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1、三垂线定理三垂线定理aAPo2021/6/161复习提问复习提问：1。直线与平面垂直的定义。2。直线与平面垂直的判定定理。3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。2021/6/162一、射影的概念一、射影的概念定义：定义：自一点自一点P向平面向平面引垂线，垂足引垂线，垂足P1 叫做叫做P在在平面平面内的正射影（简称射影）。内的正射影（简称射影）。. P如果图形如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图上的所有点在一平面内的射影构成图形形F1，则，则F1叫做图形叫做图形F在这个平面内的射影。在这个平面内的射影。思考：思考：1。两条异面直线在同一平面。两条异面直线在同一平面内的射影的位置
2、关系如何？内的射影的位置关系如何？2。一个三角形在另一平面。一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形？中的射影可能是什么图形？2021/6/163二、平面的斜线、垂线、射影二、平面的斜线、垂线、射影 如果如果a , aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线, O为斜足为斜足; PA是平面是平面的垂线的垂线, A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射影内的射影.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/164性质定理判定定理性质定理线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直PO 平面PAOaPO结论：结论：结论：结论：a aPOP
3、O二、三垂线定理：二、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。为什么呢？为什么呢？为什么呢？为什么呢？PAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理P Pa aA Ao o 2021/6/165 1 1 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(PO(PO(斜线斜线斜线斜线) ) ) )、AO(AO(AO(AO(射影射影射影射影) ) ) )、a(a(a(a(直线直线直线直线) )
4、) )之间的垂直关系。之间的垂直关系。之间的垂直关系。之间的垂直关系。 2 2 2 2、a a a a与与与与POPOPOPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。 3 3 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：对三垂线定理的说明：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理用法：用法：PA，
5、 a ，AO是斜线是斜线PO在平面在平面内的射影，内的射影，aAO aPOP Pa aA Ao o 思考：思考：如果把定理中的条如果把定理中的条aAO与结与结论论aPO互换，命题是否成立互换，命题是否成立？ 2021/6/166P Pa aA Ao o 三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。用法：PA， a ，AO是斜线是斜线PO在平面在平面内的射影，内的射影， aPO aAO说明：说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂三垂线定理及其逆定理是证明线线垂 直的重要方法。直的重要方法。2021/6/16
6、7例题分析：例题分析： 1 1、判定下列命题是否正确、判定下列命题是否正确 (1) (1)若若a a是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则abab。 ( ) ( ) 2 2定理的关键找定理的关键找“平面平面”这个参照学。这个参照学。 强调：强调：11四线是相对同一个平面而言四线是相对同一个平面而言 (2) (2)若若a a是平面是平面的斜线，的斜线，b b是平面是平面内的直线，内的直线，且且b b垂直于垂直于a a在在内的射影，则内的射影，则abab。 ( ) ( ) 三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/168 2 2
7、 2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1中，连结中，连结中，连结中，连结BDBDBDBD1 1 1 1，ACACACAC，CBCBCBCB1 1 1 1，B B B B1 1 1 1A A A A，求证：，求证：，求证：，求证：BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C ABCD ABCD ABCD ABCD是正方形，是正方形，是正方形，是正方形，ACBD ACB
8、D ACBD ACBD 又又又又DDDDDDDD1 1 1 1平面平面平面平面ABCD ABCD ABCD ABCD BD BD BD BD是斜线是斜线是斜线是斜线D D D D1 1 1 1B B B B在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的上的上的上的射影射影射影射影 AC AC AC AC在平面在平面在平面在平面ACACACAC内，内，内，内，BDBDBDBD1 1 1 1AC AC AC AC A1D1C1B1ADCB而而而而ABABABAB1 1 1 1， AC AC AC AC相交于点相交于点相交于点相交于点A A A A且都在平面且都在平面且都在平面且都在平
9、面ABABABAB1 1 1 1C C C C内内内内 BD BD BD BD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明：证明：证明：证明：连结连结连结连结BDBDBDBD， 请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明请同学思考：如何证明D D D D1 1 1 1BABBABBABBAB1 1 1 1 连结连结连结连结A A A A1 1 1 1B B B B三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/169 关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用，关键是找出平面关于三垂线定的应用
10、，关键是找出平面( ( ( (基准面基准面基准面基准面) ) ) )的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明abababab的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即第一、找平面第一、找平面第一、找平面第一、找平面(
