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1、第4讲(补充) 微分中值定理一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理 了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义会用罗尔中值定理证明方程根的存在性会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式函数导数的定义为即函数在点 x处的导数等于时,函数的极限值.在点 x处的差商导数与差商导数与差商相等！将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.极值的定义一.费马定理 设函数设函数f f( (x x) )在点在点 的某领域的某领域 内有定内有
2、定在在 处可导，如果对任意处可导，如果对任意那么那么义，并且义，并且有有费马定理的几何解释如何证明？证证 不妨设不妨设 时，时， （如果（如果从而当从而当 时，时，可类似的证明）可类似的证明）. . 于是，对于于是，对于 ，有，有当当 时时根据函数根据函数f f( (x x) )在在 可导的条件极限的保号性，便得到可导的条件极限的保号性，便得到所以所以二.罗尔中值定理设则至少存在一点定理定理定理定理实际上,切线与弦线 AB平行.最小值至少各一次.证证证证最小值至少各一次.由费马定理可知：例1证证证证其中,综上所述,连续可微端点函数值相等例2分析例2证证证证由罗尔定理,至少存在一点分析问题的条件
3、,作出辅助函数是证明的关键 .且满足罗尔定理其它条件,例3证证证证想想,看能不能找到证明的方法.例4分析例4证证证证则由已知条件可知:该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要如果需要,当然可以使用当然可以使用. .例5证证证证例6证证证证三.拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理定理定理定理切线与弦线 AB平行如何利用罗尔定理来证明？则由已知条件可得：故由罗尔定理,至少存在一点证证证证拉格朗日有限增量公式某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在还有什么？推论推论 1 1推论推论 2 2(C为常数 )推论推论 3 3用来证明一些重要的不等式推论推论 4 4用来判断函数的单调性在推论 4中,推论推论 5 5则再由推论 4,即得命题成立 .该推论可以用来证明不等式.证证证证解例7故从而例8证证证证例9证证证证例10证证证证延拓延拓! !例11证证证证从而例12解例13解又故从而即例14证证则又且故即例15证证证证四.柯西中值定理设则至少存在一点三个中值定理的关系RolleLagrangeCauchy图形旋转
