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1、11.1.成本函数成本函数总成本总成本 = 固定成本固定成本 + 可变成本可变成本平均成本平均成本(单位成本单位成本)=2.2.收益函数收益函数 收益收益=价格价格销量，即销量，即R(Q) =PQ . 3.3.利润函数利润函数 利润利润=总收益总收益-总成本，即总成本，即L(Q) =R(Q)-C(Q) . 复习复习24.4.边际边际 f(x)在在x=x0处的边际值为处的边际值为f(x0). 边际的经济意义边际的经济意义:当当时时,x改变一个单位改变一个单位,y 改变改变个个单位单位.5.5.常用的边际函数常用的边际函数 边际成本；边际收益；边际利润边际成本；边际收益；边际利润3 定积分在经济学
2、中的应用定积分在经济学中的应用一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值二、资金流的现值和未来值 第六章 4一、已知边际函数求总函数 问题：问题：已知某边际经济函数，求该总经济量已知某边际经济函数，求该总经济量. . 设某个经济函数设某个经济函数u(x)的边际函数为的边际函数为,则有则有 于是于是52.已知销售某产品的边际收益为已知销售某产品的边际收益为，x为销售量，为销售量，R(0)=0,则总收益函数为则总收益函数为1.已知生产某产品的边际成本为已知生产某产品的边际成本为，x为产量，为产量，固定成本为固定成本为C(0),则总成本函数为则总成本函数为63.设利润函
3、数设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中其中x为产量，为产量，R(x)是收益函数是收益函数,C(x)是成本函数，若是成本函数，若L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：均可导，则边际利润为：L (x)=R (x)-C (x).因此总利润为：因此总利润为：7例例1生产某产品的边际成本函数为生产某产品的边际成本函数为固定成本固定成本C(0)=1000,求生产求生产x 个产品的总成本函数个产品的总成本函数.解解8例例2已知边际收益为已知边际收益为,设设R(0)=0,求求收益函数收益函数R(x). 解解9 例例3：设某商品的边际收益为设某商品的边际收益为 (1) (1) 求销售求销售5
4、050个商品时的总收益和平均收益；个商品时的总收益和平均收益； (2) (2) 如果已经销售了如果已经销售了100100个商品，求再销售个商品，求再销售100100个商品的总收益和平均收益；个商品的总收益和平均收益；解解:(1) 总收益函数总收益函数: :平均收益平均收益: :10例例3：设某商品的边际收益为设某商品的边际收益为 (1) (1) 求销售求销售5050个商品时的总收益和平均收益；个商品时的总收益和平均收益； (2) (2) 如果已经销售了如果已经销售了100100个商品，求再销售个商品，求再销售100100个商品的总收益和平均收益；个商品的总收益和平均收益；解解:(2) 总收益为
5、总收益为: :平均收益平均收益: :11 例例4：已知生产某产品已知生产某产品x台台的边际成本为的边际成本为 ( (万元万元/ /台台) )，边际收入为，边际收入为 ( (万元万元/ /台台).). (1) (1) 若不变成本为若不变成本为C(0)=10( (万元万元/ /台台),),求总成本函数，求总成本函数，总收入函数和总利润函数；总收入函数和总利润函数；(2)(2)当产量从当产量从4040台增加到台增加到8080台时台时, ,总成本与总收入的增量总成本与总收入的增量; ;解解: (1)总成本为总成本为12 由于当产量为零时总收入为零由于当产量为零时总收入为零, ,即即R(0)=0,(0)
6、=0,于是于是 总收入为总收入为总利润函数为总利润函数为13（万元）（万元）(2)(2)当产量从当产量从4040台增加到台增加到8080台时台时, ,总成本的增量为总成本的增量为; ;当产量从当产量从4040台增加到台增加到8080台时台时, ,总收入的增量为总收入的增量为; ;（万元）（万元）14二、由变化率求总量二、由变化率求总量例例5某某工工厂厂生生产产某某商商品品,在在时时刻刻t 的的总总产产量量变变化化率率为为(单单位位/小小时时).求求由由t=2到到t =4这这两两小小时时的总产量的总产量. 解解 总产量总产量例例6生生产产某某产产品品的的边边际际成成本本为为,当当产量由产量由20
