图(2).(2).(1)(1)求求证:DE:DE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)求求证:A:A1 1FBE.FBE.(3)(3)线段段A A1 1B B上是否存在点上是否存在点Q,Q,使使A A1 1CC平面平面DEQ?DEQ?说明理由明理由. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为D,ED,E分别为分别为AC,ABAC,AB的中点的中点, ,所以所以DEBC.DEBC.又因为又因为DEDE 平面平面A A1 1C

35、B,BCCB,BC 平面平面A A1 1CB,CB,所以所以DEDE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)由已知得由已知得ACBCACBC且且DEBC,DEBC,所以所以DEAC.DEAC.所以所以DEADEA1 1D,DECD,AD,DECD,A1 1DCD=D,DCD=D,所以所以DEDE平面平面A A1 1DC.DC.而而A A1 1F F 平面平面A A1 1DC,DC,所以所以DEADEA1 1F.F.又因为又因为A A1 1FCD,FCD,且且DECD=D,DECD=D,所以所以A A1 1FF平面平面BCDE,BCDE,所以所以A A1 1FBE.FBE.(3)(3)线段线

36、段A A1 1B B上存在点上存在点Q,Q,使使A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.理由如下理由如下: :如图如图, ,分别取分别取A A1 1C,AC,A1 1B B的中点的中点P,Q,P,Q,则则PQBC.PQBC.又因为又因为DEBC,DEBC,所以所以DEPQ.DEPQ.所以平面所以平面DEQDEQ即为平面即为平面DEP.DEP.由由(2)(2)知知,DE,DE平面平面A A1 1DC,DC,所以所以DEADEA1 1C.C.又因为又因为P P是等腰三角形是等腰三角形DADA1 1C C底边底边A A1 1C C的中点的中点, ,所以所以A A1 1CDP.CDP.又又DEDP=D

37、,DEDP=D,所以所以A A1 1CC平面平面DEP.DEP.从而从而A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.故线段故线段A A1 1B B上存在点上存在点Q,Q,使得使得A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.考点考点3 3 面面垂直的判定和性质面面垂直的判定和性质 【典例【典例3 3】(2013(2013山山东高考高考) )如如图, ,四棱四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,NE,F,G,M,N分分别为PB,AB,BC,PD,PCPB,AB,BC,PD,PC的中点的中点. .(1)(1

38、)求求证:CE:CE平面平面PAD.PAD.(2)(2)求求证: :平面平面EFGEFG平面平面EMN.EMN.【解题视点】【解题视点】(1)(1)本题考查线面平行的证法本题考查线面平行的证法, ,可利用线线平行可利用线线平行, ,也可利用面面平行来证明线面平行也可利用面面平行来证明线面平行. .(2)(2)本题考查了面面垂直的判定本题考查了面面垂直的判定, ,在平面在平面EMNEMN中找一条直线中找一条直线MN,MN,确确定定MNMN平面平面EFGEFG即可即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)方法一方法一: :取取PAPA的中点的中点H,H,连接连接EH,DH.EH,DH.因为因为

39、E E为为PBPB的中点的中点, ,所以所以EHAB,EH= AB.EHAB,EH= AB.又又ABCD,CD= AB,ABCD,CD= AB,所以所以EHCD,EH=CD.EHCD,EH=CD.因此四边形因此四边形DCEHDCEH是平行四边形是平行四边形. .所以所以CEDH.CEDH.又又DHDH 平面平面PAD,CEPAD,CE 平面平面PAD,PAD,因此因此CECE平面平面PAD .PAD .方法二方法二: :连接连接CF.CF.因为因为F F为为ABAB的中点的中点, ,所以所以AF= AB.AF= AB.又又CD = AB,CD = AB,所以所以AF=CD.AF=CD.又又AF

40、CD,AFCD,所以四边形所以四边形AFCDAFCD为平行四边形为平行四边形. .因此因此CFAD.CFAD.又又CFCF 平面平面PAD,ADPAD,AD 平面平面PAD,PAD,所以所以CFCF平面平面PAD.PAD.因为因为E,FE,F分别为分别为PB,ABPB,AB的中点的中点, ,所以所以EFPA.EFPA.又又EFEF 平面平面PAD,APPAD,AP 平面平面PAD,PAD,所以所以EFEF平面平面PAD.PAD.因为因为CFEF=F,CFEF=F,故平面故平面CEFCEF平面平面PAD.PAD.又又CECE 平面平面CEF,CEF,所以所以CECE平面平面PAD.PAD.(2)

