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1、二次型二次型二次型化标准型二次型化标准型一一.向量的内积与施密特正交化过程向量的内积与施密特正交化过程引言：在几何空引言：在几何空间，我，我们学学过向量的向量的长两向量夹角的概念，并由此定义两向量两向量夹角的概念，并由此定义两向量的数量积的数量积利用坐利用坐标分分别有下面有下面计算公式：算公式：设，（设则则设设为了今后应用的需要，将这些概念为了今后应用的需要，将这些概念及公式推广到及公式推广到n维向量。维向量。 1. 向量的内向量的内积定定义1 n维向量空向量空间中任两个向量中任两个向量的内的内积定定义为并称定义了内积的向量空间为欧氏空间并称定义了内积的向量空间为欧氏空间内内积具有下列性具有下
2、列性质： （交（交换性）性）;k为数数（性质（性质(2)，(3)称单线称单线性）性） （当且当且仅当当。以上以上证明留明留给读者。者。定定义2 设， 称向量称向量的的长度。度。长度度为1的向量称的向量称单位向量。位向量。，即，即为一一单位向量。称将位向量。称将单位化。位化。设设向量的向量的长度有下列性度有下列性质：。当且当且仅当当；(2).齐次性：次性：； (3).三角不等式：三角不等式： 以上性以上性质证明留明留给读者。者。证略略。(1).非负非负性：性：(4).柯西不等式：柯西不等式：由柯西不等式得由柯西不等式得：由此可定由此可定义两非零向量的两非零向量的夹角：角：； 或对于两非零向量于两
3、非零向量当当时，称两向量正交。，称两向量正交。这里里显然等价于然等价于又零向量与任何向量看作是正交的，且又零向量与任何向量看作是正交的，且中只要有一个中只要有一个为零向量，必有零向量，必有因此可利用内因此可利用内积定定义两向量正交。两向量正交。称称正交，正交，记。定义定义3 若若因此可利用内因此可利用内积定定义两向量正交。两向量正交。定定义4 设向量向量组为两两正交的非零向量，两两正交的非零向量，称其称其为正交向量正交向量组。如果正交向量如果正交向量组中。每个向量中。每个向量还是是单位向量位向量量量则称其称其为标准正交向量准正交向量组或正交或正交规范向范向量量组。如它。如它们还是向量空是向量空
4、间的基底的基底则分分别称称其其为正交基或正交基或标准（准（规范）正交基。即正交范）正交基。即正交规范范组（基）（基）满足足定理定理1 设为正交向量正交向量组，则是是线性无关的。性无关的。例例1 求与向量求与向量都正交的向量集。都正交的向量集。都正交的向量都正交的向量为由由得得齐次次线性方程性方程组解：设与解：设与即为与即为与解得解得都正交的向量集都正交的向量集2.施密特正交化方法施密特正交化方法是是线性无关的向量性无关的向量组，寻找一个找一个标准正交向量准正交向量组使其与使其与等价。等价。，设设其作法分两步其作法分两步(1).正交化，令正交化，令， ，是正交规范向量组，且是正交规范向量组，且等
5、价。上述过程称等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交（施密特）正交化过程。（方法）化过程。（方法）仍与仍与显然显然(2). 单位化（规范化）：取单位化（规范化）：取例例2 设用用Schmidt正交化正交化过程将其化程将其化为标准正交准正交组。解：取解：取单位化得位化得3. 正交矩正交矩阵与正交与正交变换定定义5方方阵A满足足则称称A为正交矩阵。由定义不难得到：为正交矩阵。由定义不难得到：A为正交矩正交矩阵。令令由上式不由上式不难得到：得到：A为正交矩阵为正交矩阵即即A的行（列）向量是两两正交的的行（列）向量是两两正交的单位向量位向量的正交的正交规范基）范基） 即是即是例例3令令验证A为正
6、交矩阵为正交矩阵解：因列向量解：因列向量组为两两正交两两正交的的单位向量，故位向量，故为正交矩正交矩阵。定定义6 设则称称线性性变换是正交是正交变换。是正交是正交变换。例例4 证明线性变换证明线性变换解：线性变换的矩阵为解：线性变换的矩阵为其行（列）向量是两两正交的单位向量其行（列）向量是两两正交的单位向量故为正交矩阵，故上述线性变换是正交故为正交矩阵，故上述线性变换是正交变换。上述线性变换代表平面上的一个变换。上述线性变换代表平面上的一个坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换是正交变换是正交变换 下面介绍正交变换的性质：下面介绍正交变换的性质：1）.设设为一正交变换，则为一正交变换，则即正交变换保持向量长度不变。即正交变换保持向量长度不变。2）设）设为一正交变换，对任意为一正交变换，对任意则有有即正交即正交变换下向量内下向量内积不不变。由于正交。由于正交变换保持向量保持向量长度、内度、内积不不变，因而保，因而保持两向量持两向量夹角及正交性不角及正交性不变，因此施以，因此施以正交正交变换后后图形的几何形状不形的几何形状不变，因此，因此可利用正交可利用正交变换研究研究图形的几何性形的几何性质。