7、0增加到增加到300时时,需追加成本为多少需追加成本为多少? 解解 追加成本追加成本15设设有有本本金金A0,年年利利率率为为r,则则一一年年后后得得利利息息A0r,本本利利和和为为A0A0rA0(1r),n年后所得利息年后所得利息nA0r,本利和为本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)这就是这就是单利的本利和计算公式单利的本利和计算公式1. 单利单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.三、收益流的现值与未来值三、收益流的现值与未来值16第第二二年年
8、以以第第一一年年后后的的本本利利和和A1为为本本金金,则则两两年年后后的的本本利利和和为为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照照此计算此计算,n年后应得本利和为年后应得本利和为AnA0(1r)n这就是这就是一般复利的本利和计算公式一般复利的本利和计算公式.2. 复利复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金计入下一期的本金.就像常说的就像常说的“利滚利利滚利”.三、收益流的现值与未来值三、收益流的现值与未来值17资资金金周周转转过过程程是是不不断断持持续续进进行行的的,若若一一年年中中分分n期期计计算算,年利率仍为年利率仍为r,
9、于是每期利率为于是每期利率为r/n,则一年后的本利和为则一年后的本利和为A1A(1r/n)n，t年后本利和为年后本利和为AtA(1r/n)nt，若若采采取取瞬瞬时时结结算算法法,即即随随时时生生息息,随随时时计计算算,也也就就是是n时时,得得t年后本利和为年后本利和为 这就是这就是连续复利公式连续复利公式18因此，在年利率为因此，在年利率为r的情形下的情形下,若采用若采用连续复利连续复利，有：，有：（1）已知现值为）已知现值为A0,则则t年后的未来值为年后的未来值为AtAert，（2）已知未来值为）已知未来值为At ,则贴现值为则贴现值为A Ate-rt期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即
10、每时期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3. 连续复利连续复利每刻计算复利的方式称为每刻计算复利的方式称为连续复利连续复利.贴现值：贴现值：时刻时刻t的一个货币单位在时刻的一个货币单位在时刻0时的价值时的价值.194、收益流的现值和将来值我们知道我们知道,若以连续复利率若以连续复利率r 计息计息,一笔一笔P 元人民币元人民币从现在起存入银行从现在起存入银行,t年后的价值年后的价值(将来值将来值)若若t 年后得到年后得到B 元人民币元人民币,则现在需要存入银行的则现在需要存入银行的金金额额(现值现值)下面先介绍收益流和收益流量的概念下面先介绍收益流和收益流量的概念 .若某公司的收益是连续
11、地获得的若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作则其收益可被看作是一种随时间连续变化的是一种随时间连续变化的收益流收益流.而收益流对时间的变化而收益流对时间的变化率称为率称为收益流量收益流量 . 20收益流量实际上是一种速率收益流量实际上是一种速率,一般用一般用R (t)表示表示;若时间若时间t以年为单位以年为单位,收益以元为单位收益以元为单位,则收益流量的则收益流量的单位为单位为:元元/年年.(时间时间t一般从现在开始计算一般从现在开始计算).若若R(t)=b 为常数为常数,则称该收益流具有则称该收益流具有均匀收益流量均匀收益流量.将来值：将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值
12、现在一定量的资金在未来某一时点上的价值现值：现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，将来某一时点的一定资金折合成现在的价值， 俗称俗称“本金本金” 例如：例如：假设银行利率为假设银行利率为5%,你现在存入银行你现在存入银行10000块块,一年以后可得本息一年以后可得本息10500元元.10500为为10000的将来值的将来值,而而10000为为10500的现值的现值.21和单笔款项一样和单笔款项一样,收益流的将来值收益流的将来值定义为将其存入定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和银行并加上利息之后的本利和;而而收益流的现值收益流的现值是这是这样一笔款项样一笔款项,若把它存入可获息的银行