41、(2)因为因为E,FE,F分别为分别为PB,ABPB,AB的中点的中点, ,所以所以EFPA.EFPA.又又ABPA .ABPA .所以所以ABEF .ABEF .同理可证同理可证ABFG.ABFG.又又EFFG=F,EFEFFG=F,EF 平面平面EFG,FGEFG,FG 平面平面EFG,EFG,因此因此ABAB平面平面EFG,EFG,又又M,NM,N分别为分别为PD,PCPD,PC的中点的中点, ,所以所以MNCD .MNCD .又又ABCD,ABCD,所以所以MNAB,MNAB,因此因此MNMN平面平面EFG,EFG,又又MNMN 平面平面EMN,EMN,所以平面所以平面EFGEFG平面

42、平面EMN.EMN.【易错警示】【易错警示】关注面面垂直的条件关注面面垂直的条件本例中本例中(2)(2)证明平面证明平面EFGEFG平面平面EMN,EMN,要关注平面与平面垂直判定要关注平面与平面垂直判定定理的两个条件定理的两个条件, ,即即MNMN平面平面EFG,EFG,又又MNMN 平面平面EMN,EMN,避免步骤不全避免步骤不全导致失误导致失误. .【互【互动探究】探究】若本例条件不若本例条件不变, ,证明明: :平面平面EMNEMN平面平面PAC.PAC.【证明】【证明】因为因为E,FE,F为为PB,ABPB,AB的中点的中点, ,则则EFPA,EFPA,又因为又因为G G为为BCBC

43、的中点的中点, ,则则GFAC,GFAC,而而GFEF=F,PACA=A,GFEF=F,PACA=A,所以平所以平面面EFGEFG平面平面PAC.PAC.因为平面因为平面EFGEFG平面平面EMN.EMN.所以平面所以平面EMNEMN平面平面PAC.PAC.【规律方法】【规律方法】面面垂直的证明方法面面垂直的证明方法(1)(1)定义法定义法: :利用面面垂直的定义利用面面垂直的定义, ,即判定两平面所成的二面角即判定两平面所成的二面角为直二面角为直二面角, ,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题问题. .(2)(2)定理法定理法: :利用面面

44、垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理, ,即证明其中一个平面经即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线过另一个平面的一条垂线, ,把问题转化成证明线线垂直加以解把问题转化成证明线线垂直加以解决决. .提醒提醒: :两平面垂直两平面垂直, ,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面一个平面. .这是把面面垂直转化为线面垂直的依据这是把面面垂直转化为线面垂直的依据. .运用时要注运用时要注意意“平面内的直线平面内的直线”.”.【变式式训练】在如在如图所示的几何体中所示的几何体中, ,四四边形形ABCDABCD是正方形是正方形,MA,MA平面平面ABCD

45、,PDMA,E,G,FABCD,PDMA,E,G,F分分别为MB,PB,PCMB,PB,PC的中点的中点, ,且且AD=PD=2MA.AD=PD=2MA.(1)(1)求求证: :平面平面EFGEFG平面平面PDC.PDC.(2)(2)求三棱求三棱锥P-MABP-MAB与四棱与四棱锥P-ABCDP-ABCD的体的体积之比之比. .【解析】【解析】(1)(1)由已知由已知MAMA平面平面ABCD,PDMA,ABCD,PDMA,得得PDPD平面平面ABCD.ABCD.又又BCBC 平面平面ABCD,ABCD,所以所以PDBC.PDBC.因为四边形因为四边形ABCDABCD为正方形为正方形, ,所以所

46、以BCDC.BCDC.又又PDDC=D,PDDC=D,因此因此BCBC平面平面PDC.PDC.在在PBCPBC中中, ,因为因为G,FG,F分别为分别为PB,PCPB,PC的中点的中点, ,所以所以GFBC,GFBC,因此因此GFGF平面平面PDC.PDC.又又GFGF 平面平面EFG,EFG,所以平面所以平面EFGEFG平面平面PDC.PDC.(2)(2)因为因为PDPD平面平面ABCDABCD，四边形，四边形ABCDABCD为正方形，不妨设为正方形，不妨设MAMA1 1，则则PDPDADAD2 2，所以所以由于由于DADA平面平面MABMAB，且，且PDMAPDMA，所以所以DADA即为点