11、 ( ( (基准面基准面基准面基准面) ) ) )及平面垂线及平面垂线及平面垂线及平面垂线 第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时a a a a、b b b b便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与一条斜线。一条斜线。一条斜线。一条斜线。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线a a a a垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出a a a a与与与与b b b b垂直。垂直。垂直。垂直。2021/6
12、/1610例例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。ABCOPEF已知：已知：BAC在平面在平面内，点在内，点在外，外，PEAB，PFAC，PO ，垂足，垂足分别是分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO证明：连接证明：连接PA，OE，OF PEAB，PFAC，PO ， ABOE，ACOF（三垂线定理的逆定理）（三垂线定理的逆定理） PE=PF，PA=PA，Rt PAE Rt PAF。AE=AF又又AO=AO，Rt AOE Rt AOF。
13、BAO=CAO2021/6/1611 例例例例4 4 4 4、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔、道旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，高，高，高，高15m15m15m15m，只有测角，只有测角，只有测角，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：解：解：解：在道边取一点在道边取一点在道边取一点在道边取一点C C C C，使使使使BCBCBCBC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与
14、道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90909090，再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点再在道边取一点D D D D，使水平角使水平角使水平角使水平角CDBCDBCDBCDB等于等于等于等于45454545，测得测得测得测得C C C C、D D D D的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于20cm20cm20cm20cmB BA AC C9090D D4545三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/1612B BA AC C9090D D4545 BC BC BC BC是是是是ACACACAC的射影的射影的射影的射影 且且且且CDBC CDAC CDBC CDAC
15、CDBC CDAC CDBC CDAC CDB=45 CDB=45 CDB=45 CDB=45，CDBCCDBCCDBCCDBC，CD=20cm BC=20mCD=20cm BC=20mCD=20cm BC=20mCD=20cm BC=20m，在直角三角形在直角三角形在直角三角形在直角三角形ABCABCABCABC中中中中 AC AC AC AC2 2 2 2=AB=AB=AB=AB2 2 2 2+BC+BC+BC+BC2 2 2 2，AC= 15AC= 15AC= 15AC= 152 2 2 2+20+20+20+202 2 2 2 =25(cm)=25(cm)=25(cm)=25(cm)答
16、：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是答：电塔顶与道路的距离是25m25m25m25m。 因此斜线因此斜线因此斜线因此斜线ACACACAC的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。的长度就是电塔顶与道路的距离。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/1613 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。 小小 结结33操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂二射
17、三证一垂二射三证”11定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言22应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面”这个参照系这个参照系三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/1614AHAHAHAH为为为为PAPAPAPA在平面在平面在平面在平面ABCABCABCABC内的射影内的射影内的射影内的射影BCAHBCAHBCAHBCAH在在在在RtPBCRtPBCRtPBCRtPBC中，中，中，中，PE= - = -PE= - = -PE= - = -PE= - = -在在在在RtAPERtAPERtAPERtAPE中，中，中，中，AE= PAAE= PAAE=
18、PAAE= PA2 2 2 2+PE+PE+PE+PE2 2 2 2= 9+ - = -= 9+ - = -= 9+ - = -= 9+ - = -464646464 4 4 42 2 2 2+6+6+6+62 2 2 21212121213131313144144144144131313132 292 292 292 292 292 292 292 2913131313 例例例例4 4 4 4、设、设、设、设PAPAPAPA、PBPBPBPB、PCPCPCPC两两互相垂直，且两两互相垂直，且两两互相垂直，且两两互相垂直，且PA=3PA=3PA=3PA=3，PB=4PB=4PB=4PB=4，P
19、C=6PC=6PC=6PC=6，求点，求点，求点，求点P P P P到平面到平面到平面到平面ABCABCABCABC的距离。的距离。的距离。的距离。A AP PC CB BE EHH解解解解: : : : 作作作作PHPHPHPH平面平面平面平面ABCABCABCABC，连连连连AHAHAHAH交交交交BCBCBCBC于于于于E E E E，连，连，连，连PEPEPEPEPAPAPAPA、PBPBPBPB、PCPCPCPC两两垂直两两垂直两两垂直两两垂直PAPAPAPA平面平面平面平面PBC PABCPBC PABCPBC PABCPBC PABC三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理2021/6/1615 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