13、若把它存入可获息的银行,将来从收益流将来从收益流中获得的总收益中获得的总收益,与包括利息在内的本利和与包括利息在内的本利和,有相同的有相同的价值价值.在讨论连续收益流时在讨论连续收益流时,为简单起见为简单起见,假设以连续复利假设以连续复利率率r计息计息.22若有一笔收益流的收益流量为若有一笔收益流的收益流量为R(t)(元元/年年),下面计下面计算其现值及将来值算其现值及将来值.考虑从现在开始考虑从现在开始(t =0)到到T 年后这一时间段年后这一时间段.利用元利用元素法素法,在区间在区间0,T 内内,任取一小区间任取一小区间t ,t +dt ,在该小在该小区间内将区间内将R (t)近似看作常数
14、近似看作常数,则应获得的金额近似等则应获得的金额近似等于于R (t)dt (元元).从现在从现在(t =0)算起算起,R (t)dt 这一金额是在这一金额是在t年后的将年后的将来而获得来而获得,因此在因此在t ,t +dt 内内,从而，总现值为从而，总现值为收益的现值收益的现值23在计算将来值时在计算将来值时,收入收入R(t)dt 在以后的在以后的(T t )年内获年内获息息,故在故在t ,t +dt 内内例例8假设以年连续复利率假设以年连续复利率r =0.1计息计息(1)求收益流量为求收益流量为100元元/年的收益流在年的收益流在20年期间的现年期间的现值和将来值值和将来值;(2)将来值和现
15、值的关系如何将来值和现值的关系如何?解释这一关系解释这一关系.解解(1)从而，将来值为从而，将来值为收益流的将来值收益流的将来值24(2)显然显然若在若在t=0时刻以现值时刻以现值作为一笔款项作为一笔款项存存入银行入银行,以年连续复利率以年连续复利率r=0.1计息计息,则则20年中这笔单年中这笔单独款项的将来值为独款项的将来值为而这正好是上述收益流在而这正好是上述收益流在20年期间的将来值年期间的将来值.25例例9某某公公司司投投资资100万万元元建建成成1条条生生产产线线，并并于于1年年后后取取得得经经济济效效益益，年年收收入入为为30万万元元，设设银银行行年年利利率率为为10%，问公司多少
16、年后收回投资，问公司多少年后收回投资解解设设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有现值等于总投资的现值的时间长度，因此有即即解得解得T=4.055，即在投资后的，即在投资后的4.055年内可收回投资年内可收回投资26一般来说一般来说,以年连续复利率以年连续复利率r计息计息,则在从现在起到则在从现在起到T 年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为年后该收益流的将来值等于将该收益流的现值作为单笔款项存入银行单笔款项存入银行T 年后的将来值年后的将来值.例例1设有一项计划现在设有一项计划现在(t =0)需要投入需要投入
17、1000万元万元,在在10年中每年收益为年中每年收益为200万元万元.若连续利率为若连续利率为5%,求求收益资本价值收益资本价值W.(设购置的设备设购置的设备10年后完全失去价值年后完全失去价值)解解资本价值资本价值=收益流的现值收益流的现值投入资金的现值投入资金的现值27例例2某企业一项为期某企业一项为期10年的投资需购置成本年的投资需购置成本80万元万元,每年的收益流量为每年的收益流量为10万元万元,求内部利率求内部利率 (注注:内部利率内部利率是使收益价值等于成本的利率是使收益价值等于成本的利率).解解由收益流的现值等于成本由收益流的现值等于成本,得得可用近似计算得可用近似计算得28三、
18、收益流的现值与未来值设设有有一一笔笔数数量量为为A0元元的的资资金金存存入入银银行行，若若年年利利率率为为r，按按复复利利方方式式每每年年计计息息一一次次，则则该该笔笔资资金金t年年后后的的本本利利和为和为1.连续复利概念连续复利概念如如果果每每年年分分n次次计计息息，每每期期利利率率为为r/n，则则t年年后后的的本本利和为利和为当当n无限增大时，由于，故无限增大时，由于，故29称为称为t年末的年末的A t元的资金在连续复利方式下折算为现元的资金在连续复利方式下折算为现值的计算公式值的计算公式为为A0元的现值元的现值(即现在价值即现在价值)在连续复利方式下折在连续复利方式下折算为算为t年后的未来值年后的未来值(将来价值将来价值)的计算公式的计算公式建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点的建立资金的现值和未来值概念，是为了对不同时点的资金进行比较，以便进行投资决策资金进行比较，以便进行投资决策