47、即为点P P到平面到平面MABMAB的距离，的距离，所以所以V VP-MABP-MABVVP-ABCDP-ABCD14.14.【加固【加固训练】1.1.如如图所示所示, ,在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,平面平面PADPAD平面平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,FABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分分别是是AP,ADAP,AD的中点的中点. .求求证:(1):(1)直直线EFEF平面平面PCD.PCD.(2)(2)平面平面BEFBEF平面平面PAD.PAD.【证明】【证明】(1)(1)在在PADPAD中中, ,因为因为E,FE,F分别为分别为AP,ADAP,A

48、D的中点的中点, ,所以所以EFPD.EFPD.又因为又因为EFEF 平面平面PCD,PDPCD,PD 平面平面PCD,PCD,所以直线所以直线EFEF平面平面PCD.PCD.(2)(2)连接连接BD.BD.因为因为AB=AD,BAD=60,AB=AD,BAD=60,所以所以ABDABD为正三角形为正三角形. .因为因为F F是是ADAD的中点的中点, ,所以所以BFAD.BFAD.因为平面因为平面PADPAD平面平面ABCD,BFABCD,BF 平面平面ABCD,ABCD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,所以所以BFBF平面平面PAD.PAD.又因为又因为BFBF

49、 平面平面BEF.BEF.所以平面所以平面BEFBEF平面平面PAD.PAD.2.2.如如图, ,在在ABCABC中中,ABC=45,BAC=90,AD,ABC=45,BAC=90,AD是是BCBC上的高上的高, ,沿沿ADAD把把ABDABD折起折起, ,使使BDC=90.BDC=90.(1)(1)证明明: :平面平面ADBADB平面平面BDC.BDC.(2)(2)若若BD=1,BD=1,求三棱求三棱锥D D- -ABCABC的表面的表面积. .【解析】【解析】(1)(1)因为折起前因为折起前ADAD是是BCBC边上的高边上的高, ,所以当所以当ABDABD折起后折起后,ADDC,ADDB,

50、ADDC,ADDB,又又DBDC=D,DBDC=D,所以所以ADAD平面平面BDC,BDC,又因为又因为ADAD 平面平面ADB.ADB.所以平面所以平面ADBADB平面平面BDC.BDC.(2)(2)由由(1)(1)知，知，DADB,DBDC,DCDA,DADB,DBDC,DCDA,因为因为DB=DA=DC=1DB=DA=DC=1，所以所以AB=BC=CA= ABC=60AB=BC=CA= ABC=60，3.3.如如图, ,在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD为菱形菱形,BAD=60,Q,BAD=60,Q为ADAD的中点的中点. .(1)(1)若若PA=P

51、D,PA=PD,求求证: :平面平面PQBPQB平面平面PAD.PAD.(2)(2)点点M M在在线段段PCPC上上,PM=tPC,PM=tPC,试确定确定t t的的值, ,使使PAPA平面平面MQB.MQB.【解析】【解析】(1)(1)如图如图, ,连接连接BD,BD,因为四边形因为四边形ABCDABCD为菱形为菱形, ,BAD=60,BAD=60,所以所以ABDABD为正三角形为正三角形. .又因为又因为Q Q为为ADAD的中点的中点, ,所以所以ADBQ.ADBQ.因为因为PA =PD,QPA =PD,Q为为ADAD的中点的中点, ,所以所以ADPQ.ADPQ.又又BQPQ=Q,BQPQ

52、=Q,所以所以ADAD平面平面PQB.PQB.又又ADAD 平面平面PAD,PAD,所以平面所以平面PQBPQB平面平面PAD.PAD.(2)(2)当当 时，时，PAPA平面平面MQB.MQB.连接连接ACAC交交BQBQ于点于点N N，连接，连接MN.MN.由由AQBCAQBC可得，可得，ANQCNBANQCNB，所以，所以因为因为PAPA平面平面MQBMQB，PAPA 平面平面PACPAC，平面，平面PACPAC平面平面MQBMQBMNMN，所以所以PAMN.PAMN.所以所以 即即 所以所以考点考点4 4 线面角与二面角的求法面角与二面角的求法【典例【典例4 4】(2014(2014宁波

53、模宁波模拟) )如如图所示所示, ,三棱三棱柱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面是的底面是边长为2 2的正三角形且的正三角形且侧棱垂直于底面棱垂直于底面, ,侧棱棱长是是 ,D ,D是是ACAC的中点的中点. .(1)(1)求求证:B:B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.(2)(2)求二面角求二面角A A1 1-BD-A-BD-A的大小的大小. .(3)(3)求直求直线ABAB1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成的角的正弦所成的角的正弦值. .【解题视点】【解题视点】(1)(1)三棱柱的侧面是矩形三棱柱的侧面是矩形, ,对角线对角线A A1 1B,ABB,

54、AB1 1的交点与的交点与点点D D的连线平行于的连线平行于B B1 1C.(2)C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形由于三棱柱的底面是正三角形,D,D为为ACAC的中点的中点, ,由侧面与底面垂直由侧面与底面垂直, ,可以得到可以得到BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1,BD ,BD A A1 1D,AD,A1 1DADA就是二面角的平面角就是二面角的平面角.(3).(3)根据根据(2)(2)得平面得平面A A1 1BDBD平面平面A A1 1AD,AD,只要过点只要过点A A作作A A1 1D D的垂线即可得到点的垂线即可得到点A A在平面在平面A A1 1BDBD内的射影内的射

55、影, ,即得到了线面角即得到了线面角. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设ABAB1 1与与A A1 1B B相交于点相交于点P,P,连接连接PD,PD,则则P P为为ABAB1 1的中的中点点, ,因为因为D D为为ACAC的中点的中点, ,所以所以PDBPDB1 1C.C.又因为又因为PDPD 平面平面A A1 1BD,BBD,B1 1C C 平面平面A A1 1BD,BD,所以所以B B1 1CC平面平面A A1 1BD.BD.(2)(2)由题知由题知, ,平面平面ACCACC1 1A A1 1平面平面ABC,ABC,平面平面ACCACC1 1A A1 1平面平面ABC=AC,A

56、BC=AC,又因为又因为BDAC,BDAC,则则BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1, ,所以所以BDABDA1 1D,D,所以所以AA1 1DADA就是二面角就是二面角A A1 1-BD-A-BD-A的平面角的平面角. . 因为因为则则即二面角即二面角A A1 1-BD-A-BD-A的大小是的大小是(3)(3)作作AMAAMA1 1D D于于M.M.由由(2)(2)，易知，易知BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1，因为因为AMAM 平面平面ACCACC1 1A A1 1，所以，所以BDAM.BDAM.因为因为A A1 1DBD=DDBD=D，所以，所以AMAM平面平面A

57、A1 1BD.BD.连接连接MPMP，易知，易知APMAPM就是直线就是直线ABAB1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成的角所成的角. .因为因为AAAA1 1= = ，AD=1AD=1，所以在，所以在RtAARtAA1 1D D中，中，AA1 1DA= DA= ，所以所以AM=1sin 60=AM=1sin 60=所以所以sinAPM= sinAPM= 所以直线所以直线ABAB1 1与平面与平面A A1 1BDBD所成所成的角的正弦值为的角的正弦值为 . .【规律方法】【规律方法】1.1.求空间角的三个步骤求空间角的三个步骤(1)(1)找找: :根据图形找出相关的线面角或二面角根据图形

58、找出相关的线面角或二面角. .(2)(2)证证: :证明找出的角即为所求的角证明找出的角即为所求的角. .(3)(3)算算: :根据题目中的数据根据题目中的数据, ,通过解三角形求出所求角通过解三角形求出所求角. .2.2.空间角的求法空间角的求法(1)(1)线面角的求法线面角的求法: :找出斜线在平面上的射影找出斜线在平面上的射影, ,作出垂线作出垂线, ,确定垂确定垂足足. .(2)(2)二面角的求法二面角的求法: :直接法直接法: :根据概念直接作根据概念直接作, ,如二面角的棱是两如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边个等腰三角形的公共底边, ,就可以取棱的中点就可以取棱的中点; ;垂

59、线法垂线法: :如图如图, ,过二面角的一个半平面内一点过二面角的一个半平面内一点A A作另一个半平面的垂线作另一个半平面的垂线, ,再从垂足再从垂足B B向二面角向二面角的棱作垂线的棱作垂线, ,垂足为垂足为C,C,这样二面角的棱就垂直于这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面这两个垂线所确定的平面ABC,ABC,连接连接AC,AC,则则ACAC也与二面角的棱垂也与二面角的棱垂直直,ACB,ACB就是二面角的平面角或其补角就是二面角的平面角或其补角. .【变式式训练】(2014(2014海口模海口模拟) )如如图, ,在在四棱四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,ADBC,ABAD,ABP

60、A,ADBC,ABAD,ABPA,BC=2AB=2AD=4BE,BC=2AB=2AD=4BE,平面平面PABPAB平面平面ABCD,ABCD,(1)(1)求求证: :平面平面PEDPED平面平面PAC.PAC.(2)(2)若直若直线PEPE与平面与平面PACPAC所成的角的正弦所成的角的正弦值为 , ,求二面角求二面角A-PC-DA-PC-D的平面角的余弦的平面角的余弦值. .【解析】【解析】(1)(1)如图所示如图所示, ,取取ADAD的中点的中点F,F,连接连接BF,BF,则则FD BE,FD BE,所以四边形所以四边形FBEDFBED是平行四边形是平行四边形, ,所以所以FBED.FBE

61、D.因为因为RtBAFRtBAF和和RtCBARtCBA中中, , 所以所以RtBAFRtCBA,RtBAFRtCBA,易知易知BFAC,BFAC,所以所以EDAC.EDAC.又因为平面又因为平面PABPAB平面平面ABCD,ABCD,平面平面PABPAB平面平面ABCD=AB,ABPA,ABCD=AB,ABPA,所以所以PAPA平面平面ABCD,EDABCD,ED 平面平面ABCD,ABCD,所以所以PAED,PAED,因为因为PAAC=A,PAAC=A,所以所以EDED平面平面PAC,PAC,因为因为EDED 平面平面PED,PED,所以平面所以平面PEDPED平面平面PAC.PAC.(2

62、)(2)设设EDED交交ACAC于于G G，连接，连接PGPG，则则EPGEPG是直线是直线PEPE与平面与平面PACPAC所成的角所成的角. .设设BE=1BE=1，由由AGDCGEAGDCGE，知，知 因为因为AB=AD=2,AB=AD=2,所以所以因为因为sinEPG= sinEPG= 所以所以PE=3,AE= ,PA=PE=3,AE= ,PA=作作GHPCGHPC于于H H，连接，连接HDHD，由，由PCDE,PCPCDE,PC平面平面HDGHDG，所以所以PCHDPCHD，所以，所以GHDGHD是二面角是二面角A-PC-DA-PC-D的平面角的平面角. .因为因为PCAGCH,PCA

63、GCH,所以所以则则得得cosGHD= ,cosGHD= ,即二面角即二面角A-PC-DA-PC-D的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为【加固【加固训练】1.1.正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,BB,BB1 1与平面与平面ACDACD1 1所成角的余弦所成角的余弦值为( () )【解析】【解析】选选D.BBD.BB1 1与平面与平面ACDACD1 1所成的角等于所成的角等于DDDD1 1与平面与平面ACDACD1 1所所成的角成的角, ,在三棱锥在三棱锥D-ACDD-ACD1 1中中, ,由三条侧棱两两垂直得点由三条侧棱两两垂直得点D D在底

64、在底面面ACDACD1 1内的射影为等边三角形内的射影为等边三角形ACDACD1 1的中心的中心H,H,连接连接D D1 1H,DH,H,DH,则则DDDD1 1H H为为DDDD1 1与平面与平面ACDACD1 1所成的角所成的角, ,设正方体棱长为设正方体棱长为a,a,则则cosDDcosDD1 1H=H=2.2.在三棱在三棱锥P-ABCP-ABC中中,PC,AC,BC,PC,AC,BC两两垂直两两垂直, ,BC=PC=1,AC=2,E,F,GBC=PC=1,AC=2,E,F,G分分别是是AB,AC,APAB,AC,AP的的中点中点. .(1)(1)证明明: :平面平面GFEGFE平面平面

65、PCB.PCB.(2)(2)求二面角求二面角B-AP-CB-AP-C的正切的正切值. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为G,E,FG,E,F分别为分别为AP,AB,ACAP,AB,AC的中点的中点, ,所以所以GFPC,EFBC,GFPC,EFBC,又又GFGF 平面平面PBC,EFPBC,EF 平面平面PBC,PBC,PCPC 平面平面PBC,BCPBC,BC 平面平面PBC,PBC,所以所以GFGF平面平面PBC,EFPBC,EF平面平面PBC,PBC,又又GFEF=F,GFEF=F,所以平面所以平面GFEGFE平面平面PCB.PCB.(2)(2)过过C C作作CHAPCHAP交交AP

66、AP于点于点H,H,连接连接BH,BH,因为因为PC,AC,BCPC,AC,BC两两垂直两两垂直, ,所以所以BCBC平面平面APC,APC,所以所以BCAP,BCAP,又又CHBC=C,CHBC=C,所以所以APAP平面平面BHC,BHC,所以所以APBH,APBH,所以所以CHBCHB就是二面角就是二面角B-AP-CB-AP-C的平面角的平面角. .在在RtPACRtPAC中中,CH=,CH=在在RtBHCRtBHC中中,tanCHB=,tanCHB=故二面角故二面角B-AP-CB-AP-C的正切值为的正切值为 . .3.(20143.(2014哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )如图，在四棱锥如图

67、，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA平面平面ABCD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,FABCD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为分别为PCPC，CDCD的中点，的中点，DE=EC.DE=EC.(1)(1)求证：平面求证：平面ABEABE平面平面BEF.BEF.(2)(2)设设PA=a,PA=a,若平面若平面EBDEBD与平面与平面ABCDABCD所成所成锐二面角锐二面角 求求a a的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,FABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,F为为C

68、DCD的中点，的中点，所以四边形所以四边形ABFDABFD为矩形，为矩形，ABBF.ABBF.因为因为DE=ECDE=EC，所以，所以DCEF,DCEF,又又ABCD,ABCD,所以所以ABEF.ABEF.因为因为BFEF=F,BFEF=F,所以所以ABAB平面平面BEFBEF，ABAB 平面平面ABEABE，所以平面所以平面ABEABE平面平面BEF.BEF.(2)(2)连连ACAC交交BFBF于点于点K,K,连接连接AF,AF,四边四边形形ABCFABCF为平行四边形为平行四边形, ,所以所以K K为为ACAC的中点的中点, ,连连EK,EK,则则EKPA,EKEKPA,EK平平面面ABC

69、D,BDEK,ABCD,BDEK,作作KHBDKHBD于于H H点点, ,所以所以BDBD平面平面EKH,EKH,连连EH,EH,则则BDEH,EHKBDEH,EHK即为即为.在在RtEHKRtEHK中，中，解得解得【规范解答范解答9 9】垂直关系的垂直关系的证明与求解明与求解 【典例】【典例】(14(14分分)(2013)(2013浙江高考改浙江高考改编) )如如图, ,在四棱在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,ABC=120,AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,ABC=120,G G为线段段PCPC上的

70、点上的点. .(1)(1)证明明:BD:BD平面平面PAC.PAC.(2)(2)若若G G为PCPC的中点的中点, ,求求DGDG的的长. .(3)(3)若若G G满足足PCPC平面平面BGD,BGD,求求 的的值. .【审题】【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)AB=BC,AB=BC,AD=CD,AD=CD,PAPA平面平面ABCDABCD设设AC,BDAC,BD的交点为的交点为O,O,由线段相等可知由线段相等可知BDBD是线段是线段ACAC的中垂线的中垂线, ,先证明先证明BDAC,BDAC,再利用再利用PAPA平面平面ABCDABCD

71、证明证明PABDPABD(2)(2)G G是是PCPC的中点的中点, ,PA= ,PA= ,ABC=120ABC=120连接连接OG,OG,利用解三角形求出相关线段利用解三角形求出相关线段长度长度(3)(3)PCPC平面平面BGDBGD利用线面垂直的性质利用线面垂直的性质, ,确定垂直关系确定垂直关系, ,再利用相似三角形求解再利用相似三角形求解【解题】【解题】规范步骤规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)(1)设点设点O O为为ACAC，BDBD的交点，的交点，由由AB=BC,AD=CDAB=BC,AD=CD，得，得BDBD是线段是线段ACAC的中垂线的中垂线. .所以所以O O为为ACAC的

72、中点，的中点，BDAC. BDAC. 2 2分分又因为又因为PAPA平面平面ABCDABCD，BDBD 平面平面ABCDABCD，所以所以PABD.PABD.又又ACPA=AACPA=A，所以所以BDBD平面平面PAC. PAC. 4 4分分(2)(2)连接连接OGOG，由，由(1)(1)可知可知ODOD平面平面PACPAC，因为，因为OGOG 平面平面PAC,PAC,所以所以ODOG,ODOG,由题意得由题意得在在ABCABC中，中，AC= AC= 6 6分分所以所以在在RtOCDRtOCD中，中，在在RtOGDRtOGD中，中， 9 9分分(3)(3)因为因为PCPC平面平面BGDBGD，

73、OGOG 平面平面BGDBGD，所以所以PCOGPCOG，在在RtPACRtPAC中，得中，得因为因为GOCAPCGOCAPC，所以，所以 , , 1212分分所以所以从而从而所以所以 1414分分【点题】【点题】失分警示失分警示, ,规避误区规避误区失分点失分点防范措施防范措施处忽略两条相交直线导处忽略两条相交直线导致步骤不全而失分致步骤不全而失分利用线面垂直的判定定理证明利用线面垂直的判定定理证明线面垂直线面垂直, ,要注意证明的规范性要注意证明的规范性, ,一定要写清一条直线垂直于平一定要写清一条直线垂直于平面内的两条相交直线面内的两条相交直线处不能利用垂直关系处不能利用垂直关系, ,确

74、确定定ODOD平面平面APC,APC,得出得出OGDOGD为直角三角形导致失分为直角三角形导致失分利用垂直关系求解线段长度及利用垂直关系求解线段长度及比值时比值时, ,一般要利用垂直关系或一般要利用垂直关系或三角形相似求解三角形相似求解, ,求解时一定要求解时一定要注意线段的对应关系注意线段的对应关系, ,以免出错以免出错处不能利用垂直关系确处不能利用垂直关系确定相似三角形及比例关系定相似三角形及比例关系, ,求出求出CGCG的长度导致失分的长度导致失分【变题】变式式训练, ,能力迁移能力迁移如如图所示所示, ,在四棱在四棱锥P P- -ABCDABCD中中,AB,AB平面平面PAD,PAD,

75、ABCD,PD=AD,EABCD,PD=AD,E是是PBPB的中点的中点,F,F是是DCDC上的点上的点, ,且且DF= AB,PHDF= AB,PH为PADPAD中中ADAD边上的高上的高. .(1)(1)证明明:PH:PH平面平面ABCD.ABCD.(2)(2)若若PH=1,AD=2,FC=1,PH=1,AD=2,FC=1,求三棱求三棱锥E E- -BCFBCF的体的体积. .(3)(3)证明明:EF:EF平面平面PAB.PAB.【解析】【解析】(1)AB(1)AB平面平面PADPAD，PHPH 平面平面PADPADPHABPHAB，又又PHAD,ADPHAD,AD，ABAB 平面平面AB

76、CDABCD，ADAB=AADAB=APHPH平面平面ABCD.ABCD.(2)E(2)E是是PBPB的中点的中点点点E E到平面到平面BCFBCF的距离的距离所以三棱锥所以三棱锥E-BCFE-BCF的体积的体积(3)(3)取取PAPA的中点为的中点为G G，连接，连接DG,EG.DG,EG.PD=ADPD=ADDGPADGPA，又又ABAB平面平面PADPAD，ABAB 平面平面PABPAB平面平面PADPAD平面平面PABPAB，又平面又平面PADPAD平面平面PAB=PAPAB=PA，DGDG 平面平面PADPADDGDG平面平面PABPAB，点点E,GE,G是棱是棱PB,PAPB,PA的中点的中点EGEG AB AB，又又DFDF AB ABEG DFEG DFDGEFDGEF，得：得：EFEF平面平面PAB.PAB.